APPLICATION A LA MESURE DES ANGLES GÉODÉSIQUES

§ 142. — La mesure de l'angle simple compris entre deux signaux A et B se compose de quatre opérations à exécuter dans l'ordre suivant :

1° On fixe Talidade : l'index du vernier correspond à un point (m) de la division du limbe, pour lequel la lecture donne m. Le poids de cette opération est b.

2° Sans changer le point (w), on amène, par le mouvement général du limbe, la croisée des fils sur le point A : la distance angulaire de ce point à l'origine (y) des graduations est donc égale à (m). Le poids de ce pointé est a.

3^ On fixe le point (y), et on tourne l'alidade de

manière à la pointer sur le signal B : l'index est donc amené sur un autre point de division (m'), dont la distance angulaire à l'origine des graduations est y -{- x. Le poids de cette troisième opération est a, comme celui de la précédente.

4*^ Enfin on fait une seconde lecture, m', dont le poids est égal à &, comme celui de la première.

On aura donc, pour déterminer la valeur de l'angle simple, quatre équations correspondantes aux quatre opérations précédentes, savoir :

u = m ... poids = b ; erreur moyenne = p Y = tt ... — =a — =a

u'^tn'... — =b — == p

Elles renferment quatre inconnues et donnent, pour valeur déterminée de x,

Si nous voulons trouver le poids de cette expression, observons que l'équation du minimum du carré des erreurs est

Égalant à zéro les difierentielles prises par rapport à chacune des quatre inconnues, on obtient les quatre équations normales

2ay — au — au' -^^ ax == 0

— fi^Y + (ût + b) u — frm = 0

— ay -\- {a -\- b) u' — ax — bm' = 0 oy — au' -{- ax = 0

Éliminant successivement toutes les inconnues à l'exception de x, on trouve pour équation finale,

X — ^ r— TT (Wl — m) = 0.

2 (a + ^) 2 (a + fr)

Ainsi le poids de a? est le coefficient

ab

et Ye7*reur moyenne correspondante est

Conclusion à laquelle on aurait pu parvenir immédiatement, en se rappelant (§ 122) qu'un résultat soumis à différentes causes d'erreur indépendantes Tune de l'autre, dont les erreurs moyennes sont respectivement a, p, y.,, a lui-même pour erreur moyenne l'expression

Nous venons de considérer une observation unique et indépendante de toutes les observations de même espèce qu'on pourrait faire. Mais ce qui caractérise la répétition des angles, c'est que chaque observation dépend de celle qui précède, le (u) de celle-ci servant de (m) pour celle-là. Peu importe d'ailleurs que la quatrième opération, la lecture, ait été faite ou omise. Dans ce cas, nous aurons, conformément aux notations précédentes,

Poids =» a

Poids = a

... Poids =b ;

tt' =r m'

tt' =y';

n) (ni

422 THÉORIE DES PROBABIUTÉS.

C*est pour la généralité de la discussion que nous accordons des poids différents &, V ^ V\.. aux différentes lectures : nous nous réservons d'égaler plus tard à zéro ceux qui correspondraient à des lectures qui n'auraient pas été faites, et d'égaler tous les autres à h.

Le système précédent renferme toujours plus d'équations que d'inconnues, sauf le cas où l'on n'aurait fait que deux lectures, Tune au commencement, l'autre à la fin de l'opération.

Si l'on différentie, par rapport aux y, l'équation du minimum du carré des erreurs, on a :

îay 4- 0^ == « («* 4- «' ) ; îay' + ojc = 0 (tt' + tt'') ;

La différentiant par rapport aux (u), on obtient :

( a + !>) tt «= ay •\'hm ;

Enfin la différentiation par rapport à x donne

nox + a (y + Y' + - + 1*"'*) = a (u' + u" + ... + tt^**^)-

Si des n premières équations on tire les valeurs de y, -f, y"... y^**"^^ pour les substituer dans toutes les autres, et qu'on divise celles-ci, à l'exception de la dernière, par 1/2 a (ce qui est permis, puisqu'on cherche seulement le poids de (a?), et non celui des divers (m)), on obtiendra :

DISCUSSION. DU PiaNCIPE DE LA RÉPÉTITION. 423

in \ u — m' «=-— m — x;

\ al a

(n-4), alC^-O

et enfin ?!î^««(^(n)^j^

Supposons que les lectures aient été faites après

0, hf ij Ij ... tu, n

observations, et qu elles aient donné les nombres

fR, m , m ^ tn , » , , m , m

correspondant aux divisions

On pourra faire, dans les équations générales qui précédant,

bybyb,bf.,.b y b

égaux entre eux, et les autres b égaux à zéro. Les équations pour lesquelles cette dernière circonstance a lieu, par exemple, celles depuis le rang 2 jusqu'au rang (h — 1) inclusivement, deviennent :

—M + 2tt' — m" = 0 ; ou u' -— u = tt" — u' . —m' + 2tt" — tt'" = 0 ; ou u" — t«' = u'" — m".

— U +2tt — -w =0 ; ou u — tt '=M*^ — u

On en déduit que

a' — tt = tt" — m' = tt'" - tt'' ... = u^'*^— li^*"^^

w, w', v!\ w'"... formeDt donc une progression arithmétique de [h -j- 1) termes, dont la raison est (w' — w). et le dernier terme u^^\ Celui-cî est donc égal à

u-\-h(v' — w) ; d'où ù^^ — u ^ „, ^

On aurait d'une manière analogue

«W Ah)

= m' ' — tt' . . . etc.

Par suite de ces conditions, les équations restantes, c est-à-dire celles qui correspondent aux rangs 1, A. 2, l.,, se changent en celles-ci :

I h \a h i — hj i — h a

i (m) . 1^ . i \ (n) 2^ fn) ,

\ n — m '\a n — ml a

Ces équations permettent d'exprimer très-simplement w^'*^ et u en fonction de œ et des lectures faites. Car, si

a LU

Ton divise la première par — + i, et qu'on ajoute le

quotient à la seconde, la somme ne contiendra plus u. Si l'on divise cette somme par le coefficient dont le terme u^^^ y est affecté, et par (i — A), et qu'on ajoute le quotient à la troisième équation, la somme obtenue ne renfermera plus u^^^ ; et ainsi de suite jusqu'à la dernière équation qui sera de la forme

Appliquant le même procédé en sens inverse, a est-àdire en commençant par la dernière équation et finissant par la première, on aura

Vu = W + N'x.

Substituant les valeurs de w^**^ et de m, déduites de ces deux expressions, dans Téquation

on aura l'équation finale

lî«-L+î7p-2ÎL-i7Î = <' =

d'où ?[ ^

le poids de cette détermination étant

On peut simplifier ces expressions générales de x et de P, soit en supposant que les lectures aient été faites à des intervalles égaux, soit en regardant comme nulle l'une des erreurs moyennes a ou p.

La première hypothèse peut toujours se réaliser dans la pratique : soient donc nh observations pour lesquelles on ait fait n lectures également espacées ; on aura h = i — h=^l — I. . . = m — n. Multipliant par A, et fai-

bh

en celles-ci :

8ant~4-i =4, on transformera donc les équations (H)

(2A— l)tt — «<'" = 2{fc— l)m —hx -u +W' -«'**'= 2 (fc- 4) m'*'

On déduira de ce système la valeur de u^^^ — w, et on la substituera dans l'équation

(I^) ••• T 2^ — ttj = 0,

pour en conclure la valeur et le poids de x.

Dans le cas où Ion n'emploie que les deux lectures faites au commencement et à la fin de l'opération, les équations (H') se réduisent à deux ; et en supposant n répétitions, elles deviennent

(2^ — i) tt — u^""^ «= 2 (it — i) m — nx ; tt + (2^ — 4) a**^ c= 2 (* — 4) m^'*^ + nx.

Soustrayant la première de la seconde, on a

(») (A — 4) (rn"^^ — m) + nx

ce qui permet de calculer immédiatement la valeur et le poids de œ. Ce dernier, dont nous aurons besoin plus loin, est égal au coefficient de x dans l'équation {K'), après y avoir remplacé nh par n et w^**^ — u par sa valeur; ou à...

an an ab n^

2 2ik 2 (b7i + a)'

Quant à la valeur la plus probable de x, on trouve ici

c'est-à-dire la différence des lectures au commencement

et à la fin des observations, divisée par le nombre d'observations. Cette méthode est très-souvent* employée : elle a été suivie dans la grande triangulation française et dans plusieurs autres.

La valeur de x fournie par la formule précédente est précisément celle qu'on déduirait d'un nombre quelconque d'équations (H'), en supposant nuUe l'erreur de lecture. Dans ce cas, en effet, on a ô = oo, d'où A == oo, et ces équations donnent

Donc M^"*^ — u = m^***^ — m; et l'équation (K') devient

anh

d'où

{nh)

nh

Si l'on suppose nulle Terreur de pointé^ soit d^^^ la différence entre la première et la dernière lecture; rf(»-t) 1* différence entre la seconde et l'avant -dernière, etc., l'équation du minimum du carré des erreurs sera évidemment

d'où, en différentiant et en égalant à zéro,

ni.

formule un peu moins simple que la précédente, mais beaucoup plus commode que la formule générale qu'on déduirait de l'élimination entre les équations (H').

Pour décider laquelle des deux formules (K''' ou K*"^ on emploiera de préférence, il faut voir si, pour un instrument donné, Terreur moyenne d'un pointé est supérieure ou inférieure à l'erreur moyenne d'une lecture.

Dans la pratique, on obtient séparément chacune des deux erreurs moyennes a et P par une suite d'expériences propres à donner directement l'erreur moyenne d'un pointé, a, ainsi que l'erreur moyenne l/2a- + 2^^ de la mesure d'un angle, due au concours des erreurs de pointé et de lecture.

Cette dernière s'obtiendra aisément en mesurant un grand nombre de fois l'angle entre deux objets terrestres qui puissent s'apercevoir avec une très-grande netteté. Car si l'on désigne part?- la somme des carrés des erreurs qui répondent à cette série d'observations, au nombre de n, on aura l'erreur moyenne correspondante, m, par

la formule

d'où a^ + P* = J mK

Pour déterminer a, on pointera le fil vertical du théodolite sur celui d'une lunette méridienne douée d'un fort grossissement; puis, regardant à travers la lunette méridienne, on trouvera généralement que la coïncidence des deux fils n'existe plus, l'écart étant rendu sensible par la supériorité optique du second instrument. On mesurera cet écart à l'aide du système micrométrique de la lunette méridienne, et on aura une première différence.

Celte différence provient de trois causes, savoir : les erreurs de pointé de Tune et de Tautre lunette, et Timperfection de la lecture du microscope. On peut tenir compte de cette dernière cause en appréciant son erreur moyenne par des lectures réitérées; quant aux deux premières, on peut les séparer, en admettant que la précision du pointé est proportionnelle au grossissement de la lunette.

Supposons qu'on ait répété p fois rexpérience précédente, et soit c* la somme des carrés des écarts observés; - sera le carré de Terreur moyenne d'une observation;

le diminuant du carré X* de l'erreur moyenne due à la

lecture du microscope, il restera ^ X* pour le carré

de l'erreur moyenne provenant de l'incertitude des deux

pointés réunis.

Soient a* le carré de l'erreur moyenne d'un pointé de la

lunette du théodolite ; g son grossissement ;

Soient o^ et G les mêmes quantités pour la lunette

méridienne :

on aura ... -7: = -; ; d'où «« = .^ , . (a« + «'•),

Mais (a* -f. a'*) est précisément la quantité - — X*;

P donc enfin

et par suite pt =^^t j^(i*.X^J.

C'est en suivant cette marche que Béssel a déterminé les erreurs moyennes d'un pointé et d'une lecture, pour un théodolite de 12 pouces, muni de 4 verniers,

dont chacun donnait les 5'^ : la lunette de cet instrument avait 16 pouces de foyer, 16 lignes d'ouverture, et grossissait 27 fois. Il a mesuré un angle 53 fois, en employant différentes parties de la graduation : la somme des carrés des écarts de la moyenne a été de 397 ",60 ; donc le carré de Terreur moyenne = 7",6461 = m* ; d'où «« 4. jst =, 3'',8231.

Il a pris ensuite 23 pointés réciproques sur le fil d'une lunette méridienne grossissant 280 fois : la somme des carrés des différences a été 9",3041; d'où le carré de la différence moyenne = 0",4045. L'erreur moyenne d'une lecture micrométrique lui avait donné X' == 0'',0842 : il restait donc 0",3203 pour le carré de l'erreur moyenne des deux pointés combinés ; et pour un pointé du théodolite on a, par conséquent,

AQAt

Retranchant cette valeur de celle de a' -|- p*, il reste

Les erreurs moyennes d'un pointé et d'une lecture du théodolite sont donc respectivement

Dans les observations géodésîques , le pointé n'est jamais entouré de circonstances aussi favorables que dans les expériences que nous venons de citer. Aussi Bessel a-t-il porté à 0,2 le rapport ||, qui n'est en

réalité que de 0,09. Conservant pour la lecture le nombre p* = 3",5058, il en déduit pour le pointé, a* = 0",701, d'où a = 0",837. Nous doutons que cette correction soit suffisante ; car l'expérience montre que.