i\5/i\3 56 Réponse
68 THÉORIE DES PROBABIUTÉS.
2^ Déterminer la probabilité d'amener 8 fois de suite
croix en 8 épreuves. = ^.
S'' Quelle est la probabilité d'amener une fois seulement le point 6 en quatre jets successifs d'un dé à jouer ?
Ici on a
et il vient pour la probabilité cherchée :
n« fl» = t= — à peu près.
4^ Quelle est la probabilité d'amener le point 6 au moins deux fois dans quatre jets successifs d'un dé à jouer?
On l'obtient en prenant la somme
p* + 4p'o + 6»*a*== — 1-4 h6 — r- = renlre-et-.
Si Ton eût demandé la probabilité d'amener 6 au moins une fois, il aurait fallu prendre la somme des quatre premiers termes du développement de (p -j- qY ; mais il est plus court de calculer ici la probabilité œn-
traire, qui est g* = -^, et de la retrancher de l'unité :
on obtient ainsi ^— pour la probabilité demandée ; et
puisqu'elle surpasse -, il est probable, dans le sens
usuel du mot, que le point 6 arrivera au moins une fois dans quatre jets.
§ 25. — On voit, par ce dernier exemple, comment la probabilité d'amener le point 6 au moins une fois,
qui n'était que g à la première épreuve, s'est accrue
par la répétition des jets du dé. Cette remarque* nous conduit à la question suivante :
« Déterminer le nombre d'épreuves nécessaires pour « que l'arrivée d'un événement acquière une probabilité « donnée. »
Supposons qu'on demande en combien d'épreuves on
acquerrait la probabilité ^ d'amener le point 6 au moins une fois : on aurait
et il faudrait déterminer m par la condition que la somme des termes
fût égale à 2 ; ce qui ne pourrait se faire que par tâtonnement ; mais dans ce cas particulier, en prenant la probabilité égale et contraire, exprimée par le seul
terme g*^, il suffira de trouver la valeur de m qui con-
vient à l'équation g"* = ^ ; et cela est facile au moyen
des logarithmes. On obtient ainsi m = 3,802.
S'il s'agissait de trouver le nombre de jets de deux
dés, pour lequel il y a autant de probabilité d'amener
deux six (ou sonnez) que de ne pas le faire, il suffirait de
poser gr == ^, d'où Ton déduit par le même artifice
m = 24, 6, — C'est le problème proposé à Pascal par le chevalier de Méré. Ainsi, l'on parierait avec supériorité de chances, d'amener au moins une fois un sonnez en 25 coups, et avec infériorité de chances de l'amener en 24 coups. Cest l'unique manière d'interpréter dans ce cas la valeur fractionnaire trouvée pour le nombre m qui, de sa nature, doit être entier.
§ 26. — Lorsqu'on jette une pièce à deux faces que je désignerai par A et B, la probabilité d'amener la face A au moins une fois en deux coups est, d'après ce qui précède :
D'Alembert {opitsc. Math., t. II, p. 20) prétend que cette probabilité n'est que de 2/3 : car, dit-il, si l'on amène A au premier coup, le jeu est fini; et si l'on amène au contraire la face B, il faudra jouer le second coup qui donnera A ou B ; en sorte qu'il ne peut réellement arriver que l'un de ces trois événements A, BA, BB, dont deux font gagner le pari.
Ce raisonnement est spécieux : mais Terreur consiste à supposer aux deux événements composés^ B A, B B, la même probabilité qu'à l'événement simple A. La probabilité de celui-ci est ^ comme celle de B ; mais celle
des événements B A, BB, qui n'ont lieu qu'au deuxième coup, est, avant le premier coup,
Ainsi le joueur qui parie d'amener A âu moins une fois a en sa faveur la probabilité
On arriverait au même résultat par l'énumération des arrangements que présentent les deux épreuves combinées ensemble, savoir:
ÂÂ, ÂB, BA, BB.
§ 27. — « Un joueur a reconnu que, dans une partie « formée de 3 points, il peut en céder deux à son adverse saire pour établir entre eux l'égalité : on demande « la probabilité qu'a le premier joueur de gagner un « point, n
Il résulte de l'énoncé qu'il a la probabilité 1/2 de
gagner 3 points de suite, puisqu'il perdrait la partie si
son adversaire en gagnait un auparavant ; on a donc
pour ce cas
p» = -, d'où p =
ce qui revient à environ 0,79 ou un peu moins de -,
Si le premier joueur ne cédait qu'un point sur trois, alors les chances en sa faveur seraient de gagner les trois points de suite ou en quatre coups au plus ; car s'il manquait deux coups, son adversaire gagnerait la partie. Ainsi, l'on aurait
72 THÉORIE DES PROBABIUTÉS.
OU, en remplaçant q par (1 — p), Cette équation étant résolue donne
p = 0,6143 environ.
§ 28. — La considération des événements composés qui peuvent arriver dans les épreuves répétées des mêmes hasards, mérite toute notre attention, parce qu'elle fournit les meilleures bases que Ton puisse donner à la philosophie du calcul des probabilités, pour fonder Tutilité de ses applications.
Chaque terme du développement du binôme (§ 23) correspond à lune des hypothèses possibles sur le rapport du nombre des événements A au nombre des événements B, le nombre total des épreuves étant m. La somme de tous les termes, ou de toutes les probabilités correspondantes à. ces diverses hypothèses, est égale à l'unité ; et comme le nombre des termes ou des hypothèses est (m-f-l), on comprend que les valeurs aôsoltces des divers termes doivent devenir de plus en plus petites à mesure que le nombre des épreuves devient plus grand. Mais pendant que ces valeurs décroissent, elles conservent entre elles certains rapports, dont la loi est ce qu'il y a de plus important dans le sujet qui noua occupe.
Le terme général du développement de (p +5)*^, savoir :
l.a.3^..(n-V» =^P'»-»^-(«+*)*~ terme
DE LA RÉPÉrmON DES ÉVÉNEMENTS. 73
est précédé d'un autre qui a pour expression
TO (m — 1) (m — 2). . .(m — n + 2)
pm — n+ i çn — 4 . , . ;i« terme.
En divisant la première de ces expressions par la seconde, on aura
pour le rapport d'un terme au précédent, valeur qui diminue à mesure que n augmente.
Mais il est clair que le terme renfermant q"^ sera supérieur, égal ou inférieur à celui qui le précède, selon que le rapport
Dans le premier cas, on aura
dans le dernier,
fl(m + i) ^> i •
Donc, si le second membre était un nombre entier, en le prenant pour la valeur de n, on rendrait le rapport (a) précisément égal à l'unité : il y aurait alors deux termes consécutifs égaux et plus grands que tous les autres, le n' et le (n -|- 1)*.
Dans le cas contraire, la plus petite valeur entière de n qui, substituée dans le rapport (a), le rendra plus petit que Tunité, correspondra au premier terme qui décroit. Il faut donc prendre pour premier terme
décroissant celui pour lequel Texposant de q est égal au nombre entier immédiatement supérieur à l'expression fractionnaire
Le terme précédent, qui est le terme maximum, sera donc celui pour lequel l'exposant n de g est égal au nombre entier immédiatement inférieur à
Ainsi, n est compris entre les nombres fractionnaires
Comme nous prenons pet q pour les probabilités de deux événements contradictoires A et B, on a p + g = 1 , et ainsi
Si le produit qm est un nombre entier, qm sera précisément le plus grand entier, n, contenu dans q[m-\'\)\ [m — n) sera donc un autre nombre entier égal kpm, et « le plus grand terme du développement « sera de la forme M p^ g*^, et correspondra, par u conséquent, à la combinaison pour laquelle le rapport « du nombre des événements A au nombre des événe- « ments B est précisément le même que celui de la « probabilité de l'événement A à la probabilité de Tévé- « nement B » .
En tout cas, le plus grand nombre entier, n, contenu dans q {fn -{- ï) différera de qm de moins d'une uhité (puisque q est toujours une fraction); et on pourra dire qu^en général, « la combinaison la plus probable est « celle où le nombre des événements A est au nombre ce des événements B dans le rapport de la probabilité « de A à celle de B. >»
§ 29. — Après avoir reconnu le rang et l'expression du terme qui surpasse tous les autres, il faut encore examiner la marche de ses rapports avec ceux-ci. Pour cela faisons, dans le rapport (a), n = gm; m — n = pm : ce rapport deviendra celui du terme maximum au terme antérieur, soit
qm p mp
quantité qui approche de l'unité d'autant plus que le nombre d'épreuves, m. est plus considérable.
Dans le terme qui suit, le maximum n devient n -}- 1 = gm -j- 1 ; m — n devient m — n — 1 = pm — 1, et le rapport de ce terme au terme maximum est
qm + i p j^i ^
mq
fraction qui tend sans cesse vers l'unité, à mesure que m augmente.
En passant ainsi à des termes distants de deux, trois . . . places du terme maximum M, on reconnaîtra
76 THÉORIE DES PROBABIUTÉS.
saDs peine que, de chaque côté de ce terme, le décrôissement devient de moins en moins rapide à mesure qu'on fait croître le nombre m. De là résulte Fagglomération dans le voisinage du maximum, de termes qui ont des valeurs diminuant lentement, et dont la somme doit faire la plus grosse part de la somme totale {Vunité) des termes du développement.
Il doit résulter de là aussi qu'à mesure qu'on s'approche des extrémités de ce développement, « on arrive « à des termes L, par exemple, dont le rapport avec M « décroît, de manière qu'on peut toujours assigner à m « une valeur assez grande pour que ce rapport devienne « aussi petit qu'on voudra. »
Voici à peu près comment Jacques Bernoulli démontre cette importante proposition.
§ 30. — L'exposant de q, dans le terme maximum, doit être compris, venons-nous de voir, entre
faisons m =r{p '\'q): il viendra
Donc, le terme maximum du développement de {p + qY^''^ sera :
M « i^ + ^9)(rp + rq—i)...{rp + i)
