J&car( moyen a6<o/u

On trouve également une relation simple entre l'écart moyenabsolu et le moyeo éeart absolu^ pris relalivemeot au poiot d[iii)i^ct moyen.

Ep.eQelyla probabilité d!«tl«iiuli!A unezopeetocttlfire doot le rayon est p et ia largeur dp est (art. 17) :

Sur. np tf ès-^rand-nombce de -coupe tirés, œt^e lane 8era.at|elwle

le plus probablement par un nombre < nj»^=;= La

sçmme de^^car^ desp^oj^etiljB^ gat^oat atteint cette lone ser» ou

La somme des écarts de fous les coups est rintégple de cetlet expression depuis 0 j usqu'à l'infini ; et^ en 1» divisant par »> oo. aiu^. ponr l'iScart moyenjilisoltt L :

deJaqueile on tire, parades moyens connus :

Gomme on a, lorsque hesk^ on aura :

Appuaiià' Ali' tÎr db^ pftoikbiiLcs.

ou :

Cette relation suppose seulement que les nombres sont assez grands. Voici les valeurs numériques qui entrent dans ces relatioins :

Geé' relations setoorpaHlculfèiiemeiit utiles lorsqu'il s'a^fira d'observations ivour lesqueltes on n'aura qde lés moyennesarithmétiques des écarts, et poiir des obsénratlons courantes, lorsqQ*0D voudra se eontenteir de* reléviér l'écart moyen' horizontal et vertical.

28. Somme des écart» relativement d une ligne parallèle â l'un des axes,

Gobûaissant la sommé des écaHs des points d'impact relativement à une ligne, on l'obtient relativemetit à une autre ligne pttirallèle sans calculer les éâiHs jreTatife à cette nouvelle ligne. Supposons^uA dépiàcemént d pairallèlement à' la verticale, du CHftà 'dèS « posltîfd ^ solt aivo, », a^ \és écarts dè ce même côté, supposés rangés' par ordre de grandeur, ti leur' iio'ml>re, S'a leur somme ; a/, a^'... a/ les écarta du côté des œ ^négatifs, V léur nombre, S V leur som'ihe; fi-|-«=fi, on aurii :

Soit s le nombre des écarts positifs inférieurs à d, et qui, par suite du déplacement de la ligne, passeront du positif au noghtif, et S'a leur somme; il est facile de voir que la somme des écarts positifs sera diminuée de la somme S^a ^es $ plus petits écarts, et que chacun des autres le sera de d^ et leur somme de (u —x)d. La somme des éeàrts négatifs, pàr suite des » écarU positifs plus pèiits 'qne'd'et qui deviennent négàtifs, sera aughienlée dé S^^^— a) = ^à, ^ S'a ; tous les autres écarts seront diinînuéa

de d, el leur somme de vd. Par conséquent, la somme de tous les écarts positifs ou négatifs^ saos distinctiou de signés, sera : S" a + S'a + f << — 2?<i + » — 2!»a — — d

ou

L'augmentation de la somme des écarts est donc 2 — S'a)— (u — v)d. Le (>remier terme de cette augmenlalioQ est toujours

positif.

L'écart moyen H' relatif à ta nouvelle ligne sera : [17] H' = H.+ i [ (-2 f - (u - 1,) ) - 2Ï««]

Cette règle est moins simple, sans doute, que celle qui donne le moyen écart relatif à une ligne, d'après le moyen écart relatif à une autre ligne parallèle (art* 2, éq. 4); mais son application permettra néanmoins d'éviter de longs calculs numérique».

29. Écart moyen et moytn écart sur un nombre limité d*o^ tervations.

Ayant un grand nombre de mesures d'une môme chose, de la hauteur d'un projectile à la cible dans un même tir, par exemple, si l'on divise ces mesures en séries et que dans chacune d'elles on prenne la hauteur moyenne et le moyen carré des ^ écarts, la moyenne de ces moyens carrés ne sera pas la même que le moyen carré des écarts pris relativement à la moyenne de toutes les hauteurs ; celuind sera toujours plus grand.

En effét : supposons qu'on ait m séries de n observations des hauteurs d*un projectile sur une dble verticale ; soit B^, B,. . Bm, les hauteurs moyennes de chaque série, k^^ A,.. ., ft„ les moyens écarts correspondants ; soit B la moyenne arithmétique des quantités Bj, Bj..., Ba,; elle sera la même que la moyenne des mn hauteurs observées (art. 6). Soit encore p,=:B|—B; ^^=Ji^—li.., p„=Bo, — B ; et enfin k le moyen écart des mt^ hauteurs pris relativement à B.

Dans la première série, la somme des carrés des écarts relai vementà la hauteur B, étant nk^^, elle sera n(k^^ -f- pj^) si l'on 'prend les écarts relativement à la hauteur moyenne générale

APniQOà AO TIR BBS PROJICTIUS. 75

B (art« 2). Dans la aeoonde série, la somme des carrés des écarts pris relativement à la moyenne générale B sera n {h^ -f ^^); et de même dans les autres séries ; on aura donc, poar la somme des carrés des écarts des m n olwservations :

d'où

^« V4-V fcg.' , Pi' + P.' Pi'

Ainsi, la moyenne somme des carrés des écarts pris relativement au point d'impact moyen général est égale & la moyenne des moyens carrés des écarts pris relativement au point d'impact moyen dans chaque série, augmenté du moyen carré des distances des divers points d'impact moyen des séries au point d'impact moyen général. Cette dernière quantité est toujours positive. .

Si donc, pour avoir A*, on se contentait de prendre la moyenne des m valeurs de k^*y h^,„ on serait conduit à une erreur constante en dessous ; et, lorsqu'à dé£iut de plusieurs séries. Ton ne prendra le moyen carré que sur une seule, on aura à craindre en oulce une erreur comme celle que laisse craindre une. observation particulière, comparativement à la moyenne de renseroble des observations. Par conséquent, en ne prenant qu'une série^ on aura plus de chances d*ètre au-dessous de la vérité qu'au-dessus.

Il importe de pouvoir déterminer cette erreur constante pour corrigerles moyennes qui ne seraient prises que sur des nombres restreints d'observations. La règle de Laplace sur la limite des erreurs dont la probabilité est donnée, en fournit le moyen.

En effet, si l'on ne connaît pas les valeurs particulières de P,, relatives à chaque série, puisqu'on n'a fait qu'une seule série d'épreuves, on peut avoir une valeur approchée de leur moyenne, en cherchant quelle est la limite des écarts dont la probabilité est un demi. Ce sera la valeur qui laisserait généralement autant d'écarts en dessus qu'en dessous, caractère de la moyenne sur un grand nombre d'observations Or, pour la probabilité p=i ou 9 (<x)=i, on a as=0,477 ; donc la limite # de ces erreurs sur n observations est

. j=0,477 j/|a= ~^.0,675A, et

74^ CAtcdL D«S' Plfci^Al^LITâ»

D'après ceKi, la moyenne des carrés des écarts pris sur un nombre n d'observations étant A', le moyen carré des écarts relatifs au point d'impact moyen d'un nombre indéfini d'observations sera :

et le moyea écart sera k 0,4S6y ou à d^s-peu près

k /l -0,227^, quand n est grand; Si i-on suppose à » utae

suite devaleurs consécutives^ on trouvera queles valeurs dé 1^ et de A doivent être augmentées d'une fraction de leur valeur indiqué*^ dans le tabloaii suivant :

. CORRECTION ADDiriV£

, CORRECTIOH AODITITK

ponf

d'obser valions.

d'observations.

^ ÎS

ta

L'on voit que (juand l'on n'a que 20 ou 28 observations, le moyen écart qu'on en déduit doit être augmenté d'environ 0,0t de sa valeur^ et son carré de 0,02. Pour 10 observations^ Incorrection serait d'un peu plus du double.

Pour comparer entre eux des moyens écaris pris sur deui nombres inégaux d'observations, il faudrait augmenter celui qui résulte du plus petit nombre de coups proportionnellement à la différence des fractions du tableau ci-dessus correspondant à ces deux nombres; ainsi, des moyens écarts pris sur 10 observation* devront être augmentés de 0,020 de leur valeur pour être comparables au moyen écart pris sur 100; les moyens écaris pris sur 20 devraient Tètre de 0^009 seulement ; des moyens écarts pris sur 2ô observations, pour être comparables à des moyens écarts pris sur 125 ou. sur 250 observations, devront étré augmenté»

AWUaeÈ AO'TIR' DBS PROJffCTILBS.

respectivement de 0,0073 et 0,0082. dfe leur valeur. C'est" une correction h laquelle on doit avoir égard lorsque l'on doit comparer la justesse de tir de deux armes, ou l'habileté de deux lireurS; et que le nombre de coups^ dans chaque épreuve^ n'est pas le môme.

Mais cette condition n'est plus nécessaire lorsque l'on veut comparer l'habileté de deux tireurs et que l'on est convenu de compter les écarts à partir d'un point fixe, comme le centre d'une cible, et que les tireurs visent de manière à atteindre ce point.

La somme des écarts rapportés à la mesure moyenne de» mesures observées n'est pas nécessairement un minimum, comme là somme dès' carrés des écarts ; de sorte que quand l'on déplace, parallèlement à elle-même, la ligne à laquelle on rap-' pertes Ito éèaris^^ la somme* dë ces écarts nef va pas tëujotars enr atigmeiytant^ èllê peut rester* constaiftè* m* m<frme atler ev diMmianl («rt: 28^ équal. 17); maisj il' y a toujours undéplacement à> partir duquel iA' somme des' écarts va enf an^meutavt d'une! manière continue. Il résuHrdelà^ contratrfementcàrica qut>a<lieoipoiir(leB*«arrés des 'écarts, que: la somme' dès écarts- pnsi séparément daas diverses- séries des inssures «ne^ lalhemsDt àia moyennet'des mesures de chacune d'elles n^esl pas'touîoarstpius-petiteqie la somme des écarts^ des' mêmes m» • sures, prise. «relativement à' la mesure moyenne générale sur* l'ensemble. Cependant, si la somme n'augmente pas pour chaqoe^ sérié «o porticolier, elle augmente en général pour l'ensemble; mais: l'augmentation est moins régulière que quand il s'agit du>' moyen écart.

L'analyse peut donner la correction la plus avantageuse à apporter aux écarts moyens sur un nombre restreint de mesures^, lorsqu'on connaît la loi des écarts. Pour ce qui concerne les écarts, dans le tir des projectiles, on s'est contenté ici de déterminer celte correction par l'observation, et l'on a trouvé, sur les séries d'observations rapportées plus haut, que la somme des écarts devait être augmentée de la même frac4ïon<*de sa valeUr que la somme des carrés des écarts; et, par conséquent^ que l'écart moyen doit être augmenté d'uqe fraction deux fois plus grande que le moyen écart, lorsque, d'ailleurs, le nombre des observations est le même.

CALCUL DBS PROBABILITES

Cette drconsUnce explique pourquoi^ à mesure que Tod considère des observations de moins en moins nombreuses, le rap-

port augmente de plus en plus. £a effet, pour un nombre

n d'observations^ les facteurs corrigés devant do'nner un rapport , constant, on devra avoir :

Le secoDd facteur diminuant avec n, il faut nécessairement que le premier augmente.

Les observations du tir de 100 boulets de 16 aux distances de 200% 400» et QOO'^, et celle de 1:25 et 250 balles de pistolet, aux dislauces respectives de 50'» et de 100°', fournissent une vérification des formules qui viennent d*ètre établies.

Dans les premières, les écarts ayant été d'abord pris relativement à la verticale et à l'horizontale qui passe par le point d'Impact moyen sur les 100 boulets, on a pris leur somme et leur moyenne', la somme de leurs carrés et leur moyen carré ainsi que le moyen écart. On les a ensvite divisées en séries de 10 dans l'ordre du tir, et on a calculé la somme des écarts et des carrés des écarts pris relativement au point d'impact moyen, par séries, puis, la somme et la moyenne des résultats de disque série. Ce calcul s'est fait au moyen des formules indiquées plus liaut (art. 2 et 28). On a opéré de même par séries de 20.

Les observations sur le tir des balles ont été divisées par séries de 25 et comparées de la même manière.

Oo a eh outre comparé les écarts moyens, et les moyens écarts, pris par séries, anx quantités analogues prises sur l'en-

semble; on a également calculé lerapjîort— et— et on a

. obtenu les résultats renfermés dans le tableau ci-après.