DES LOIS DE LA PROBABILITÉ MATHÉMATIQUE

en négligeant les termes trop faibles

Il vient ainsi

Zap Aap

f^^ log(t + i) ^ap Xloë(i + i) "^4 4 2 ap — 4

Cette expression peut encore se simplifier en remarquant que 2 ap est, dans Tusage du théorème de Bernoulli, un grand nombre, et qu*on peut par conséquent ne pas tenir compte de la quantité — 1 au dénominateur; d'ailleurs, comme on doit aussi calculer

et prendre la plus forte des valeurs r ou r', alors même que p ou g serait très-faible, la suppression de — 1 au dénominateur serait encore sans importance, puisque, dans ce cas, 2 a^ ou 2 ap serait d*autant plus considérable.

Il vient donc :

k = ap X log (t + 4).

Mais

ap + i ^

Cette expression peut se réduire, en supprimant Tunité au dénominateur et en remplaçant q par 1 — p, à :

90 TIIÉOÎUE DES PROBABILITÉS.

et enfin, si Fou met pour k sa valeur,

r = alog(i + i)— -.

On trouverait de même pour r' :

aIog{i + 4)-^.

La probabilité qui, dans l'énoncé du théorème de Bernoulli, est aussi approchante de la certitude qu'on

le veut, est représentée dans nos notations par — i-: :

les limites d'écart du rapport du nombre de répétitions du môme événement au nombre total des épreuves

sont de même =t , et enfin le nombre total des épreuves

nécessaires est a X ^• Jacques Bernoulli applique les formules précédentes

au cas où

On obtient successivement :

k = 50 X ^ X 6,91 = 208,3 soit 209 r = 345,5 — - 5 •■>

fc' = 50 X I X 6,91 = 138,2 » 139 r' = 345,5 — \ 5 2

on prendra donc r = 345 et le nombre d'épreuves nécessaires sera : 50 X 345 = 17,250. Il y a donc avantage à parier 1,000 contre 1 que, dans ces 17,250

épreuves, il n'y aura pas plus de/^J X 17.250 = 10,695

répétitions de l'événement correspondant à p, et pas

moins de {~\ X 17,250 = 10,005 de ces répétitions.