RECHERCHE DIRECTE DE LA PRÉCISION D UNE FONCTION

R, S, T étant des constantes. Substituons dans w, à a?, y, :5, leur valeur en 0, 0', 0"..., il viendra :

u = k + (mai + nPi + ryi) 0

h étant une constante. Appliquons maintenant la formule du § 125, en supposant que le poids de 0, 0', 0".... soit pris pour unité. Nous aurons :

p \dol ^Uov ^Wj ^"' P étant le poids de u. Remplaçons les — par leur

valeur, il vient

+ r* [yy].

Si nous posons maintenant pour abréger :

A == m [aa] + « [ap] + r [ay] C==nj[aY] + n[YS] + r[n]

- de^^ent P

-= mX + 7iS + rC.

. Les quantités [aa], [aP] ... étant données par les équations du poids, (i), (ii), (m) du § 133, la question est résolue.

On peut éviter de devoir résoudre ces équations du poids en résolvant celles-ci :

m = [ûw] A + [ab] B -f [ac] C

n = [a6] A -}- [bb] B + Ibc] C ^ (iv)

r = lac]\+ [bc] B + [ce] C

408 THÉORIE DES PROBABIUTÉS.

qui donnent évidemment pour A, B, C, les mêmes valeurs que celles écrites dans (l).

En résumé, on peut donc formuler la règle suivante : « Si des inconnues œ, y, z.,. sont données par les équa- « lions normales

[aa] X + [a^] y + [ae] z ... +'[««] = 0 M X + [bb] y + [bc] Z...+ [bn] = 0 [ac] X + [bc] y + [ce-] Z... + [ai] = 0 ;

« et qu'on cherche le poids P d'une expression

u=r.ax + py + y.z + ...

« tirée de ces équations, on le trouve par la formule

l = aA + pB + YC+...

<< dans laquelle A, B. C... sont des quantités qui « satisfont aux équations (iv), et qui peuvent en être « déduites. »

§ 140. — Lorsque les observations sont d'inégale précision, chacune d'elles a son poids particulier, p\ ]/', ;/"... et son erreur moyenne particulière e', e", e"'... Maintenant, la quantité à rendre un minimum sera, non plus [A*], mais (§ 113) la quantité [pà*] = [A \/^2^' ^ l^P]y 6^ P^ï* suite les équations normales seront, comme nous l'avons déjà fait pressentir dans la note du § 129,

[paa] X 4- [pfl^] y + [;>fl<^] 5 . .. + [pan'] = 0 [pab] X + [pbb] y + [pbc] z ...-\- [pbii] = 0 [pac] X + [pbc] y -\- [pcc] « . . . + CK"] = 0 . . . etc.

La légère modification à apporter au procédé gé-

OBSERVATIONS d'iNÉGALE PRÉCISION. 409

néral, se traduit donc par cette règle pratique trèssimple :

« Lorsque les observations sont d'inégale précision, « on forme, pour le passage des équations de condition « aux équations normales, les produits individuels (p''), « comme dans le cas d'une égale précision; mais, avant « de les additionner, on multiplie chacun d'eux par le «« poids de l'observation correspondante. »

Comme application numérique, reprenons le second exemple du § 137, en ayant égard à cette circonstance, que l'angle 0 a été observé 20 fois, l'angle 0', 35 fois et l'angle 0", 48 fois.

Comme la détermination pratique des poids laisse toujours un peu de vague, on peut les altérer légèrement, dans la vue de simplifier les calculs, et poser

afin, comme l'unité de poids est arbitraire, de pouvoir adopter p' = 2; /' = 3; /" = 4.

Les coefficients des équations normales deviennent alors :

[paa] [pab] [pbn] [pht] [p^n']

Et Ton a pour équations normales :

213855 af — 67804 y' — .52294,62 = 0, — 67804 af + 29608 y' + 16922,82 = 0 ;

d'où Ton tire par élimination

On a donc pour valeurs difinitives des coordonnées

Quant aux erreurs d'observation, elles deviennent, dans le cas actuel,

Pour trouver la précision des observations individuelles, nous devons d'abord calculer l'erreur moyenne, Y), de l'unité de poids. Il suffira évidemment, à cet effet, de remplacer, dans la formule de la fin du § 137, la quantité [A*] par [pA*J.

Quant à la précision des éléments, elle se calculera exactement d'après la règle du § 133, en se rappelant toutefois que les ^i, 92>--- se rapportent maintenant à l'unité de poids.

Pour continuer notre exemple numérique, nous avons ici

d'où I /rôÂ^T

Telle serait l'erreur moyenne de l'unité de poids, c'està-dire de l'angle obtenu par 11 répétitions. Quant à celles des angles 0', 0", 0'", elles sont respectivement -

ili=-^=0",38.

Le poids des éléments cherchés s'obtiendra en formant

OBSERVATIONS d'iNÉGALE PRÉCISION. 411

les équations du poids au moyen des équations normales : on a

243855 Qi — 67804 ç« — i = 0 1

243855 qt — 67804 Qt = 0 ) , ....

On en déduit q, == i. « 0,00004707 ;

Ut = 4" = 0,00042329 ;

d'où, comme à la fin du § 137,

e' = ± 0«*,00009974 ; e" = ifc: 0»n,00026799.

On voit qu'on n'a rien gagné du côté de la précision à accorder aux trois observations des poids différents, et c'est ce qui arrive très-souvent dans la pratique. De là cette règle importante, que suivent scrupuleusement tous les bons observateurs : « Lorsque vous pouvez ^ disposer des circonstances, faites tout votre possible « pour que vos observations puissent être considérées « comme également précises. »

Si nous n'avions adopté que comme une simple hypothèse la proportionnalité des poids aux nombres de répétitions, nous aurions dû, une fois arrivés aux valeurs de T,i, 7i2» ^» voir si elles étaient à peu près proportionnelles à celles de A', A'^ A'". Dans la négative, nous aurions cherché à corriger les poids au moyen de la relation

et, en conservant 2?'= 20, nous eussions trouvé y=10,

12 THÉORIE DES PROBASrUTËS.

= 56. KecominenraDt le calcul avec ces nouTeaux ds, à partir de la forraruion des é-iiMinns Dormales, 18 eussions continué jusqu'à ce que nos r, fussent à 1 prt;s proportionnels aux A obienus.

•LICATIOS AU CALCUL DE L'eRREUR MOYENNE T>rSK BASE GÉODÉSIQCE.

^ 141 . — Les erreurs que compone la mesure d'une ie géodésique peuvent provenir de trois causes disctes :

1° D'une erreur commise dans la comparaison des ;les entre elles;

Z' D'une erreur commise dans l'ctâlonnage de la ;le moyenne;

3" D'erreurs accidentelles commises dans le placent des règles.

Nous allons chercher les formules propres à calculer Teur moyenne due à chacune de ces trois causes )arément, pour en déduire ensuite l'erreur moyenne aie. Nous supposons d'ailleurs que la base soît isurée d'après la méthode allemande, suivie en Bel- [ue par le Dépôt de la guerre (voj-ez Bessel's uud .eyer's Gradmessung in Osipiviissen ; et, Baeyer, die istenverniessung und Uire Verbiiiditng, etc.).

Première cause d'erreur.

Soit m la dilatation linéaire d'une règle, l, pour acune des divisions du thermomètre métallique: a le

nombre de ces divisions correspondant à la température actuelle de la règle ; désignons par a la longueur (maximum) de celle-ci, pour la température marquée par a = 0 : on aura, en général,

1 = 1 — am;

et en particulier, pour chacune des quatre règles qui servent à la mesure,

re^gle ii<» I ... /' = X' ^ am'

— Il ... r = X" — frm"

— lïl ... r = X'" — cm'" ^ '" ^^^

— IV ... /iv = Xiv rf,«iv.

Posons X' + X" + X'" + X»v = 4L ... (i)

L sera la longueur de la règle moyenne, et nous pourrons écrire

d'où a/^x" + jf" + x^^0 ... (3)

Nos équations (a) deviennent donc :

règl(î n° I ... /' == L + a:' — am' \

— Il ... r = L + a:" — bm" f

— III ... r = L + x"' — cm/" i •" ^ ^

— IV ... /i^ = L + j;»v (/;n»v.|

Dans ces formules on connaît a, 6, c, d : ce sont les divisions des thermomètres métalliques, indiquées par le prisme en verre. Dès qu'on connaîtra les valeurs de

a/, a/'.,.. m\ m" on aura les valeurs relatives des

quatre règles pour une température quelconque; leurs valeurs absolues s'en déduiront facilement lorsqu'on aura déterminé L.

Le comparateur de Bessel donne, pour la longueur d*une règle, Texpression

dans laquelle C est une constante inconnue qu il faut éliminer, et n un intervalle connu, mesuré par le prisme en verre faisant fonction de vernier. On a donc pour les quatre régies :

no I ... r = L + G — n'