RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS CONDITIONNELLES

d'où Ton pourra déduire les valeurs des m inconnues. Le problème est donc théoriquement résolu.

Mais cette marche, assez longue en général, aurait en outre l'inconvénient de laisser purement arbitraire le choix des c différentielles que nous considérons comme surabondantes et dépendantes des autres : ici encore, comme au § 133, on remplacera avec avantage le procédé ordinaire d'élimination par celui des coefficients indéterminés.

Dans ce but, prenons c coefficients arbitraires, A', A", ft'".... par lesquels nous multiplierons respectivement les c équations (r*^); ajoutant ensuite ces équations entre elles, et identifiant chacun des coefficients des dx au coefficient correspondant de l'équation (r"') (puisque les dx sont indéterminés), nous obtiendrons, entre les c coefficients A, m équations que nous nommons corrélatives et qui sont :

x' =:aT +6'ifc" -irc'W" +fk^

x"' = a"T + ^'"ik" + <î"T" +r'4 ... etc.

Jusqu'à présent, les k sont exprimés simplement en fonction linéaire des x encore inconnus; mais on les déterminera en substituant aux x, dans les équations de condition, leurs valeurs tirées des équations corrélatives : nous obtiendrons ainsi c équations normales entre les c coefficients cor^rélatifs : ce sont

0 = n' + [aa] A' + [afr] k" + [ac] k"' + ... + [a/] k^

(r^i) ... 0 = »" + [ab] W + [hb-] W + \bc] k'" + ... + [Pf] k^

0 = n'" + iac] k' + \bc] k" + \cc] kf" + ... + [cf] k[

Déterminant par voie d'élimination les valeurs numd-

riques des A, il ne nous restera plus qu à les substituer dans (ri, et nous aurons ainsi les corrections af^ a/\ x'" ... qui donnent la plus petite somme de carrés qu*il soit possible d'obtenir, en satis&isant aux équations de condition.

§ 144. — La somme des carrés de ces corrections nous donnera \pi^\ ou, pour suivre la notation que nous avons adoptée jusqu'ici, [A^J. Nous en avons besoin pour calculer, conmie au § 132, la précision des observations ; \erreur moyenne sera donnée par la formule (k^) de ce paragraphe, en remarquant quon doit ici prendre [e — i) = c, nombre des équations de condition, de sorte qu'on a

§ 145. — Premier exemple. — On a mesuré un tour

d*horizon au moyen de cinq angles, et on a obtenu les

valeurs

o' = kX^^^W

0"' = 96 24 38 onr = 30 7 46

0^ = iiî 23 48.

La condition nécessaire que nous avons à remplir est que la somme de ces cinq angles forme exactement360^ Or, l'observation a donné 360^ + 35". Nous avons donc ici une équation de condition, qui est

(^') ... jc' + x" + a/" + «tv 4- «T 4. 35" = 0.