EXEMPLES NUMÉRIQUES
Les trois équations de condition à satisfaire sont donc :
*1 + ^f + ^8 + *^ = ^ *4 + «6 + aîfl — 45 = 0
En les traitant comme ci-dessus, on obtient
Équations corrélatives.
ËquatioDS normales.
aCj X^ X^ K|
^4 =* ^ ^* *e '^ *t Xj = x^ = x^^si k^^
+ 42 + 3iti =0 — 45 +3*, =0 -21 +3ilr,= 0.
D'où l'on déduit
a?^ = a?5 = Xj =* "T" 5 >
Xy = j?g = 5îj=* + 7 ;
Admettons que, pour fermer le tour d'horizon au
point 1 , on ait mesuré l'angle extérieur formé entre les
deux directions 1.2 et 1.5, et qu'on l'ait trouvé de
228** 33' 52'' = Oiq. Le comparant avec la somme des
trois angles Oi, 05, O9, on trouvera que l'excès sur 360^
est de + 20" ; et Ton aura une quatrième équation de
condition
Les équations corrélatives seront maintenant
— ar, — *,
444 THÉORIE DES PROBABILITËS.
et les équations normales
0 = + i2 + 3iki
+ 3ft, +
+ 3fc,+
Éliminant, on trouve
+ 8,il
+ iO.H
d'où Ton déduit
Appliquant ces corrections, on fera fermer simultanément les triangles et le tour d'horizon-
§ 146. — Lorsque les observations ont des précisions différentes, ce n'est plus [a?*J, mais bien [pa^ qui doit être rendu un minimum. L'équation (r"') deviendra donc dans ce cas
j/afdaf +p"a/'dxf' + t/"x'''dx^" +px dx =0.
Joignons-la aux équations (r*'") qui ne changent pas, comme exprimant des relations géométriques, nous obtiendrons les équations corrélatives
a'"W b'^'W d"k" , , r'fe pfff + ^tt + p/
* ZTTr I "TTTT — I Zm T ••• T — rTTT"**®^'»
OBSERVATIONS d'iNÉGALE PRÉCISION. 445
qui, substituées dans les équations de condition^ conduisent aux équations normales
L'élimination et la substitution restent naturellement les mêmes : donc le changement apporté au procédé du § 143 se traduit ainsi :
« Avant le passage des équations corrélatives aux « équations normales, on divise le second membre de « chacune des premières par le poids correspondant. »
§ 147. — Pour apprécier l'exactitude des observations, nous aurons, comme au § 144, à calculer d abord une somme de carrés qui est ici [pA*] = [pcc^ ; d'après cela, l'erreur moyenne de l'unité de poids sera
et on aura pour celles des observations les valeurs
§ 148. — 1** Pour application, reprenons notre 2^ exemple du § 145 : nous supposons maintenant que le nombre des répétitions est différent pour chacun des angles du triangle, et qu'on a
L'équation de condition ne change pas ; c*est
Équations corrélatives. Équation normale.
^ = + 'Uf^ 43
«'" = + Va ^'-
On en déduit
et par suite a/ = — î",77
On voit que Terreur commise sur la somme des trois angles doit se répartir ici sur chacun d'eux en raison inverse des poids.
Le calcul de Terreur moyenne donnera
Tï = 1/432,8234 = rb 44",52 ; d'où e' = zfc5",76; e" = dz8",45; 8'" = dz6",65.
2® Puissant (Nouvelle description géométrnque de la France, 1" partie, p. 65) suit une marche particulière, très-élémentaire et très-simple, pour corriger un tour d'horizon : sa formule, du reste, revient à celle qu'on déduirait de notre procédé général.
Soient A, B, C, D quatre angles horizontaux tels, qu*on ait
e désignant Terreur du tour d'horizon. Si Ton représente par a/, x", a/", x^ les corrections respectives de ces angles, elles seront évidemment proportionnelles à Terreur totale, e, et réciproques aux nombres de répé-
FERMETURE d'uN TOUR d'hORIZON. 447
titions jp',1?", ;/", p^qui leur correspondent; c'est-à-dire qu'on aura
^ k'e We . k'e k'e
ft' étant un facteur commun à déterminer. Or, en appelant A', B', C, D' les angles corrigés, on devra avoir exactement
et par conséquent x' + a/' + x"' 4- ajiv = ^ e ... (2)
oubien A'j^ + i, + J^ + J j.4
if»- *
Il vient donc en définitive
3^ Quand on a observé la somme ou la différence de certains angles géodésiques entrant dans un tour d'horizon (Horizont-Abschluss), il est facile, avons-nous vu (§ 137), de trouver les valeurs les plus probables de chacun d'eux : il reste ensuite à assujettir la somme des angles corrigés à former exactement 360^, en répar-
448 THÉOIUE DES PROBABRITÉS.
tissant Terreur sur chacun d*eux, en raison inverse de son poids.
Ici le nombre des répétitions ne fournit pas directôment le poids des angles, parce qu'ils nont pas seulement été observés individuellement, mais qu'en outre plusieurs ont été combinés entre eux. On devra donc déduire ces poids du nombre de fois que chaque direction a été observée.
Reprenons notre exemple du paragraphe précité, dans lequel nous avons supposé, pour la simplicité des calculs, que chaque angle avait été observé un même nombre de fois; et mettons entre parenthèses, à côté de l'indication de chaque angle, le nombre de fois qu*il a été réellement observé : nous aurons
11 s*ensuit que la direction A a été pointée 76 fois. -. — B — 83 —
Si donc nous prenons pour unité de poids l'observation d'une direction, il nous sera aisé de calculer le poids de Tobservation d'un angle, qui est la différence des deux directions, et il viendra (§ 120) :
Pour Tangle AOB ... P = !f ^ f .^ = 40
