ÉCART
Bon- 1
Verlical k.
Horizontal H.
Vertical &.
Boalelde46/ 1 série de 400 i \b séries d« 20.
200*. (40 séries de 40.
lapfMl «M Wf. mr le «1 «■ IW .
O.^fiGI 0,254 0,223* 0^
( 4 séHe de 400.
400 ». \ r> séries de 20.
MÛ séries de 40.
■iffM iM Mgr. Mr «1 «r iSt .
ow
/ 4 série de 100.
600». { 5 séries de 20.
HO séries de 40.
1 Rap()ort 4m moj, mr 10 SI HT teO .
|Ballesdepij-i 4 série de 425.
ludëtsfSO-.rSsdriesde 25.
ft,2098 0,2078 0,990
n • 140 séries de 25.
H (' 1 IntguUer.
Les résultats renfermés dans le tableau ci-dessus font voir que, comme l'indiquent les formules; 1° les moyens écarts sont d'autant plus grands qu'ils sont pris sur un plus grand nombre d'observations; 2* les moyennes, prises sur 10 boulets, horizontalement et verticalement, aux trois distances, sont les fraclions respectives ci-après des moyens écarts pris sur 100, savoir : 0,948, 0,968, 0,993, 0,999, 0,995, 0,998, ou en moyenne 0,984, c'est-à-dire 0,016 au-dessous de l'unité; la formule donne 0,020, la différence est négligeable. Les écarts moyens pris par séries de 10 boulets sont en moyenne 0,957 des écarts moyens pris sur 100^ c'est-à dire d'enviroo 0,04 au* dessous, comme Tindique la formule. De même, dans le tir des • balles au pistolet, les moyens écarts par séries de 25 balles sont de 0,07 et 0^08 au-dessous des écarts sur 126 et 260, comme
rÂpdi^tfè la formule; ceUe-d se vérifie aussi par les écarts * moyens.
On remarque le mtee accord dans le rapport — ei — i car
la formule indiqué que si on le prend par séries de 10 coups et de 100 coups, le premier serait 1^041 du second; robservation donne en moyenne 1 ,05 -pour trois d'entre eux ; le quatrième présente une inégalité qui provient d*uoe irrégularité déjà signalée. On trouve des résultats analogues dans les rapports pris sur des séries de 25 balles comparées aux séries sur 125 et 260..
La quantité — croissant ainsi a mesure qu'elle se rapporte à un
moindre nombre d*observationSj ce ne serait qoe sur un très* grand nombre d'observations qu'on verrait se réaliser plus sAre-
ment le rapport remarquable — =: ic.
liS considération des carrés des écarts qui nous permet de corriger les résultats d'observations peu nombreuses a encore sur les simples écarts Tavantage de plus de régularité , lorsque le nombre d'observations n'est pas très-grand Pour le reconnaître, on a, dans chaque série, comparé le moyen écart sur 10 boulets boriionlalement ou verticalement, à 200*, 400'*et600>*, ^àla moyenne des 10 séries; et, pour cbacun. on a pris la diOérence à l'unité, en plus ou en moins, puis la moyenne do ces différences. On a trouvé qu'aux trois distances indiquées : les erreurs moyennes étaient respectivement 0,183, 0,185, 0,135. Ces différences prises de la même manière sur les écarts moyens ont été rep|>ecliveraent 0,238, 0,201, 0,209, lesquelles sont encore plus gi aiidcs que les Uiilércoces moyenues prises sur les moyens écarts.
En opérant de la même manière sur les 5 séries par 20 coups, m trouve des différences qui sont respectivement 0,124 et 0,129, ce qui laisse encore un léger avantage à l'emploi des carres des écarts. De même, sur les 10 séries de 25 coups comparés à la moyenne sur 250, on trouve rcspcclivenw^nt 0^107 et 0,164 pour les erreurs moyennes, prises respectivement sur lea moyens, écarts ou les écarts, moyeas^ i'avantagjS est donc toujours aux moyens écarts.
D'aprèa ce qui vient d'être dit. Ton volt que, pour comparer
l$i justesse de lir de plusieurs armes différentes ou Thabilelé de plusieurs tireurs, il est plus exact de considérer les carrés dçs écarts que les simples écarts, surtout quand le nombre des observations n*esl pas très-considérable; dès que le nombre <|e9 observations atteint 25, lavantago est très-faible, c'est une vérité qu'il était important de constater. La considéralioQ des carrés des écarts est donc à la fois plus exacte et pins commode; mais il ne doil pas y avoir d'exclusion pour les simples écarts, comme quelques auteurs Tont pensé.
Les relations qui ont été établies pprmetlent de passer facilement de l'écart moyen ai» moyen écart dès que le nombre d'ob* servations n'est pas trop ptetit; |a recherche de l'écart moyen pourra suffire dans bien des caS| et n'exigera que des calculs beaucoup plus simples. •
Les rélations que nous avons obtenues pour le tir à la cible sont t^pplicable^ aux prreurs dans la détermination des autres quantités, par des observations plus ou moins multipliées, dès qu on peut y appliquer la loi des écarts qui nous a servi de base.
50. Sur la fortnuU de Laplaee f«t dotme la prohaMUé dn Vwrtur à craindre eur la moyenne arilhméitque d'un nombre donné d'obieroaitom,
La formule donnée par Laplaee pour calculer la probabilité» qu'une moyenne prise sur un grand nombre d'observations ne s'éc^irtede la véritable que d'une quantité donnée, revient à supposer que la probabilité d'un écart de la moyenne décroîi comme une certaine puissance d'un nombre plus petit que l'unité, et que cette puissance est proporlionnelle au carré de l'écart et en raison inverse du nombre de mesures sur lesquelles est prise la moyenne.
En effet, x étant un écart proposé, c~* le nombre plus petit que l'unité adoptée (e étant la base des log?rilhmes népériens), n le nombre des observations, e' une quantité qui dépend de la grandeur des écarts observés, cl pour laquelle nous prer)dronsla moyenne de leurs carrés A^; la probabilité que l'erreur est égale à X ou qu'elle ne -dépasse x que d'une quantité in^o^m^ petite dx, sera représentée par ia foro^ule
ke •* .dx.
La probabilité que Terreur ne dépasse pas une quantité proposée^ soît en plus^ soit en moins, sera donnée par l'intégrale de eette expression depuis la quantité proposée prise négativement jusqu'à cette même quantité, prise positivement et divisée par cette même intégrale étendue depuis Finfini négatif jiisqtii*à Tinfini positif; en appelant p celte probabilité et « Terreur à craindre qui y correspond, on aura
or, le numérateur multiplié par p= est ce que nous avons re--
préseotépar f (a), le dénominateur est égal à et que e'=^; on aura donc :
ce qui fait retomber sur la formule de Laplace.
Il est très-nalurel d'admettre que la grandeur des erreurs à craindre est proportionnelle à la grandeur des erreurs observées, et nous avons indiqué les raisons qui motivent l'emploi de la moyenne des carrés des écarts observés ; il est bien évident aussi qu'à mesure que les observations sont plus multipliées, la moyenne des mesures est plus près de la véritable, et il estaaseï naturel de faire croître la puissance comme ce nombre*
ou, en remplaçante-^ par « et par f, et en remarquant
que l'intégrale prise du côté des « positifs est la même que du côté des x négatifs, on aura
p=s(p(a) et •=^^
APPUQUé AU HR DBS PROJECTILES
