III ... r' = L + c — n
ÏV ... /iv = L + C — n«^;
OU bien, en vertu des équations (4),
n' =a c — j/ + awi'
«'' == G - «" + bm" .
n'" = G — x"' + cm'" ^ '" ^ ^
niv = c — «!▼ + dm»^
Le système (6) renferme neuf inconnues, savoir : la constante C, les quatre â? et les quatre m; mais elles se réduisent à huit, en vertu de la relation (3) qui permet d*éliminer un x.
Cela posé, comme lappareil ne reste pas dans les mêmes conditions de température, lorsqu'on passe d'une comparaison des quatre règles à la comparaison suivante ; chaque système analogue à (6) renfermera une nouvelle constante, C ; de sorte que p comparaisons fourniront 4p équations entre (jo + 7) inconnues.
Les comparaisons faites par Bessel, en 1832, lui ont donné neuf systèmes (6), dont chacun est fourni par la moyenne entre trois ou quatre opérations : il s*est donc ainsi procuré 36 équations entre 16 inconnues, qu'il a
résolues par la méthode des moindres carrés. Éliminant les C entre les 16 équations normales, et introduisant ensuite la relation (3), il obtient entre les 8 inconnues a/, (x!\ a/\ 0?'^, m\ m\ rn!\ m'^. 8 équations de la forme
Aï = «««" + Yjm' + Y^m" +Y5m'" + Y^m»^ ... etc.
Les résolvant, et substituant dans (4), il trouve les valeurs de l\ f, f\ V^^ exprimées en règle moyenne. Les neuf valeurs Ci, C^... Cg seraient inutiles à calculer, si l'on ne voulait apprécier Terreur moyenne dune comparaison individuelle; mais cette donnée est nécessaire, pour en déduire plus tard l'erreur moyenne de la base. On calculera donc les G, et on les substituera, avec les m et les a?, dans les neuf systèmes (6); ce qui fournira 36 erreurs, Aj, A^..., etc. On fera la somme [A*] des carrés dé ces erreurs, et comme 36 équations ont servi à déterminer 16 inconnues, l'erreur moyenne de chacune de ces équations sera (§ 132)
OU, plus généralement.
Pour apprécier l'influence de cette première cause d'erreur sur la mesure de la base, nous avons maintenant à exprimerja longueur de cettq base, de manière à y mettre en évidence les quantités ai ^ a/'... m', m"...
Si les quatre règles ont été portées respectivement
M', M", M'", M*^ fois, la longueur de la base sera représentée par
( (M' + M" + M'" + M»v) L + M V + M' V + M" V" + Mi^x'v) I — [a]m' — Mm" — Mm'" — [rf]m»v4.R j»
formule dans laquelle [a], [6J, [c], [d] expriment la somme des indications des thermomètres métalliques, pour chacune des règles en particulier; et où R englobe toutes les autres corrections, telles que la réduction à l'horizon, les intervalles entre les règles, et les distances des deux règles extrêmes aux points de départ et d'arrivée.
Si l'étalonnage a donné pour la règle moyenne la valeur
L = R' — ^ + aim',
la longueur de la basé deviendra
ar+M"+ M"'4- W) R'— (M"+M"'4- M»^')x'+ M' V+ M"V" + M^jl 'v +j (M'+ M"+ M"'+ M'^j a,— [a] } m'— [6] m"— [r] m"'- [(/]m«v+ R .
On pourra donc, en faisant abstraction des termes extrêmes, mettre sous la forme
NV+ iN"x"+ N"'a;"'+ m x'v— A' m'— A"m"— V"m"'- A»^m«v,
l'expression qui indique de quelle manière les quantités x\ a?"... m', nf.., ont influencé la mesure de la base. Par conséquent, l'erreur moyenne de cette expression sera en même temps l'erreur moyenne de la base, due à la première cause que nous envisageons. — Calculant, d'après le § 139, le poids, P, de cette fonction, on aura pour son erreur moyenne
E étant l'erreur moyenne fournie par la formule (10).
ERREUR MOYENNE d'uNE BASE GÈODÉSIQUE. 417
Deuxième cause d'erreur.
Pour trouver la longueur de la règle moyenne/ L, en toises du Pérou, on compare lune des quatre règles, par exemple, Z', à la double toise étalon 2T, à laide du même appareil qui sert à comparer les quatre règles entre elles. Dans ce cas, on a, par une première comparaison, les équations
mais comme on a aussi, par les formules (4),
r = L + ^' — am\
on trouvera, en retranchant les deux premières, et substituant ensuite cette valeur de l\
L === 2T — a:' + am' + n — n'. ... (42
Si l'on répète p fois les expériences qui ont conduit aux formule^ (1 1), on trouvera, pour L, p valeurs dont on prendra la moyenne; puis on calculera les différences A', A"... entre cette moyenne et chacune des p valeurs de L : nommant e Terreur moyenne d'wne comparaison de la règle avec la double toise, on aura
Maintenant, soit k le nombre de règles moyennes contenues dans la base : comme la valeur de L repose sur un nombre, p, de déterminations, on aura (§ 123) pour Terreur moyenne due à la 2® cause
418 THÉORIE DES PROBABAKfiS»
Troisième cause (Terreur,
L'influence des erreurs accidentelles commises dans le placement des. règles s'apprécie en comparant entre eux les résultats de la double mesure de chacune des deux parties de la base.
Soit d la différence entre les deux mesures de la première partie : la somme des carrés des drreurs sera
"jp ; et Terreur moyenne d'une mesure, ~p (§113, k").
Si cette première partie renferme n règles, le poids
de sa mesure sera - , en prenant pour unité de poids
celui de la pose d'une règle (§ 122, n'*). Pour la même raison, l'erreur moyenne d'une mesure de la seconde
