rq P q

et, en général, si m est égal à, ar(p + ?). ^^ Q-ura :

(arp + arq) (arp + ar^ — i). . .{arp + 1)

** ^ txst:: ^q ^ ^ '•

Considérons un terme L éloigné de r places du maximum ; il sera de la forme :

(arp + arq)(arp + arq^i),,.(a7ydz.r + i) ^ ^^

i.2.3...(arç=Fr) y ^ r -^ >

Prenons le rapport de M à L, nous aurons

M __ (arp + r) {arp -{-r — i).. .(arp + 2) (arp -\- i) q^ L (arq — r + 4) (arq — r + 2). . . arq ' p*"

OU bien

M (arq -^ r) (arq + y -— i)- • '(arq + 2) (arq + i) p^ L' ~" (arT? — r-^i)(arp — r-\-^). ,.arp (f

après la suppression des facteurs communs.

On voit, d'ailleurs, que le second rapport ne diffère du premier que par le changement de p en $ et réciproquement .

Démontrons, maintenant, que ces deux rapports peuvent être rendus aussi grands qu'on le veut. A cet effety décomposons p'* et if , afin de joindre p ou g à chacun des facteurs du numérateur ou du dénominateur ; il viendra :

M (arpq + rg) (arpq + rq — q). . .(arpq + q) L (arpq —• rp -\- p) (arpq — rp-\- ^2p), . ,aipq'

On peut considérer Jî comme le produit de r facteurs

Le

dont le k^ a pour expression :

arpq + rq-'(k — i)q ^^^ ^ ^ r ^

arpq — rp + kp , k

Chacun des r facteurs est > 1 , car si Ton retranche le dénominateur du numérateur, le reste

est toujours positif, puisque la plus grande valeur de k est r.

On voit, en outre, que pour une même valeur de A, le numérateur croît, tandis que le dénominateur décroît lorsque r augmente, d'où il suit que la valeur des facteurs augmente avec leur nombre et que, par conséquent, leur produit devient de plus en plus gFand.

Enfin, pour une même valeur de r, le numérateur diminuant lorsque k augmente, tandis que le contraire a lieu pour le dénominateur, il est évident que les facteurs forment une suite décroissante, dont le premier et le dernier terme,

r apq

comprennent entre eux la quantité

apq -^q ap + 4 apq ap

Or, il est toujours possible d'assigner la valeur d'un

—r — ] égale ou surpasse un nombre donné G ; il suffit de poser

loge

it =

log (ap + i; — log ap

si le second membre est fractionnaire, on prendra pour k le nombre entier immédiatement supérieur.

Maintenant, on peut faire en sorte que le facteur

placé au rang marqué par k dans la valeur de j^, devienne égal à ; il suffit, pour cela, de poser

l'équation

arpq -{-rq — {k — \) q ^ap -\- \ arpq — rp -\- kp ~^ ap

et de déterminer r en conséquence. Cette équation donne

ap -\- i

d'où

Pour cette valeur de r, les â — 1 facteurs pris sur la

gauche de la valeur de r surpassant , qui est égal au facteur de rang k, le produit des premiers par ce

dernier surpassera nécessairement ( ) , c'est-à-dire

le nombre C. Enfin, les facteurs qui suivent étant tous

>^ 1 , le produit complet, ou la valeur de |; surpassera

à plus forte raison le nombre C.

Par ce qui précède, on a donc déterminé le nombre r, de manière qu'en élevant le binôme (p + ?) à la puis-

sance ar (p -j- g), le rapport jj surpassera tel nombre qu'on voudra.

Pour traiter de même le rapport p, il suffira de

80 THÉORIE DES PROBABIUTÉS.

changer p eu j et réciproquement dans la formule précédente, ce qui donnera

it. = ^^

log (aq + i) — log aq' ar (p + ^) = m = a j a; + ?^^i^ I ( p + ^).

Lorsque cette valeur dififérera de la précédente, il faudra employer la plus considérable des deux, qui rendra en même temps

Si, en faisant croître r, on peut rendre M aussi considérable qu'on veut par rapport à L, d'autre part, la valeur absolue de ce terme M diminuant sans cesse, tend à s'abaisser jusqu^à devenir une fraction très-petite, comme il est facile de s'en assurer en transformant son expression par la formule de Stirling (§ 34), qui donne

1/ ^nmpq

Mais la probabilité relative de l'événement composé qui correspond à M, reste toujours voisine dé l'unité par rapport à celle de l'événement L, comme le prouve l'expression de cette probabilité relative :

quantité très-voisine de l'unité.

Si l'on admet que le terme maximum peut décroître

indéfiniment en valeur absolue quand le nombre de termes augmente, on reconnaîtra que la probabilité de la production d*un nombre d'événements A qui diffère au plus d'une constante absolue l du nombre de ces événements dans le terme maximum, peut être rendue aussi petite qu'on voudra. En effet, cette probabilité se compose de2l-\-l termes, tous plus petits que le maximum, et commençant à celui affecté de p*'^+*2*''*~', pour finir à celui affecté de p*^*"* ç«»^+ï ; gi le maximum peut être rendu aussi faible qu'on le veut, il est évident que la diminution de la somme des {21 -{- 1) termes en question est aussi sans limites. Nous ferons plus loin usage de cette remarque.

§ 31. — Afin d'éclaircir ces notions par un exemple, supposons qu'il s'agisse d'extraire au hasard une boule d'une urne qui contient deux boules blanches et une^ noire. L'événement A consistera dans l'apparition d'une

boule blanche et aura pour probabilité -; l'événement

contraire, B, dont la probabilité est ^, consistera dans

l'apparition d'une boule noire.

La formule du binôme donnera successivement : P pour une série de 3 tirages,

(3bi., onoir) (2,4) (1,2) (0,3)

Probabilités: -, ^, -, —

2" pour une série de 6 tirages,

3** pour une série de 9 tirages.

Probabilités :

(9,0) (8,1) (7,2) (6.3) (5,4) (4.5) (3,6) (2JJ (i,8) (0,9) 542 2304 4608 5376 4032 2016 672 144 18 1

Les figures ci-après présentent la traduction gra-

phique de ces résultats. Les abscisses sont proportionnelles aux nombres d'événements A qui entrent dans chaque événement composé, et les ordonnées^ à la probabilité de chacun de ces derniers. On remarque que.

dans les trois séries, le plus grand terme est la probabilité correspondant à la combinaison qui donne un nombre de boules blanches précisément -double de celui des boules noireg. Les termes vont en décroissant de part et d'autre de ce terme maximum. Les rapports des plus grands termes à ceux qui les précèdent ou qui les suivent immédiatement, vont en diminuant et en se rapprochant de Tunité, à mesure que la série comprend un plus grand nombre de termes. An contraire, les rapports des plus grands termes aux termes extrêmes, vont toujours en augmentant, les termes extrêmes diminuant avec une grande rapidité, tandis que le plus grand terme diminue aussi, mais bien plus lentement.

Pour une série de 9 tirages, qui donne dix termes ou combinaisons dijQTérentes, la somme du plus grand terme, de celui qui le précède et de celui qui le suit immédiatement, forme plus des sept dixièmes de la somme totale des termes du développement.

Si Ton embrasse une série de 90 tirages, on trouvera, avec le secours de tables de sommes de logarithmes, calculées spécialement pour cet objet, les valeurs suivantes pour les cinq termes les plus grands :

Leur somme est égale à 0,423571, ou à plus des deux cinquièmes de la somme totale des 91 termes du développement. Au contraire, les valeurs numériques

* Voyez « Tabularam ad faciliorem et brcviorem probabilitatis cornpntationem utilium Enneaâ » auct. Dcgen.

des deux termes extrêmes sont d'une excessive petitesse ; puisque celle du terme (90,0) serait exprimée par une fraction ayant pour numérateur l'unité et pour dénominateur un nombre de 16 chiffres; tandis que la valeur de l'autre terme extrême (0,90) se trouverait exprimée par une fraction incomparablement plus petite encore, ayant pour numérateur l'unité, et pour dénominateur un nombre de 43 chiffres.

Remarque. — Nous venons de voir que, pour une série de 9 tirages hors d'une urne contenant des boules blanches et des boules noires dans le rapport de 6 à 3, Ja probabilité du terme maximum (6,3) est

Si le rapport des boules des deux couleurs avait été de 7 à 2, la probabilité du terme maximum (7,2) serait devenue plus grande, et se serait élevée à 0,3061.

Cela revient à dire que la probabilité de l'événement composé le plus probable augmente en même temps que la difflérence de probabilité des deux événements simples ; en d'autres termes, les anomalies du hasard tendent à se compenser d'autant mieux que l'on opère sur deux espèces d'événements contraires dont les probabilités simples diffèrent davantage.

Ce fait remarquable sera démontré d'une manière générale au § 68 ; mais nous l'énonçons dès à présent, parce que sa signification géométrique^ qui ressort trèsclairement des considérations précédentes, disparaîtra

presque complètement au milieu des développements analytiques du paragraphe en question.

§ 32. — De Taggloméri^tion des plus grands termes -\

du développement du binôme dans le voisinage du !

terme maximum, résulte une proposition de la plus haute importance, démontrée pour la première fois par Jacques BernouUi, et qui s'énonce ainsi : '\

« On peut toujours assigner un nombre d'épreuves «< tel, qu'il donne une probabilité aussi approchante « de la certitude qu'on le voudra, que le rapport du « nombre de répétitions du même événement au nombre « total des épreuves ne s'écartera pas de la probabilité « simple de cet événement, au delà de certaines limites « données, quelque resserrées qu'on suppose ces lice mites. »

Pour le prouver, soit encore p la probabilité d'un événement A, et m le nombre des épreuves. 11 arriverait pY^rn événements de cette espèce, s'ils se répétaient exactement d'après leur probabilité simple. Au lieu de cela, supposons que, sur le nombre m d'épreuves,

il n'y ait pas plus de fp + -) m, ni moins de fP"" ~) wi

événements A ; et pour que ces derniers nombres soient entiers, faisons m=^ ar: ils deviendront respectivement apr -f- r, apr — r. Ainsi, dans le développement de (p + î)"'^'*^***', les 2 r + 1 termes pris depuis celui où l'exposant de la lettre^ est apr-\-r, jusqu'à celui où cet exposant est cfpt' — r, inclusivement, donneront toutes les chances pour les événements dont la compo-

sition est renfermée entre les limites assignées ci-dessus. Le plus grand terme se trouvera placé au milieu de ceux que je viens d'indiquer, car leur ensemble pourra être représenté par

(Exposants) p«»*P + r qarq - r . . . parp f^arq , . . parp - r qarq + r

Ju • • • ill • • • L« •

Cela posé, il suit de la proposition démontrée § 30, « que la somme des termes compris entre M et L inclu- « sivement, peut être rendue aussi grande qu'on voudra, « par rapport à la somme des r autres termes, pris sur « la gauche de L, en allant vers le premier terme du « développement. »

Enefiet, si l'on désigne par F, G, H.... les termes compris entre M et L, en allant de M à L; par P, Q, R... les termes qui précèdent L, en allant vers le premier terme p"'', on aura le développement suivant :

p«- . . . R, Q, P, L. . .H, G, F, M, F', G', H'. . .L', F, Q', R'. . . ça»* .

Or, comme le rapport de deux termes consécutifs du développement croît vers la gauche à partir de M (§28), on aura :

d'où

or, on a Tidentité

donc