EXEMPLE NUMÉRIQUE
§ 132. —Voulons-nous voir maintenant quelles sont les corrections les plus probables que devraient subir nos observations ? calculons les valeurs des A, en remplaçant x.y^z... par leurs valeurs numériques dans les équations {p') : nous aurons ainsi
Ces corrections servent à calculer terreur moyenne des observations. Soit e le nombre des équations (ou des observations); i celui des inconnues. Si nous connaissions à priori les véHtables valeurs des inconnues, nous pourrions calculer immédiatement les erreurs réelles lA, lA', lA''. . . de a?, y , ^, ... et égaler [lA*] à e fois le carré de Terreur moyenne, pour en déduire celle-ci ; nous aurions donc, dans cette hypothèse,
jXii^.
Recherchons la valeur la plus probable de [jA*]. Acet effet, multiplions^ d'abord les équations (jo') respectivement par A, A', A''... et faisons leur somme; nous aurons :
[iA«]=a;(aA + a'A' + o"A" + ...) + y(frA + ^'A'+ft"A"+...H- « (cA + c'a' + c"A" + ..•)+.• • + nA + n'A' + n"A"...
Les A, A', A"... qui entrent dans cette expression ne sont pas ceux que nous avons calculés dans l'hypothèse du minimum de la somme des carrés des erreurs : nous
372 THÉORIE DBS PROBABILITÉS.
supposons que ce sont les véritables erreurs des observations. — Posons :
aA + o'A' + a"A"+ ... =[1.
ftA + ^'A'4-*"A"+...=K-' , .
cA 4- c'a' + c"A" + . . . = li." ^P '
il viendra :
[i A«] = ajfJL + y|x' + ;jj|x" -f . . . + nA + n'A' 4- n"A" + . . .
Mais les valeurs de a?, y^z... peuvent, en appliquant la série de Maclaurin aux équations linéaires (p), se mettre sous la forme :
a; = ik 4-5 A + 5' A' + S" A"4-...
y = fc' + *iA + 5'4A' + *"4A"+... ^p^^^^
expressions dans lesquelles nous négligeons comme insensibles les termes en A*, A'*, A"*...., A', A'',
A"^ , etc. En éliminant les A entre les équations
(p^') et (p'^"), qui sont en même nombre, nous pourrons
obtenir 0?, y^ z.... en fonction des [jl, jx' Écrivons
donc :
y = B + Çi' ^ + q,y+q,'V' + . . .
substituons dans ces expressions à p., ]x' leurs
valeurs (p**), il viendra en posant :
m = 07< -f- bqi' + ^^'Çf" + ••• m' =a'7t+ fe'(?/ +<:>"+...
CALCUL DE l'erreur MOYENNE. 373
wi = aqi' + bq% + cqj + ...
rni' = a'7i'+ h^q^ + c'ç/ + ... ^
a; = A + wi A 4- m'A' + m"A" + ...
y = B + mi A + wn' A' + wu" A'' + . . . r = G -f- • • •
D'autre part, en portant les valeurs de a?, y, z.... de (p"") dans (p') et ordonnant par rapport à p., jx', [jl"...., on trouve :
A = wifA-f-^i i^' + ''m*^'' + --- + 5
A' = m> + mi[x' + mt>" +... + §
et enfin ces expressions donnent pour [^A*] :
[,A«]=(x4^m+n'm'4-n'W'+..0îit4-(y+nmi4^'m/4^''m/'+...)jx'
Mais on a évidemment :
nm + ^'w' + »"wi" ... = nmi 4" w'm/ + «"wii" ... = nmf + n'mt' + «"w," ... =
car, en remplaçant dans d?"") A, A', A".... par leurs valeurs (p'), nous devons, pour obtenir t identité^ poser, en ce qui concerne œ :
am + a*m' 4- a"w»" . .. = 4
bm + b'm' + ^ 'm" . . . = 0 (px^)
cm + c'm' + (/'m"... = 0
et
A 4- mil + n'm' 4- n"m" ... = 0.
Dans la substitution pour y, nous devrons poser semblablement :
ami 4- o,'m\' + a"mi" + ... — 0 bm^ + Vnii' 4- y'ifii" -f ... — 4 cwii 4- c'mi' 4- ^'Wi" 4- ... = 0
B 4- nmi 4- n'm/ 4- n"m/' 4. ... = 0.
et de même, par rapport k x...^ etc.
Il restera donc :
[iA«]=.(rc-A)jx + (y-B)Hi'4-(«-C)îx"4-...4-[n«].
Remarquons que A, 6, G... sont précisément les valeurs les plus probables de â?, y^ 2..., et que [ni] est le [A*] correspondant à ces valeurs les plus probables. En effet, pour celles-ci, on a (//") :
d'0Ù{pxni) ««A, y = B...
et [n5] « [A«].
Remplaçant [lA*] par e e*,e étant Terreur moyenne cherchée, il vient donc :
eet = (a:-A)HL4-(y-B)jx'4-(»-C)ïii"4-..- + [A']-
Considérons ce que vaut (x — A) |x par exemple ; on a
a; — A = mA 4- m'A' 4- m" A" 4- ... |x = aA 4- a' A' + o"A" 4- ...
d'où (X — A) fil = om A» 4- a'm' A'« 4- a"m"A"» + . . .
plus des termes en ± A A', AA" , . . . A' A''. . . . , qui s'annulent dans la moyenne. Prenant enfin pour les vrais A qui nous sont inconnus, Terreur moyenne e, il vient j
(x— A)|x = (am4-a'm' + a"m"4-...)t» "^
OU en vertu de (p*^
CALCUL DB l'erreur MOYENNE. 375
On trouverait de môme e' (valeur moyenne) pour (y— B)/, (z—C)\i!^.... Il en résulte qu'on a :
,• =- ût 4- [A«]
d où . ,t [A*]
formule qui s'accorde avec le § 113; car, dans les observations directes, on n'avait qu'une seule inconnue à déterminer, d'où i =^1.
Dans l'exemple précédent, on a donc
d où « = zh 0,283.
§ 133. — Il nous reste à résoudre une question trèsimportante. L'utilité de la méthode des moindres carrés ne réside pas seulement dans la précision du résultat qu'elle fournit : un de. ses avantages les plus précieux est de permettre d'apprécier numériquement le degré d'exactitude que ce résultat comporte. Nous allons donc chercher le poids de nos inconnues.
Dans ce but, rappelons-nous (§ 125) qu'après avoir tiré de
l'équation différentielle nous en avons conclu
P étant le poids de la fonction u;p celui des quantités
observées, d , cl\ cl" .... Ici, comme toutes les observations sont supposées également exactes, nous prendrons l'une d'entre elles pour unité de poids, et nous aurons ^ rwi
Voyons ce qui arrive dans le cas actuel. — Puisque nos i inconnues ont été déterminées en fonction des e quantités observées 0, 0', 0'^ .... (§ 129), le problème serait résolu, d'après ce qui précède, si nous possédions i équations de la forme
;c = /•" (0, 0', 0" ... )èlc.;
car nous en déduirions immédiatement
dx == ai dO + a, dO' + a» dO" ...
(q) ... dy = p4 rfO + p, rfO' + Ps dO" ...
de = Y4 dO + Yt dO' + r» ^0" ... etc. ;
Nous n'avons pas directement ces i équations (q) ; mais nous allons les déduire des e équations (p). En effet, puisque 0 + A = V, on a rfV = rfO + dA ; différentiant les équations (p) et substituant aux dV leurs valeurs, on aura
dA = — dO -\' a dx -{- h dy -\- c dz -\- ,.. (q')... dA' = — dO' -\-a'dx^b'éy\-c'd%^.,.
dA" = — dO" + a"dx + b*'dy + c"d« + ... etc. ;
équations qui, comparées à celles du groupe (p'), pourraient s'en déduire en changeant dans celles-ci les A en dA; les X, y y z .... en rfa?, rfy, dz,... et les n en dO. Si donc on traite le groupe (q') par la méthode des
moindres carrés, on obtiendra i équations normales qui ne différeront du groupe (p""") que par les changements que nous venons d'indiquer. Elles seront donc
laa] dx + [ab] dy + [û^] dz .,. — [a dO] == 0 (q") -. W àx + [bb'] dy + \bc\ d« ... — [6 dO] = 0
[oc] dx + \bc] dy -f \cc] dz ,.. — [c dO] = 0 ... etc.
Théoriquement, le problème est résolu ; car Téliraination entre ces i équations permet d'exprimer les dXy dy, dz.... en fonction des rfO, et de trouver par conséquent les valeurs des e X i coefficients (a, (3, y...) des équations (q).
Mais les calculs peuvent être singulièrement simplifiés par des considérations particulières, résultant de ce que nous n'avons besoin, en définitive, que de connaître les [a*J, [p*J, [y*]....
Adoptons, dans ce but, la méthode d'élimination par les coefficients indéterminés, et multiplions chacune de nos équations (q") par les coefficients ji, g^, ^3... Il vient ainsi
[aa] qidx + [ai] qidy + [oc] qtdz ... — [0 dO] çi = 0 (q'") . . . [abl q^dx + [bb] q^y + [bc] q^lz ... — [bd6]qt = 0
[ac] qzdx -\- [bc] qidy + [ce] qndz [c dO] ^i = 0 ... etc.
Supposons que nous voulions trouver en premier lieu dx : il faudra assigner aux coefficients d'élimination des valeurs telles, que la somme des coefficients de dx soil égale à l'unité, et les sommes analogues égales à zéro, pour les coefficients de dy.dz.... Cela nous donne les i équations de e termes chacune :
[aa] qi + [ab] q^ + [ac] qi ... = i (qi^) ... [ab] 9f + [bb] ç, + [bc] qz ... = 0
[ac] qi -f- [bc] qt + [ce] qi ... = 0 ... etc.
378 THËORIfi DES PROBABILITÉS.
Nous les nommons équations du poids pour la valeur de X. Éliminant par une méthode quelconque entre ces équations, nous pourrons trouver les valeurs de gi, ft, ^3, qui, substituées dans (q'"), donneront par voie d'addition
dx=[a (fO] qi + [b iO] ^t + [c dO] gi ...,
c'est-à-dire une équation entre do?, et les différents dO accompagnés de coeflScients numériques. Développons-la de manière à séparer les dO^ nous aurons
(qv) ... + (a'ç, + b'qt.+ (fq^+...)dO'
+ (fl"Çi + b"qt + C'qi + ...) dO" ... etc.
Comparant cette équation avec la première du groupe (q), nous en déduisons
ai = 0^1 + bqf + C^j + ...
(q^«; ... at = a'qi + b'q% + ^9* + —
Par suite, sans calculer les valeurs particulières des a, on peut, avec la plus grande facilité, former [a^J dont nous avons uniquement besoin. Il suffit, en effet, de multiplier la première des équations (q^) par «i, la seconde par o^, la troisième par a3... et d'ajouter. On obtient ainsi
(qvu) [«!] ^ [afl] qi + [aft] q% + [ac] ç, ...
Cette valeur de [«4] est bien plus simple encore qu elle ne le parait ici ; car nous allons faire voir que le coefficient de Qi est égal à Tunité, et que ceux de Çz, 93... sont égaux à zéro.
. En effet, nous avons déjà fait remarquer que les err^eurs A peuvent être considérées comme des diffé- •
rentielles des quantités observées : A est donc du mâme ordre que dO, et U différentielle (2 A peut être négligée vis-à-yis de (20, comme étant une quantité du second ordre. Cette considération réduit nos équations (q^ à la forme
dO ^ a dx-^b dy -^^ c dz^ .,.
(Û')... d(y ^a'dx + b'dy + c'dz + ...
dO" =- a^'dx + ïf'dy + (f'dz + ... etc.
Multipliant la 1" par ai, la 2® par a,, la 3* par «i.... et ajoutant les e équations résultantes, le premier membre ainsi obtenu sera identique avec le second membre de la l'^des équations (q); par suite, le second membre de l'équation résultante devra être égal kdx; donc le facteur de dx, dans ce second membre, devra être égal à Tunité, et les facteurs de dy, dz... égaux à zéro.
Ainsi on a
Notre équation (q^) devient donc enfin
Il est clair, d'ailleurs, qu'en agissant d'une manière analogue, on trouverait pour les poids de y, x....
Remarquons que la recherche des poids des inconnues, dont nous venons d'expliquer assez longuement la théorie, exige dans la pratique peu de calculs nou-
380 THÉORIE DES PROBABIUTËS.
veaux ; car les coefficients des équations du poids sont les mêmes que ceux des équations normales ; et on n'a d'autre travail que celui de l'élimination, pour trouver ?i> ou ^t ou çl\...
Tous les développements qui précèdent se résument donc dans cette règle pratique bien simple :
« Pour trouver le poids P^, d'une inconnue, a?, on << remplace, dans l'équation normale relative à a?, la « quantité toute connue par — 1 ; dans toutes les autres « équations normales, on remplace la quantité toute « connue par zéro. — En môme temps, on met q^ à la « place de a?, et on élimine toutes les inconnue res- « tantes. » On trouve ainsi
Connaissant le poids d'une inconnue, on trouvera son erreur moyenne par la relation
Dans le cas de trois inconnues, les équations du poids présentent donc les trois systèmes suivants, dans lesquels Qi, Q2, Q3 sont les véritables inconnues à déterminer, et les q des coefficients arbitraires à éliminer.
0 = — 4 + [oa] Qi + [Ob'] g, + \ac] qi (I) ^0= 0 + [a*]Qi +m^t +M^«
0 = 0 + [oa] g/ + W Q. + [ac] q,'
(„) ^ 0 = - 1 + [fl^] Ci' + m Qt + [pc] q,'
0 = 0 + lac-\ g/ + M Q, + M ^i'
0 = 0 + [oa] g/' + M ç," + [ac] ft»
(,„) ^ 0 = 0 + [afc] Çi" + [^è] çt" + m Û5
0 = - 1 + [oc] î/' + Ibc] qt'' + Icc] Q,.
Il est facile de voir que ces équations sont les mêmes que celles que nous avons déjà établies, dans un cas de substitution analogue, au paragraphe précédent. Si, en eflfet, dans les équations (p*^) on remplace les m par leur valeur en q^ on retrouve identiquement les équations dû poids.
Remarqtce. — Les équations du poids ne diflférant des équations normales que par les termes tout connus que renferment ces dernières, il s'ensuit que si, dans chacun de ces deux systèmes, on éliminait successivement toutes les inconnues sauf une seule, œ, le coefficient de X serait identiquement le même dans les deux équations finales : or, d'après ce que viennent de nous montrer les équations du poids, ce coefflcierit est précisément le poids de œ.
Il suit de là qu'on peut se dispenser d'opérer sur les équations du poids, et éliminer simplement entre les équations normales (en ayant soin de n'introduire aucun facteur d'élimination). Le coefficient de l'inconnue qui reste la dernière est le poids de cette inconnue. Ainsi, le poids de v (§ 129) est [dd. 3] ; et pour obtenir ceux de z, y, ce, il suffirait de former les coefficients [ce. 3] , [bb. 3], [aa. 3].
Cette méthode, qui est celle de Gauss [Theor. motus corpor. cœl.j § 182), fournit donc à la fois les inconnues et leurs poids. Cette particularité peut s*expliquer, en dehors de tout calcul, par la remarque que les coefficients de toutes les inconnues dans chacune des équations normales sont formés symétriquement au moyen de ceux des équations primitives. Il en résulte qu'après l'élimination, la dernière inconnue restante est déterminée par une équation M a? = N , ou M' y = N', ou ... etc., dans laquelle M et N, M' et N', etc., sont aussi symétriques Tun par rapport à l'autre, et ne diffèrent que par la substitution des coefficients' de y à ceux de œ ou inversement. Cette relation de symétrie est évidemment en harmonie avec ce que nous nommons le poids d'une valeur par rapport à une autre.
§ 134. — Comme application, calculons les poids des inconnues dont nous avons déterminé (§ 131) les valeurs les plus probables.
Les équations du poiàs de œ sont ici
6tt« + iS^t + çi =- 0 q% + Uqz = 0.
On en déduit par l'élimination ordinaire
"* ^ 19899 ' *d'oÙ P< "= 24,596 ... poids de x.
On trouverait, par une marche analogue,
Pt =» 13,649, ... poids de y.
Pi =. 53,927, ... — «.
Cette dernière valeur u est autre chose que celle du facteur [ce. 2J.
Quant à Terreur moyenne de chaque inconnue, elle se calculera en fonction de son poids, et de Terreur moyenne (§ 132) de Tunité de poids.
On aura donc (k7)
t' ss 0,057 erreur moyenne de x %" « 0,077 — y
§ 135. — Ajoutons quelques exemples pour familiariser le lecteur avec Tapplication de la méthode des moindres carrés.
P On doit faire passer une droite par quatre points dont les coordonnées n*ont pu être mesurées quapproximativement : quelle est Téquation la plus probable de la droite ?
Les coordonnées approximatives des quatre points sont
Puisque la ligne est droite, elle doit satisfaire à Téquation
Y-oX + p,
dans laquelle a et p sont les inconnues à déterminer. La mettant sous la forme
0 « «x + p — Y , et la comparant à la forme générale
384 TUÊGRIE DES PROBABILITÉS.
on a pour équations normales :
[XX]a + [X.4]P-[XY] = 0,
Substituant aux quatre groupes de coordonnées leurs valeurs observées, on trouve
