APPLICATION AU NIVELLEMENT TOPOGRAPHIQUE

Nous désignerons par djy, d^ rf^, ... d^ les cotes des points D, 1, 2... A; par n^, n,... n^ les différences de niveau aux points 1, 2,... A, et nous aurons :

^A = ^0+ W| + ni + n, . . + fiK .

Ainsi les différences de niveau aux sommets des polygones sont des fonctions linéraires des observations. Il est d'ailleurs inutile de faire remarquer que les n doivent être pris avec leurs signes.

En accentuant les lettres, on aurait des valeurs analogues pour le second cheminement.

L'erreur moyenne, e, d'une différence de niveau dépendant de l'instrument, et de la distance des deux points observés (distance au milieu de laquelle on est supposé en station), il faudra commencer par construire, au moyen de l'observation, une table de ces erreurs, dont l'argument sera la distance. Dans ce but, on choisira, sur un terrain uni, une station, 0, convenable, à partir de laquelle on mesurera des distances égales 01 = 01';02 = 02'...etc,

Puis on enfoncera des piquets aux points 1 , 2, . . . 1', 2'. . . ; on fera ensuite dix visées et dix lectures, 1** pour chaque distance 01, 01'; 02, 02';... 2*" pour les distances

Soient N', N'', N'".... les différences de niveau correspondantes à la distance 01 = 01', par exemple;

452 THÉORIE DES PROBABIUTÉS.

N leur valeur moyenne : on retranchera de cette moyenne chacune des dix différences particulières qui l'ont fournie, ce qui donnera les erreurs e', e", e"'....; et Ton aura. (§ 113), pour la distance 01, Terreur moyenne ^ ly^^

Le poids de ce résultat sera

Si Ton construit deux tables analogues, l'une pour les distances 01, 02..., relative aux différences de niveau ; l'autre pour les distances 1 — 1', 2 — 2'..., relative aux hauteurs de mire, la première servira pour le nivellement par cheminement, la seconde pour le nivellement par rayonnement.

Cela posé, l'erreur moyenne de la cote du point A

sera (§ 122) e = (/e»i + e«t + e% + ...

et le poids du résultat

P Pi P« P«

hy %» h"' ; Pu Pt^ Pi" • étant les erreurs moyennes, et les poids correspondants, tirés de la table.

On trouverait deux formules analogues pour l'erreur moyenne e' et le poids P' de la cote d\ obtenue par le second cheminement.

Si les côtés du premier polygone étaient égaux entre eux, et que la même particularité se présentât pourles côtés du second, il viendrait, dans le cas de la figure,

Si les côtés des deux polygones étaient tous égaux, on aurait

Connaissant maintenant les poids et les erreurs moyennes des deux déterminations d^, d'^, cherchons la cote la plus probable, a, du point A, son poids Pi, et son erreur moyenne E,. — Il suffit évidemment d'invoquer la formule (F') du § 114, qui donne ici

Dans le cas où les deux cheminements se composeraient d'un môme nombre de points équidistants, cette valeur deviendrait

dx + d\

Pour trouver Terreur moyenne de la cote la plus probable, représentons par t^j l'erreur moyenne de l'observation qui aurait pour poids l'unité : il viendra (k)

ilS=:Pe«

Tl«, = PV«...

Comme d'ailleurs le nombre d'observations ayant l'unité pour poids est représenté par (P + P')» Terreur moyenne d'une de ces observations sera à celle, E^, du résultat moyen, comme k (P + PO • 1 ; d'où

Et = -Jî= = |/L!!+Z£1.

J/p+P' ^ 2 (P + P')' Pi = p + P'.

Nous arrivons maintenant à la seconde partie de

notre question, celle qui a pour but de déterminer les valeurs les plus probables des cotes des différents sommets.

Pour résoudre ce problème nous supposerons exacte la cote, a, obtenue ci-dessus pour le point A. — Désignons par œi^asf,... œ^ les petites corrections inconnues à apporter aux différences de niveau rii^ni,... tij^: nous aurons, pour les cotes corrigées, les expressions suivantes :

Cote corrigée du point i ... ^d + Wi + *i = di

— — 2 ...do + wi +Wi + Xi + Xt = d4

— — A...dD-|-ni-|-nf...-|-»ji-|-X|-f-a!:i...-f-a;A=dA

qui deviennent, en vertu des équations (A),

d| = d, + xt

d, = d^ -4- X| + xi

dA = ^A + «I + *i + *8 ••• + ^A.

La question est ramenée par là à déterminer les valeurs les plus probables* des inconnues û?i, or^... â;^, sous la condition que d^ = a, ou bien que

Xi -|-a:i-j-... + a;A = tt"-dA = A.

Notre équation de condition (§ 146) est donc

aîi + «t + ... + «A — A =*= 0.

Nos équations corrélatives, eu égard aux poids, deviennent fc' . ^ *1 .

Xi — '^ f Xj — — ~— . . . Xji *— f

Pi Pt Pa

et notre équation normale est

^i Pi P^l .

d'où

ik' =

; xi = 7-; xt = — =-r-r ... etc.

On a donc

di ='di +

MtI

d^ = dA + A « a.

On voit aisément ce que deviendraient ces formules, P si à la place des poids on introduisait les erreurs moyennes; 2^ si Ton supposait les sommets du polygone équidistants, ce qui revient à faire tous les poids égaux eiitre eux et à l'unité.

Ordinairement on vient se fermer au point D, pour lequel on doit retrouver la cote de départ d^,. L'équation de condition serait alors

^1 + ^« + ••• + ^D == do — d'n = A.

Et le développement des calculs resterait le môme.

§ 149. — Chaque fois qu'une mesure angulaire n'est pas isolée; chaque fois, en d'autres termes, qu'on fait un système d observations combinées, il vaut mieux corriger individuellement les directions des côtés des angles, que de corriger d'un seul coup tamplitude de l'angle lui-même. Nous entendons par direction d'un côté, l'angle qu'il fait avec une droite arbitraire, pats-

sant par le sommet, et prise comme origine des directions. Nous supposerons toujours que cette direction initiale tombe à gauche de toutes les directions qu'on

lui rapporte.

Pour exposer le plus simplement possible cette méthode de la compensation des directions, nous croyons utile d'introduire ici avecGerling quelques notations nouvelles, propres à abréger le discours.

Nous désignerons les sommets par des chiffres, de sorte que le triangle ABC sera nommé 123.

La direction de G vue de A sera \ notée \ ; celle de A vue de G serait 3 ;

celle de B vue de G, 3, et ainsi de suite.

Un angle sera désigné par trois chiffres disposés dans le même ordre que lès sommets correspondants. Ainsi on aura

De ces convenUons résultent les équations suivantes :

Les longueurs des côtés s'indiqueront en séparant par un point les chiffres de leurs extrémités.

Ainsi ÂB = 1.2; 110 = 2.3; CÂ = 3 . 1.

Enfin les confections des directions et des longueurs se noteront comme les directions et les longueurs observées, mais seront enfermées entre des parenthèses.

Ainsi : angle ^^^ corrigé - *^^ - ( J ) + ( 4 ) <>tc. côté \ .2 corrigé = 1.2 + (4 . 2) etc.

Ces prémisses posées, reprenons notre second exemple du § 145 : l'équation de condition deviendra maintenant :

Équations corrélatives.

Équation normale.

+ fc, 0 = + « + 6fc,.

ki

On en déduit Ai = — 2, et par conséquent

Les angles compensés sont donc, comme dans le premier cas,

Voulons-nous ajpprécier l'exactitude de notre manière d'observer, cherchons Terreur moyenne dTune direction. Ici [A«] = 6 X 2*= 24; d'où e = 1^24 = rb 4",90. Ce résultat s'accorde avec celui qui a été trouvé précédemment ; car les erreurs moyennes d'une direction

et d'un angle doivent être entre elles (§ 120) comme 1 : \/%.

Quoique cette nouvelle manière de compenser les angles d'un triangle observé isolément soit identique, quant au résultat, avec celle du § 145, elle en diffère néanmoins en principe. En effet, au lieu de compenser trois angles, en faisant varier leurs deux côtés à la fois, elle opère la compensation de six angles, dont chacun a un côté invariable de position. Dans l'exemple que nous venons de traiter, comme l'erreur totale + 12'' est positive, chaque direction de gauche a laissé fautivement à droite le véritable point de visée ; chaque direction de droite Ta laissé d'autant à gauche : de sorte que les

corrections d'une direction, aux deux extrémités de laquelle on a fait des visées réciproques, sont égales et de signes contraires. Les petits triangles d'erreur, formés par les directions compensées (marquées en traits pleins dans la figure ci-jointe), et par les directions observées (marquées en traits ponctués), sont isotfèles, semblables, et extérieurs à la figure : ils lui seraient intérieurs si l'erreur totale était négative.

§ 150. — Reprenons maintenant notre troisième exemple du § 145, qui se rapporte à un système de triangles liés entre eux. Nous avons les trois équations de condition

qui conduisent aux quatorze équations corrélatives :

(Il- +"

Substituant dans les équations de condition, nous obtenons les équations normales

0 = + 12 + 6iki — 2ik, ; 0 = — 15 — 2iki + 6fci — 2^•^ ; ^ 0 = — 21 — 2^ + 6it5.

On voit que ces équations, aussi bien que les équations de condition, ne sont plus séparées, comme dans le § 145. La raison de cette diflférence, c'est que nous supposions alors tacitement que l'erreur d une direction commune à deux triangles pouvait varier, suivant qu'on la considérait comme appartenant à l'un ou à l'autre de ces triangles. Dans l'hypothèse actuelle, cette erreur est nécessairement unique.

L'élimination donne éi= — 0,71; A, te»-}-3,86; h = + 4,79. Substituant ces valeurs dans les équations corrélatives, on a

Les corrections à faire subir aux angles sont donc :

^*°°~(tK(?)^ 8".28;A« — (J)+(J) = + 3".64:

^* = -(3) + (3) = + « '*^'^ = -(î) + (î)=+ » '"• As (l) + (î)= + ^ •^^' [^*^ = 167,096;

et par suite s = p/ IÇI^ „ (/ss.eos? = ± 7",46.

L'erreur moyenne d'un angle est donc e 1/2=» dz40",55. On voit qu'elle est supérieure à celle du § 145, calculée dans l'hypothèse qu'une seule et môme direction, commune à deux triangles, pouvait subir des corrections

différentes, suivant quelle appartenait à lun ou à

l'autre de ces triangles.

Les résultats de nos calculs peuvent être consignés dans un tableau de la forme suivante :

TriaaglM.

S«BBels.

Aoglfi Btsiréx.

Ctrreetiols A.

Aigles cirrigés.