CALCUL DIS PROBABILITÉS
lilé.On opérera de môme pour autant de courbes qu'on voudra.
Lorsque les valeurs de u el do v ne présentent pas un décroissernonl suffisamment régulier, par suite d'un nombre de coups insuffisant, on modifie les ordonnées u et v de manière à obtenir celle régularité sans altérer la somme des valeurs observées.
Oa donne ici comme exemple la surface représentative du tir des bombes de divers calibres sur ud plan horiioutal à la distanee . de6O0'"(/î^. 4).
Les cotes des courbes iDdiquenl le nombre des bombes qui, sur 10,000, tombent sur un carré de deux mètres de côté ; on y reconnaît que les courbes d'égale probabilité sont deux, fois environ plus allongées^ dans le sens des portées ou de la ligne de tir que dans le sens latéral ; cela provient en grande partie de l'inclinaison des trajectoires près du point de chute des projectiles sur le ter. rain {*).
Les nombres de projectiles qui frappent les bandes parallèles . à Taxe des y étant ajoutés successivement à partir de Taxe et d'un même côlé^ on aura le nombre dé ceux qui sont compris entre cet axe et la dernière bande considérée. De même en ce qui regarde l'axe des Soit U le nombre des projectiles dont Véloignement de Taxe des t/, du côté des X positifs, ne dépasse pas X, et V la somme de ceux dont l'éloigoement de Taxe des X du côté des Y positifs ne dépasse pas y ; U sera une fonction ûcœ, et V sera une fonction de y, qu'on peut toutes deux représenter par des courbes. En conséquence du principe de la probabilité des événements futurs, d'après celle des évcncmcnls observés, la probabilité qu'à un nouveau coup le projectile tombe
du côté des es positifs et ne s'éloigne pas de plus de x sera ~ ; de
même, la probabilité qu'il tombe du côté des y positifs et ne
s'éloigne pas de plûs de y sera
(*) i*ai exécuté cette représentatioa graphique, en 18S3, d'après le relevé des points de drnle de plus de 1,300 boinbes, aux écoles à fen de Douai ; c'est de cette recherche qu'ont été tires les résultats con^gnéft dans le tablonu du Traité d'artillerie do M. le général Pioberl (partie élémentaire et pratique, pag. 20i et i215 de la P"" édition). Celte reprg- Aentation a été établie en prenant l'ancieunc toihe pour unité. Le tir qu'on exécute maintenant présente notablement moins de déviations.
Ak^PLIQUà AU TIR DES PR0JBCTILB8. 37
Soit U' le nombre des projectiles qui ool frappé^da cdté des X négatifs jusqu'à la distance V ceux qui ont frappe du côté desy négatifs, jusqu'à la distance y ; la probabilité qu*à un nou* veau coup le projectile ne s*éloignera pas de l'axe des y de plus
de dLx sera V"^^ ^ et celle qu'il ne s'éloignera pas de l'axe
des y de plus ûezty sera . La probabililé que le pro-
jectile ne s*éloigne pas de dzds de l'axe des y, et qu'en même temps il ne s'éloigne pas de dijf de Taxe des x, sera le produit des deux probabilités^ prises séparément^ et par conséquent
égale u — ■■ . .
AU
On admet, comme nous l'avons dit, qu'il y a uo point à partir duquel la probabilité des écarts est la même dans un sens et dans l'antre, du cdté des X positifs ou du célé des X négatifs. Supposons que les coordonnées sont rapportées à ce point, alors U'=:U, V'cBsV, et la probabilité qu'à un nouveau coup le pro-
jectile ne s'éloignera pas de plus de±:a; sera et celle qu'il ne
s'éloignera pas de dty sera , et, enfin, la probabilité qu'il sera
compris dans un rectangle dont les demi-cdtés sont égaux res-
pecUvemeol à x el y et dont le centre est o sera S=z4
ti n
Suivant le principe de la probabilité des événements futurs, d'après les événements passés, le nombre des coups qui atteindront le plus probablement le rectangle sur un nombre N de coups tirés sera NS. La différence de ce nombre au nombre réel de coups touchés sera une fraction de N d'autant moindre que N sera plus grand, le nombre « des ooups observés devant être déjà grand par lui-même.
Ces considérations s'appliquent au tir sur une cible verticale, comme à la chute des bombes sur un plan horizontal.
Si la probabilité des écarts est égale dans tous les sens, les courbes d'égale probabilité seront des circonférences de cercle, et les surfaces de plus grande probabilité des cercles.
58 CAL€t'L DKS PR0B\filUTl£8
15. Fonrultsdg !a prohahitilé d'alteindre une iurface limitée
ft une bande de petite largeur.
£n considérant sur le plan d'une cible des bandes parallèlr» d*une pelite largeur prise pour unité, on reconnaît que le nombre des projectiles qui les atteignent va en décroissant à mesure qu'on s'éloigne du point d'impact moyen, faiblement d'abord, puis plus rapidement ensuite, et que le nombre des points touchés devient négligeable à partir de certaines limites, qui dépendent de Vnrme et de la dislance du but, de l espèce du tir et de quelques autres circonstances. La loi que nous avons d^à vérifiée par ses conséquences (art. 6) revient à supposer que la probabilité des écarts est en raison directe d'une certaine puissance d*ttn nombre plus petit que Tunité^ laquelle puissance est proporlionnelle au carré de l'écart.
Cette hypothèse satisfait aux conditions dont nous avons parlé plus haut (art. 10), et nous pouvons l'appliquer en prenant pour le nombre plus petit que l'unité le quotient de Tuoilé par la base des logarithmes népériens.
Soit £ une grandeur déterminée qui dépendra, dans chaque cas, de l'étendue des écarts, et à laquelle nous rapporlejons les
distances s, de manière à n'avoir à considérer que le rapport ^ ;
A une quantité connue, variable dans chaque cas ; m le nombre de coups qui atteignent une bande d'une petite largeur i, parallèle à l'axe des ordonnées verticales, à la dislance x de celle ligne, on aura :
' = ^Ke) i' * = ..■
Si X est très-pelil relali veinent fc «, ^ est extrêmement
petit, et p4r conséquent e ^* ne diffère presque pas de Tu-
nité, el ne varie que d'une mamèro insensible tant quc^ est petit.
Quand la valeur de^ est notablement plus grande que Tu-
APi^LiQOift AO hr des projectiles. Vè
nitè, la valeur de u est extrèmefflcnt faib}|p, et quand « aug* mente encore^ u devient bientôt négligeable.
D'après cela , le nombre des projectiles , dout te centre
atteindrait une bande de largeur infiniment petite —, sera
A« , cl celui des points d'impact compris entre l'axe des y et une parallèle à ta distance $ de cette ligne sera l'intégrale de cette expression prise de o à -j c'est-ù-dire qu'en appelant W co nombre, on aura :
Le nombre total des points d'impact d'un même côté de Taxe des y en deçà et au delà de la parallèle sera IMnlégrale de la même expression entre eet Tinfini positif, C'est-à-dire
Les mêmes relations auront lieu du côté des x négatifs, puisque l'axe des y passe par le poinl d'impact moyen, de sorte que le rapport des deux intégrales dclinies ci-dessus indique le rapport du nombre des coups qui tombent dans les limites posées, soit à droite, soit à gauche de Taxe des t/, au nombre total des coups, et, par conséquent, en vertu du principe des probabilités des événements composés, la probabilité p d'atteindre la^ cible entre ces limites par le tir d'un nouveau coup sera :
en faisant ^-rr « et ^ = < aeUe probabilité est :
40 CALCUL DES PIlOBABILITËS
c Ai
Or, rinlégrale définie qui forme le dénomioaleur est, comme on sait, égale h\V t^^t. élanl le rapport de la circonférence au diamètre : on aura donc :
Nous donnons, à la fin de ( e travail, le tableau des valeurs du second membre rcprésenlécs par f (a); la valeur de p est ainsi
une foDclion de a ou de ' .
Les valeurs de e, ainsi que celles de A, doivent être déterminées de manière à représenter les écarts observés. Or, le nombre total n des points d'impact devra être égal à l'intégrale de
i dû!
Xe ^ . — ^ , entre les limites + » et -^ae ; et comme elle a la
même valeur du côté des x positifs que du côté des x négatifs, et que
on aura
R==A{/ic ou A=:p^
D*un autre côté, TexpressioD de U doit représenter la granh deur des écarts observés, ou au moins leur ensemble et leur moyenne. Nous avons déjà vu (art. 2) que la somme des carrés des écarts, pris relativement au point d'impact moyen, divisée par leur nombre, était un minimum, et ensuite que ce rapport déterminait la bonté des observations, et la dispersion plus ou moins grande des points d'impact. Nous devrons donc faire en sorte que l'expression adoptée de la loi des écarts donne, pour cette quantité, la valeur observée dans les épreuves. Or, le nombre des coups qui ont porté à la distance sur une bande de largeur dx est :
n "g* cijr
APPLIQUÉ AO TIR DES PROlBCTaS». 4(
en le multipliant par le carré de la distance oe*, on aura la somme des carrés des écarts des points qui sont sur cette bande; le quotient de la somme des carrés des écarts par teur nombre sera^
en faisant
/ fit e» J ;V .'h
on sait que / . f = |/ n ; on.obtient aussi par les pro-
cédés connus
d'où il suit que le rapport ctierché est égal à ~. D'un autre
cété, ce rapport/ déduit des observations ou des mesures prises des écarts a,... en nombre n, et rapportés au point d*impact
moyen, doit être — =:/r : on aura donc:
par conséquent, les limites « delà dble entre lesquelles on aura une probabilité de toucher égale à p ou 9 (a) seront données par la
relation a = 1= rp^, et seront s=aA ^ 1. Ainsi Âclaolconnue s , a 2
et f étant donnée, on en tirera a et de là p : ou réciproquement, p étant donné, on en déduira, à l'aide du tableau de 7 (a), la valeur de a et de là celle de
La valeur de e étant déterminée, le nombre n de coups qui frappent une bande d'une très- petite largeur t, située à la dire»
statace sl qui est représentée par A e ^ scra> d*après l'en' semble des écarts d*an même tir :
et la probabilité de Tatteindre à un nouveau coup tiré sera -
4^ CALCUL bRS l'MBABlLiTitS
