III

Il eët inutile de faire observer que, dans la dernière colonne, les petits excès 0",02 proviennent de ce qu'on a arrondi les fractions décimales.

Dans la figure ci-contre, nous avons ponctué les directions observées, et marqué en traits pleins les directions compensées. On voit que les petits triangles d'erreur sont encore isocèles, mais que maintenant ils ne sont plus semblables.

Remarquons que, dans le cas actuel, où les angles ont été observés par différence avec une direction azimutale initiale (ou sont traités comme tels), on ne peut plus, comme au § 145, poser une équation de condition

462 THÉOBIE DES PROBABIUTËS.

relative au toiir d'horizon ; car elle est remplie naturel* lement par la méthode d'observation ou de compensation. Cest ce qui résulte d'ailleurs de la forme de Téquation elle-même qui, dans l'exemple cité, conduirait à Tabsurdité

«-(îWîHJMîHîWîHîWî)-»-

Nous aurons encore occasion de faire une remarque analogue, pour le cas où le point 1 appartiendrait à un réseau qui se fermerait autour de lui.

§ 151. — l^La compensation des angles, au moyen des directions individuelles de leurs côtés, est toujours à recommander dès que Ton considère plus de deux directions ; car elle repose sur ce principe, que l'observateur a toujours voulu pointer sur un seul et même point du signal, quel que soit l'angle auquel il appartienne. Dans ce cas, les erreurs commises sur la somme des trois angles des triangles ne doivent plus être réparties également ; il peut même arriver que la répartition se fasse avec des signes contraires.

2^ Les équations corrélatives et normales nous montrent d'une manière générale que les corrections réciproques d'une même direction sont égales et de signes

contraires. En effet, si la correction ( ^ j, par exemple, apparaît avec le signe moins dans la première équa^ tion de condition (ce qui donne ( ^ ) == — *i pour la première équation corrélative), c'est que la direction ^ est le côté gauche d'un angle. Mais puisque le triangle est

fermé, la direction l sera le côté droit d'un autre angle ; donc [ 2 1 apparaîtra dans la première équation de condition avec le signe pltcs^ d'où résulte une équation corrélative f ^ ] = + Ai-

Il en est de même pour les directions qui sont com-

munes à plusieurs triangles, comme 3 ot | ; seulement

alors il y a lieu de considérer plusieurs équations corrélatives et plusieurs coefficients corrélatifs.

3"^ L'inspection des équations corrélatives montre que la somme des corrections de direction doit toujours être nulle, pour un même point de station. Pour la station 1 , par exemple, nous avons

+ kf — ki

La raison géométrique de ce fait est encore que, dans chaque triangle, une direction de gauche correspond toujours à une direction de droite, qui lui est opposée.

§ 152. — Occupons-nous maintenant d'une autre espèce d'équations de condition, ayant pour but de faire disparaître les contradictions qui existent entre les rapports de certaines lignes, lorsque le calcul de celles-ci repose sur des observations qui ont besoin d'être corrigées. Nous les nommerons éqitations aux côtés, réser-

464 THÉORIE DES PftOBABnXTÊS.

Tant à celles qui Tiennent de noos occoper le nom SéquaUons aux angles. Soit on triangle plan 12 3, supposé parfaitement exact : ses

Poor fixer la position du point 4, on a mesoré les angles

En outre, on a pris au point 3 une direction de Térifi-

cation j, qui a donné Tangle 3 = 45» S4' 4''.

Puisque nous considérons le triangle de base 12 3 comme parfaitement exact, la compensation a ici pour but de trouver les quatre corrections de direction

Partons de l'identité nécessaire

dans laquelle entre le côté nouveau 2.4; nous pouvons, sôus la réserve des corrections ultérieures à faire aux angles, en déduire l'équation (de condition)

sin^^^X 8in*3^X sin^ * ^ = sîn* ^* x sin^^^ sin X ^3^

Deux de ces six angles doivent être considérés comme exacts; trois autres ont été mesurés et doivent être

corrigés; enfin, le sixième doit d'abord être calculé en fonction des angles observés, et ensuite être corrigé d'après eux.

Or on a ^^ * = 360--^4^-.^3^- %S etenoutre ^^^ = -leSMO' 54" — (4]+(4) •

d'Où ' i' - ^' *^' '" + {l]+[t]-{l]-

Au point de vue du calculateur, faisons ici une remarque très-utile dans la pratique, en ce qu elle évite les diflférentiations. Si l'on donne A=N-f-^ (^ étant une petite correction), on aura log A=log N-f-^A, A étant la difierence tabulaire pour une unité de N, et œ étant exprimé en fonction de cette unité. Si donc A est un angle, on posera, par exemple, log sin (N -f- ^) = log sin N -]- a?A ; la quantité x étant exprimée en minutes, et A étant la différence tabulaire pour une minute. — D'après c%U, il vient :

log sin * ^ ^ = 9,91669 - s/jj + sfjj log sin ^ 3 ^ = 9,85621 -- -12 ( ^ ) log sin ^ ^ ^ = 9,94038

logsin ^^* = 9,96645 + 6 [j ) + 6 ( j] -G (j J log sin * ^ ' = 9,96547 + 5/|)-5(3] logsin* 3* = 9,79119

L'équation de condition est donc

0=- + "-"(l) + 3(|) + li(3)-18(4).

Equations corrélatives :

il) - + " '.

Équation normale :

0 = + 17 + 650 iti.

D'où ^ = — 0,026454; ( J ) = + ^',3662 = + 22"

(^) = — 0,28ff7 = — 17

Les angles corrigés sont donc

et l'angle qu ils servent à calculer est ^|* = 64 47 9.

Au moyen de ces valeurs, les logarithmes corrigés

sont 9,91665 9,95652

Résultats concordants à la dernière décimale prés, laquelle n'est jamais sûre. — Tous les côtés qu'on calculera dans la figure auront maintenant la même valeur, quel que soit le triangle dont on les déduira.

§ 153. — Autre exemple. — Il arrive fréquemment, dans les travaux topographiques ou géodésiques, qu'on

doit déterminer très-exactement la position d'un point inaccessible. Dans ce cas, il faut rayonner sur lui de trois stations au , moins, et compenser ensuite les directions qui y aboutissent.

Supposons, par exemple, qu'un polygone 12 3 4 5 ait été levé, et qu'on veuille lui y attacher un sommet géodésique, 6, où l'on ne peut stationner. Dans ce but, on a recoupé le point 6 de tous les sommets du polygone, et on a obtenu

Les angles du polygone, quon suppose parfaitement exacts, sont d ailleurs

on déduit de ces données et des nouvelles mesures

Pour corriger les directions aboutissant au point 6, nous partons de l'identité

qui comprend tous les rayons aboutissant au point 6, comme nous avons mesuré toutes les directions correspondantes ; calculant comme dans l'exemple précédent, nous trouvons

logsin^j^ = 9,63836 — 26 [J] 1. sin ^^^ = 9,87280 + 1W5) logsin^2* ===9.92122— sf^jl. sin ^:j^ = 9,88562 + 11 [J]

logsin ^3^ = 9,99865— i[^]l. sin ^^^ =- 9,87690 + ^^(2)

logsin^^^ — 9,99694— 2 /^] 1. sin ^j^ = 9,94580 + 7[^\

log sin ^5* = 9,81929 — 44 [ ^ j l, sin ^^^ = 9,79337 + 16 [ ^].

L'équation de condition est donc qui nous conduit à 1 équation normale

0 = + 17 + 2743Ai, A-i = - 0,006 1976.

Il en résulte ( ? ) =" + ^'.^2931 = + 14"

iîh

ce qui donne en définitive pour les angles

corrigés. calculés.

470 THÉORIE DES PROBABOITÉS.

Si l'on recommence les calculs avec ces éléments, les résultats devront s'accorder, à la dernière décimale prés : c'est-à-dire que les rapports entre les côtés de la figure resteront les mêmes, quels que soient les triangles qui aient senri à les calculer.

La compensation des directions allant vers le point 6 a pour résultat de les faire passer toutes simultanément par ce point : si donc les angles avaient été observés en cette station, l'équation de condition relative au tour d'horizon aurait été superflue ; car elle est nécessairement satisfaite lorsque toutes les directions passent exactement par le point 6.

Avant qu'on eût introduit en géodésie le calcul des compensations, on vérifiait l'exactitude des opérations, en mesurant toujours les trois angles des triangles principaux : on était donc forcé parfois de ne pas être trop strict dans la ùianiére d'établir l'instrument au point de station. Mais l'expérience a prouvé qu'un bon établissement est essentiel à l'exactitude des observations; et, d'ailleurs, la méthode des compensations permet de jugfer de la précision du travail, mieux que la fermeture des triangles à 180**.. 11 est donc prudent, chaque fois que certains sommets principaux d'une triangulation ne fournissent pas un bon établissement, de les rejeter comme stations, pourvu qu'on puisse les relier, comme signaux, au reste du système, en visant sur eux de trois autres sommets au moins. On juge alors de l'exactitude des opérations en compensant les directions et en cherchant l'erreur moyenne ; et si le point à déterminer est très-important, on n'admet plus

comme rigoureusement exactes les directions entre les points de station, mais on les compense toutes par un seul et même calcul.

§ 154. — L'exemple suivant fournit à la fois les deux espèces d'équations de condition, que nous avons, dans ce qui précède, considérées séparément.

Supposons que le sommet 4 ne puisse servir de station : il a été observé des points 1, 2, 3 et on a obtenu les directions suivantes :

Station i.