a> 3 ,5:> ... \:iT. i s ,5i,> i.4i
Oosenrons qie, dans la pratique, Icrs*:;i'oa t«h obtenir la précision de la seconde, il fauî exriplojer les tables à 7 décimales p3ar calcaler les termes coonis des éqoadons de condition.
I Si Ton aTait pa stationner an point 4,
on aurait fermé deux triangles de j^os» et obtenu deux nourelles équations de condition aux onglet. Ce cas se présente firéquemment an commencement d'une triangulation : on relie la base mesurée^ 1 . 2, à deux autres points, 3, 4, situés dans une direction à peu près perpendiculaire à la premièie; cm ob-
serve tous les angles de la figure 1,2, 3, 4, et la longueur 3 . 4 forme la hase calculée. On la relie aux sommets adjacents de la triangulation par des triangles aussi bien conformés que possible.
La compensation du système 1, 2, 3, 4 offre donc ici trois équations aux angles, et une équation aux côtés; mais, sauf cette différence, le problème est identique avec celui que nous venons de résoudre. Nous traitons plus loin un cas de l'espèce, mais plus complet.
§ 155. — Prenons enfin un exemple facile dans lequel se rencontrent à la fois des meures linéaires et des mesures angulaires.
On a observé les éléments suivants du triangle 12 3.
Ici, comme nous avons des quantités hétérogènes à traiter , il faut commencer par chercher Terreur moyenne de cha(ïue espèce de mesure. Supposons, pour simplifier, quelle soit de 1' pour les angles et de 0",1 pour les côtés : alors il nous suffira, comme nous Tavons vu déjà (§ 126), d'exprimer les grandeurs linéaires en décimètres, pour pouvoir traiter les erreurs comme de simples nombres inconnus.
Notre première équation de condition, par rapport aux angles, est
3e liia. -31 il'. lattiiL Les :oreâ lar les âinus des angies ■»iïiv^3ea- >ii îffyra • Tonr ies [Uùiiems ésaux.
Aie MO ^, ' = ». ►^Ki ~ - J - — 7.5 ^
1^ »f:>.; — ri^ i.; — T..: - —7,5 -^y
Ri*rrancaan.û ia 3et:ï:iiii r^sui^ac Le premier et le troiaii*me, iic»'*a a'»ir:tis leux acavelles êf^uadoiis de condi- •îca, aie nctia ziiiil:i':I:«:as dot 2» Dour chasser les décimâles de la dernière: il vieidra donc :
,>==.^^1)I>144 i.f —lis i.3 ^i4» ^ — i4* ^ ^ *^ jV^M
^^ ^ZTA^iU 3.! — l'^î* l i— n ^ — i4, ^ — T, l '-^l/M.
Les équations corrélatiTes sont donc
f ^ ^*,-|-îUrh^, f f W, + Tt, .3.1 =>H44Arf-t44ks'
On a, d'ailleurs,
lob-] = — i8 [bc] = 4- 21888
[ac] = — 34 [«?] = + .33650 ;
et les équations normales sont
0 =. 4- 41 + 6)^4 — i8A-, — 34^3 0 = + 690 — 18/ti + 37963fr« + 24888A-5 0 = + 358 — Uki + 24888Ai + 33650Â-,.
L'élimination donne a-^ = -. i,89iâ
it, = — 0,01894 )t, = — 0,000203;
et la substitution dans les équations corrélatives
Appliquant ces corrections, nous obtiendrons pour éléments du triangle compensé :
§ 156. — La compensation des observations conditionnelles mérite toute notre attention, à cause des applications fréquentes quelle trouve dans la haute topographie et dans la géodésie. Les exemples précédents nous ont montré comment on peut, dans les cas les plus simples, former les équations de condition et les traduire en nombres. Mais dès que le problème se complique, il arrive très-souvent qu'on omet certaines
478 THÉORIE DES PROBABIUTÊS.
équations ntvessaires , ou qu^on en pose de superflues. H est donc întèivssanl de savoir déterminer, à pHori, quel esi le nombre d'tSquaùons de condition, indépendantes les unes des autres, qui doivent exister en général entre un certain nombre de données d observaiîc^n,
La question C\>ir.ïv^rte tn^s cas dUérents, suivant que les données dVl^servaùon renferment àes mesures angulaires sev^îeniont, Oxi des mesures îin-aires seulement, ou endn des mesures ai:irula:res ':::i:es à des mesures lî:îeair^s. Nous ne a.^us occuperrris que du premier de ces trc^is cas, parvv qu il es: le \ lus important pour nous, e: que les vîevjt autres s*t rauieaeraient faciîemea!, au moveu vîe légères n:>I:d.*a:i::is.
Les obs^rvaùous angulaires peavez: cfrir trois classes d'équaùorts de coûdi::ca.
La j//v.'.i*^/v ..t\ïcwe se presea:e I?rs»^u\^a a observe tous les articles siui'xes cui foncecî U3l ::ur oborizoa. Le nombre de ces ev^ua::03s es; si àurile à reconnaitre. leur tbrtua::oa esx si simple, q^ue nou5 nous dispenserons den riea iire. reavoyanî tout-etbis aux deux remaniaes 6û:es §§ lo*.^ et loi>. .
On obdent des êtiua:ions de condirica de 9ecande classe^ celles «^ie nous avcas noomiées éi^'iations aux angles xWiukevjieichtàngen, des auteurs allemomis-. lorsq^ïroa a 'jb^sey^c^ les ancles aux si?mmets «fun polygone rermê ; car îa --héorie permet de oirictoier la somme de ces angîes. Le a'?mbre J'eqiiatioas de c«.m«ti- ion de cette espèce repose sur le théorème suivant, rbnnule par Gauss :
NOMBRE d'équations DE CONDITION. 479
« Lorsque p points formant système sont reliés réci- « proquement par l lignes, le nombre d équations aux « angles qu'offre le système est égal kl — /? + 1 . "
Supposons d'abord p points reliés deux à deux par p lignes : ils formeront un polygone fermé qui donnera une équation de condition, relative à la somme de ses angles intérieurs.
A ces p lignes, que nous pouvons considérer comme formant le contour du polygone, ajoutons une diagonale quelconque : elle divisera le polygone en deux autres, et fournira det4xc équations de condition aux angles nouvelles ; mais, par ce fait, la première équation sera annulée ; car elle est évidemment satisfaite lorsque les deux autres le sont.
Chaque nouvelle diagonale amènera ainsi une nouvelle équation, de sorte que tout système linéaire, contenant u lignes de trop, offrira (m -}- 1) équations aux angles.
Soit donc l le nombre de lignes que présente le système; p le nombre de points qu'elles relient deux à deux : on a, u = l — p ; et le nombre d'équations de condition devient l — p + 1 .
l est au moins égal à p^ et peut au plus être égal à
— 2 — : le nombre d'équations aux angles est donc
au moins de une, et au plus de — ^ h ^•
Dans la figure ci-jointe, par exemple, on a /> = 10, 1 = 21: il y a donc 12 équations aux angles. Une fois leur nombre connu, on n'éprouvera pas grande difficulté à les former : ainsi, en procédant à partir de la
ligne 3. 10, et en marchant circulairement vers la gauche, on trouvera, jusqu'à la ligne 4.9, une chaîne de huit triangles contigus, qui doivent se fermer à 180*. Reste encore à découvrir quatre équations de condition.
Le petit quadrilatère 3.4.9.10, entre les sommets duquel il existe six lignes, en fournira trois, qui se déduiront de la fermeture à 180® de trois quelconques des quatre triangles ayant mômes sommets que le quadrilatère.
2i: Enfin la dernière équation de condition est donnée par le quadrilatère 1.3. 4.5, dont la somme des angles doit former 360^
L'expression numérique de ces douze équations n'offrirait rien de particulier.
Enfin nous avons dit déjà que les équations de condition de troisième classe (équations aux côtés, SeUen-gleichungen) ont pour but de corriger les angles observés, de manière à les rendre compatibles entre eux, sous le rapport des longueurs relatives des côtés que ces angles servent à calculer. Par ce moyen on
NOMBRE d'équations DE CONDITION. 481
obtiendra, pour une longueur relative quelconque, des valeurs identiques, quels que soient les angles qui aient servi à la calculer.
Pour trouver le nombre des équations aux côtés que présente un système linéaire, nous emploierons un second théorème formulé aussi par Gauss, savoir :
« Si p points d'une triangulation sont reliés par tf l lignes (dont les directions ne sont observées qu'à « une seule extrémité) , il y a Z — 2p -\-3 lignes de « trop ; ce qui conduit kl — 2p + 3 équations de con- « dition aux côtés. »
Prenons d'abord deux points du système : la direction de la ligne qui les joint est nécessaire pour orienter le système ou pour le relier à un autre.
Un troisième point, pour être relié trigonométriquement aux deux premiers, demande qu'on mesure deux nouvelles directions ; et chaque nouveau point exige deux directions nouvelles et n'en exige que deux (dont une au moins doit être rapportée, médiatement ou. immédiatement, à la direction initiale).
Par conséquent, pour déterminer trigonométriquement un système de p points, il faut 2 {p — 2) directions, outre la direction initiale, qui sert à l'orientation; donc 2p — 3 lignes.
Chaque ligne qu'on ajoutera maintenant aux précédentes donnera lieu à une équation de condition aux côtés, puisque sa longueur peut se calculer indépendamment de toute nouvelle donnée. Si donc on a mené l lignes entre les p points, il existera l — 2p -|" 3 équations aux côtés.
Ce qui précède suppose que chaque ligne surabondante n'a été observée qu'à une seule de ses extrémités : si elle l'avait été aux deux, elle donnerait lieu en outre y comme nous le savons déjà, à une équation aux angles.
Les trois premiers points du réseau exigent au moins trois directions, et les (p — 3) restants, 2 [p — 3); il s'ensuit que l est au moins égal à 2p — 3 : il est d'ailleurs égal au plus à iSîSzM^ donc le nombre des équations aux côtés peut varier depuis zéro jusqu'à
Posons ce dernier nombre égal à l'unité : il vient p = 4 (nous rejetons la racine jo = 1, qui ne peut s'appliquer à aucun système de points). Il faut donc au moins quatre points reliés par six lignes, pour qu'il y ait lieu à rechercher les équations de condition de la troisième classe. Il n'y a pas, en effet, deux moyens de calculer les côtés d un triangle en fonction de l'un d'eux.
Après avoir calculé le nombre d'équations de condition de chaque espèce qui doivent exister dans un système de triangles, il faudra former chacune d'elles, sans commettre d'omission ni de double emploi ; et ce travail ne laisse pas quelquefois de présenter des difficultés. La marche la plus sûre sera de parcourir le réseau, en partant de la base, et en suivant de proche en proche les observations qui ont été faites aux sommets consécutifs de la triangulation. On remarquera que, pour fixer la position d'un point N, il faut deux
NOMBRE d'équations DE CONDITION. 483
directions émanant de deux points connus, A et B. Si les observations fournissent plus de deux données, le nombre excédant exprimera celui des équations de condition, provenant de la jonction du point N au réseau de triangles. Ainsi l'angle entre A et B, observé du point N, apporte une troisième donnée, donc une première équation de condition, qui est ici angulaire.
Le point N est-il observé de trois stations connues A, B, C, lesquelles, à leur tour, sont observées de N? Nous aurons dans ce cas cinq données; donc trois équations de condition (deux aux angles et une aux côtés) .
Et en général, si le point N est observé de m points connus, et que réciproquement ceux-ci soient observés du point N, il y aura (2m — 1) données, donc (2m — 3) équations de condition, savoir (m — 1) pour les angles et [m — 2) pour les côtés.
Bessel a résumé ce qui précède dans la règle que voici : « Pour rattacher un point, il est nécessaire et « suffisant d'observer deux directions simples. L'obser- « vation d une nouvelle direction introduit une équation « aux côtés ; et celle de l'angle fourni par deux direc- « tiens nouvelles, une équation aux angles. »
Nous reproduisons, comme exemple', la recherche des équations de condition que fournit la triangulation faite par ce grand observateur entre Trunz et Memel (voyez Gradmessung in Ostpreussen), en faisant abstraction des petits triangles qui rattachent la base mesurée
' Voir plus loin une application complète, avec tous les calculs, empruntée à la triangulation belge.
484 THÉORIE DES PROBABIUTËS.
à la base calculée, et en partant du côté 1 . 2 {Galtgarben- Condehnen).
A partir de ce premier côté, le sommet 4 est déterminé seulement par deux directions ; mais il a servi de station pour prendre l'angle ^ , ce qui donne une équation aux angles ai = \ .2.4, dans le triangle désigné par ces trois chiffi^s.
