APPLIQUÉ AU TIR DBS PROJECTILES

De la première, od Urera »=j7 el, par conséquent, on aura p= cp ; telle est la formule de Poissoo. Nous avoDS IrouYéy pour la probabilité d'atteindre une cible

de rayon l'expression Psl^e . Celle-ci a été confirmée par son rapprochement avec celle de la probabilité d'at-

teindre un carré de même superficie, lorsque - n'est pas grande laquelle est (art, 19) :

Dans la formule de Poisson ^ est ce que nous avons désigné par d'où f=z l |/n; par conséquent sa formule deviendra:

Cette formule de Poisson, comparée à la précédente, contient » à la place de w el <p (a) à la première puissance el non à la seconde. Ëlle présente le défaut de dépendre du nombre n d'observations dans chaque cas, de sorte que, si au lieu d'un nombre n de coups, on eût fait l'épreuve qui donne l sur un nombre 2fi, la valeur de / ne varierait pas sensiblement, et cependant la probabilité p, déduite de la formule de Poisson , deviendrait

p = (p ■^)* V*^^"^ P^"s grande que la précédente et

égikle è celle qui résulterait d'un rayon r ^^2. Ce défaut est analogue à celui qui a été signalé précédemment dans la comparaison des deux, armes.. Le facteur, |/n'qui reste dans cette formule doit d'ailleu» donner des valeure exagérées lorsque n est grand.

En appliquant celle formule au lir de 100 coups de canon de 16, à la dislance de 200", qui a donné l — O'^o^Z^, en prenant

r=0-17, on trouve «=:^^ =1,62; delà,p=ç(l,62)s=

0,978. Il y aurait donc presque certilude d'alleindre, tandis que l'expérience, d'accord avec notre formule, donne p = 0,10. Poisson n'ayant pas indiqué ce qui Ta conduit à cette for-

,66 CALCUL DES PROBABILITJÊS

male^ on ne saurait fixer la cause de l'erreur. CependaDt^ si t*bo oompàre la formule à celle qui donne la probabilité de toucher une bande verticale delargeur2«, laquelle est f)=y ,

il semblerait que Poisson a fait confusion eotre les écarts absolus relatifs au centre; ei les écarts relatifs à la verticale, en même temps qi|k*il divisait p par nf et non |»af .^J

Fwrmul§ 4$M.Mélie.

lïrHélie, dans un mémoire publié en 1864 (*), arrive à cette formule :

dans laquelle 5 q est la déviation extrême, r le rayon du cercle

que l'on considère, et p la probabilité de l'atteindre. Dans le tir du canon de 16 à 200", sur 100 coups, le plus grand écart a été IrafS d'où 3 y=::l"43; pour r= 0,17 qui, d'après l'expérience, donne p = 0,10, on trouve p =. 0,28, près de 3 fois trop fort. Pour r = 0"tQ5, on trouve un nombre près de 4 fois trop fort. On a fait le même calcul pour les autres rayons et ou a obtenu ]gi résultats (jousigpéf ^^ps le tableau suivant :

R ATONS

des cercles imlL)- 0,40ft 0.47 0,i5 0«3I 0,37 0,50 0.57 0,66 0.79 4,4S

PïÀnliiiité l oliMrfle. 0,to 0.4 i 0.90 O^N) 0,40 0,àO O.èO O.W 0,80 OJO 6.99

rf*«tldiiilre Icaleulle. 0,48 O.tt 0«39 0.47 0,80 0,03 0.60 0.75 0,81 0,94 0,909

Les résultats de la formule de M. Hélie ne s'accordent pas avec ceux (|e l'observation, et l'erreur croît à mesure que le rayon diminue; ils ne s'accordent que pour les cercles qui comprennent presque tous les coups. La formule a d'ailleurs le défaut saillant de faire croître la chance d'atteindre comme les rayons, tant qu'ils restent très-petits; tandis que réellement ils doivent croltré comme l'aire du cercle, ou comme le carré du

xm^,W:, nj^^Wia fonnqi^sTj^- [^]\ laforjpule sjréduit sensiblement à T-, lorsque - est très-petit.

ôq q i<

L'erreur provient de ce que l'auteur a pris pour la probabilité

i*j Mfémoùre «ur la probal^lité du tir des projeetUff^ 4t K^Bftiffii^

APPLKIVÊ «U fm 1»B8 -nUMBGTILES. 91

<6e8 écarts Ia toi^déteniiHkée par la 6ourbe*A IB {fig^ 10) {*), ayant tin point d'inflexion en I et qu'il la remplace par tiflM ligne droite CD; tandis qu'en réadfté la loi delà proimbilité des éoarts du centre en tous sens ou des écarts absolus, c'est-à-dire la probabilité detovcher une bande annutaire de gra^dewrdennée tflEBpetite, doit étrè représentée par une oout-be de la forme 0 passant par roriginc.

Cela d'ailleurs est facile à voir, même sans connaître les formules exactes. En eflfet : Ift probabilité d'atteindre un cèrcle de rayon r est nulle pour r =o, puisque là circonférence est égale à zéro, et elle croît d'abord proportionnellement à la circonférence ou au rayon. La courbe a donc une première partie inclinée et passant par l'origine. Elle croît ensuite moins rapidement jus- <iu*au point oili l'augmentation de Id circooférence est oom|teitsée fmr la diminution de la probabilité; la courbe a donc un sommet à une certaine distance dè l'origine. A partir de là, elle se rapproche de la ligne des abscisses pour ne la rencontrer qu'à une distance égale au plus grand écart qui peut se présenter (fig. 5).

La forme de la coufbe donnée par M. Hélie appartient à la probabilité des écarts d'unè droite verittâlè tracée sur la cible, mais non pas à la probabilité des écarts absolus d'un point, ou des écarts en tous sens.