RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS CONDITIONNELLES

et nos équations (r) deviendront

r\y,u,u ...;-r Ji/ * "t"

do"

OU bien, en faisant

dF(</,(/',o"'...)

d¥(</,o",o"'...) „ do" " •■•

dF'(o',o",o"'...) ,„ do" " •■•

etc.

0 = n' +a'af + a'V + a"V" + ...

(O ... 0 « n" + b'af + b"x" + d"V" + ...

Telles sont les équaiions de condition^ linéaires^ qui existent entre les eirreurs, et qu'il faut satisfaire rigoureusement. Elles sont en nombre c, et chacune d'elles contient m inconnues» c étant < m. Si d'ailleurs quelques inconnues manquaient dans certaines équations, il suffirait d^y supposer leurs coefficients égaux à zéro. Les m observations immédiates ont fourni les valeurs provisoires de a', o", o'"... o^; et la somme des carrés des erreurs doit être un minimum, de sorte que

[x«] = «'« + «"« + «'"« + ... 4- x«m = minimum;

d'où

(r"') . . . x'dx' + x^'dx" + x"'dx"' + . . . + Xmdxm, = 0.

S'il n existait pas d'équation de condition entre les x^ le premier membre renfermerait des termes entièrement indépendants les uns des autres; le coefficient de chaque différentielle devrait être séparément égalé à zéro^ et par suite les corrections les plus probables seraient

a/ = x" = x'" = ... = Xm = 0;

ce qui d'ailleurs est évident pour le cas du minimum absolu.

Mais il ne peut être ici question d'obtenir un pareil minimum : celui que nous cherchons est relatif et astreint à cette condition, que les seuls œ admissibles sont ceux qui satisfont exactement aux équations (r'^).

Pour exprimer que les seconds membres de ces dernières équations conservent des valeurs con^tonfes, lorsqu'on y introduit les systèmes convenables de valeurs de a?, il faut égaler leurs différentielles à zéro. Nous aurons donc

a'dir' 4- a"(Lxf' + a'^'âx"' + ... + aJLc^ =. 0 ;

(rnr) ... b'da/ + b''dx" + b'"dx''' + ... ^f- bjix^ = 0;

(fdx' + c"dx" + c'"rfx'" + ... + cdx^ = 0.

Ces équations, en nombre c, montrent que c différentielles peuvent être exprimées au moyen des (m — c) restantes. Si l'on effectue cette élimination, et qu'on substitue dans (r'") les valeurs de ces c différentielles, il y restera encore (m — c) différentielles indépendantes , dont les coefficients seront des fonctions de a', a", a'"... ô', f', 6'"... etc. En égalant chacun de ces derniers à zéro, on obtiendra (m — c) équations, qui, jointes aux o équations (r^'), fourniront un système de m équations.