XX] = 115944 [XY

d'où

L'élimination donne

et l'équation la plus probable de la droite est

Comparant ce résultat avec les observations, on trouve

Ctleil. ObtirTalitii. Brrein. Carréi dei «rrtiit.

Pour a: = 0 ... y = 3,525 . . . 3,500 + 0,025 0,000 625

L'erreur moyenne est donc

2^ On veut représenter empiriquement l'équation de la trajectoire d'un projectile par une expression de la forme

Y«aX + pX« + YX»;

APPUCATION A L*ÉQUâTION EMPIRIQUE DUNE TRAJECTOIRE. 385

et on demande à robservation la valeur «la plus probable des coefficients a, ^, y.

Pour cela on placera, par exemple, de distance en distance un certain nombre, n, d^écrans, contre lesquels on tirera; on fera le relevé du coup, et on obtiendra ainsi n ordonnées de la trajectoire, correspondant à des abscisses mesurées d'avance, ou n équations de condition analogues. Les résolvant par la méthode des moindres carrés, exactement comme dans Texemple précédent, on obtiendra la valeur la plus probable des constantes cherchées. L'erreur moyenne du résultat montrera jusqu'à quel point Thypothèse dont on est parti est admissible ; c'est-à-dire qu'elle décidera si l'on peut assimiler la trajectoire à une courbe parabolique du troisième degré.

Il est clair que, pour se soustraire aux causes accidentelles d'erreur, on ne se contentera pas d'une seule expérience : on en fera plusieurs, dans des circonstances identiques de charge et de pointage, et on prendra, sur chaque écran, la hauteur moyenne du point d'impact. On aura ainsi l'ordonnée moyenne correspondant à l'abscisse de l'écran ; et2c'est l'erreur moyenne de cette espèce d'observations qu'il faudra comparer à celle du calcul, pour juger de la légitimité de l'hypothèse admise.

Nous nous dispenserons d'appliquer les nombres à cet exemple, bien que les données d'observation soient aisées à recueillir; mais il n'offre rien de particulier, et sa solution rentre tout à fait dans celles de l'exemple qui précède et de celui qui suit.

3^ Les expériences suivantes, faites par Hagen, ont eu pour but de trouver Tezpression de la résistance que Tair oppose à un mobile, indépendamment de la nature de sa surface, en fonction de la vitesse de ce mobile ^ (Voy. Orundzûge der Wahrscheinlichkeits - Rechnung ^ § 38.) V exprime la vitesse (en pieds) et R la résistance de Tair (en demi-onces) sur l'unité de surface (un pouce carré) .

Il a trouvé pour

Un simple coup dœil jeté sur ces nombres montre que la résistance n'est pas dans ce cas exactement proportionnelle au carré de la vitesse, comme on a coutume de l'admettre ; et qu'on doit, pour exprimer R en fonction de V, introduire encore un terme qui renferme la vitesse à la première puissance. Malgré cette correction, les résultats ne concordent pas encore d^une manière entièrement satisfaisante, et Hagen a introduit dans sa formule un troisième terme ayant pour facteur V*. Nous posons donc :

R « aV + PV« 4- yV» ;

* Les vitesses considérées sont beaucoup trop faibles pour que les coefficients obtenus soient applicables au mouvement des projectiles, par exemple. La. résistance de Tair doit, dans ce cas, être étudiée à Taide d'appareils spéciaux. — Voir le Traité de Balistique du général Mayevski.

ÉQUATION DE LA RÉSISTANCE DB l'aIR. 387

ce qui donnerait des équations aux erreurs, de la forme

A « — R + aV + pV» + yV».

Mais, en agissant directement sur cette espèce d'équations, nous accorderions trop d'importance aux observations qui se rapportent aux fortes résistances, parce que les erreurs absolues y sont les plus considérables. Pour donner une égale influence à toutes les observations, nous appliquerons la méthode des moindres carrés aux erreurs relatives -, et nos équations aux erreurs

seront de la forme

r = r-+rP+r^-*-

Comparant à l'équation type du § 129, nous voyons qu il faut ici remplacer, dans les formules de ce paragraphe,

riques suivantes :

par-

nmatoii

'es ont donc h

[aa] =

[aft] =

lan]^-

[frn]«.

20 2il,3

388 ' THÉOME DES PROBABILITÉS.

Les substituant dans les trois équations normales, on obtient par l'élimination

et la formule empirique exprimant la résistance de lair devient ainsi

L'employant à calculer les résistances correspondantes aux vitesses observées, on trouverait

R = 0, 000 214 = 0, 000 370 = 0, 000 718 = 0, 001 423 « 0, 002 820 = 0, 005 634 = 0, OU 499.

Les erreurs restantes seraient donc

Pour obtenir l'erreur moyenne, nous devons revenir aux erreurs relatives, c'est-à-dire diviser chaque A par le R correspondant. On trouve ainsi

d'où l'erreur moyenne

L'erreur probable

APPLICATIÙN A LA RECHERCHE DE LA LONG. DU PENDUl

Quant aux erreurs probables relatives à chacu: trois incoQQues en particulier, on trouve

pour a... r = 0,000 00816

La valeur absolue de la première constante est e huit fois plus forte que son erreur probable : il y plus d^un million à parier contre un que la né d'introduire un terme renfermant la première pu: de la vitesse ne provient pas d'erreurs accidt dans les expériences. La nécessité du terme en '^ paraît beaucoup plus contestable.

4" Les formules de la mécanique, d'accord a résultats de l'expérience, nous apprennent que gueur, l, du pendule à secondes varie avec la Is X, du lieu d'observation, et que ces deux quantit liées entre elles par la relation

i — A+B8in*X.

A et B sont deux constantes à déterminer.

Pour X = 0° ... ona A = f etponrX=- 90» ... « B = / — A:

de sorte que A est la longueur du pendule à l'éqi et B la différence entre les longueurs du penc pôle et à l'équateur. Deux observations, faites » latitudes très-différentes, sufSraient à la rlguei déterminer les valeurs de nos deux constanteï le résultat sera évidemment d'autant plus exact fera concourir à cette détermination un plus nombre d'expériences , en les traitant par la m des moindres carrés.

Or, on trouve dans Y Astronomie de Biot (t. III, p. 164) les observations suivantes de la longueur du pendule à secondes centésimales.