TRIGONOMÉTRIQUE
§ 160. — Lorsque les directions et les angles, pris à une même station, peuvent être considérés comme des grandeurs observées immédiatement, et indépendantes les unes des autres, le calcul de leurs corrections n'offre aucune dijficulté. En effet, les observations des diverses stations étant reliées entre elles de manière à former des triangles, des quadrilatères, etc., il en résulte un système polygonal qui présente plus ou moins d*équations surabondantes ; de là naissent des conditions qui doivent être exactement remplies, pour que le réseau soit mathématiquement formé, et la solution du problème tombe dans le cas que nous avons traité, §§ 143 et suivants. Cette marche est celle qu ont suivie Gauss, Hansen, Gerling, etc., dans leurs calculs géodésiques.
Mais il en est autrement lorsqu'on regarde, avec Bessel et Baeyer, les directions observées à chaque station comme liées entre elles par des équations (9) : c'est dans cette hypothèse que nous allons exposer la théorie de la compensation d'un réseau trigonométrique.
Soient les équations de condition suivantes, tirées de la constitution polygonale du réseau :
u =0 = 2l4.aA' + a'B' + a"C'...
m' = 0 = 6 + pA' + P'B' + P"C' ... ... (!4)
tt" = 0 = C + yA' + T^B' + Y'C ...
COMPENSAnON GÉNÉRALE D UNE TRIANGULATION. 499
Multiplions-les successivement par les coefficients corrélatifs I, II, III,.. (pour suivre la notation de Bessel et de Baeyer); diflTérentions-les par rapport à A, B, C..., en remarquant que d(\), d(2), d{3) sont des différentielles de 2* ordre, et ajoutons-les aux équations (5), (6). (7); il viendra
dS du du' . du"
dS , dtt - , duf „ , du" ,, ,, ^,
dS du du' du"
Comme les valeurs de —,—... ne sont autre chose que
dA dB
les expressions (9), et qu'en outre ^ = *'» ^ =*^ dc """'''*' ' le système précédent se transformera en
+ [aa]X'—[ab]B'^[a€]C'...=lan] + a I + p II + yHI...
— [ab] A' + [bb] B' — [bc] C ... = [frn] + a' 1 + P' Il + f I" •.• (i6)
— [ac] A'— [bc] B' 4- [a?] C ... = [en] + «"I + P"II + r"III ...
Éliminant A', B', C... de ces équations, et les exprimant en fonction des coefficients indéterminés I, II, III..., on trouve une expression de la forme
B' = Q 4- ç' I + / II + 5* m ... ... (47)
C = R + ç" I + r" Il 4- «" III ...
Si maintenant on substitue ces valeurs dans les équations (14), on fera disparaître A', B', C'..., et on obtiendra autant d*équations que de coefficients corrélatifs : leur solution donnera donc les valeurs de I, II, III...; et ces derniers, remplacés dans (17), permettront de calculer les directions les plus probables A\ B', C... qui satisfont à l'ensemble des conditions.
500 THÉORIE DES PRODABIUTËS.
Telle est la marche la plus simple en théorie : mais lorsqu'on veut l'appliquer, on doit attendre, pour commencer les calculs» que toutes les observations soient terminées. Or, ces calculs sont si longs que, pour une triangulation un peu considérable, leur accumulation présente un travail effrayant. Baeyer a cherché à éviter cette accumulation, en disposant les calculs de telle sorte qu*on puisse opérer par parties successives, sans nuire à l'exactitude de la solution.
Dans ce but, on commence par calculer, comme nous l'avons fait (§ 157), les directions probables A, B, G..., eu égard seulement aux observations faites à la station; puis on forme les expressions (12) et (13) relatives aux équations de condition qui résulteront plus tard de la constitution géométrique du réseau. Jusqu'ici donc, les calculs peuvent être conduits indépendamment les uns des autres, pour chaque station individuelle, et se faire d'année en année, après la campagne d'observations.
Dans les équations (14), les valeurs de A', B', C... embrassent toiUes les conditions; mais si l'on veut séparer les directions probables fournies à chaque station, des corrections dues à la forme polygonale du réseau, il faudra remplacer A', B'... par A -|- (1), B -{- (2)... Les équations de condition (14) comprendront de nouvelles inconnues (1), (2), (3).... En effet, puisqu'on part, pour leur formation, des valeurs probables obtenues à chaque station, la première de ces équations devient
OU bien o = 21' + a (4) + «' (2) + «" (3) ...
COMPENSATION GÉNÉRALE d'uNE TRIANGULATION. 501
en remplaçant par 21' la quantité toute connue
De même pour le reste du groupe (14) qui sera remplacé par le suivant
Dans la même hypothèse, c'est-à-dire en partant des directions probables observées'aux diverses stations, la première des équations (16) se transforme en celle-ci :
[aa] A — [oZ»] B — [ac\ C ... + [aa] (i) — [ab] (2) — [ac] (3) ...
= [an] + al + pil + rin ...
Mais, par suite de notre hypothèse, nous avons (9) :
[aa] A — [oftj B — [ac] C ... = [an]
et de plus (12)
[aa](i)-[a*](2)-[û^](3)...-[i].
Il s'ensuit que le groupe (16) deviendra
[11 = a I + p II + y m ...
[2] = a'I + pMI 4- Y' ni ... ... (49)
[3] =- a"I + p''II + y"III ...
Si Ton transporte les valeurs de [1], [2], [3]... dans les équations (13), on obtient les corrections (1), (2), (3)... exprimées en I, II, III. Les introduisant dans (18), on obtient les équations finales , dont' la résolution fait connaître les valeurs de I, II, III... Enfin, transportant ces coefficients connus dans les expressions (13) des corrections, on en déduit les valeurs de ces dernières. Ces valeurs doivent rendre les équations (18) identiquement nulles.
§ 161. — Les directions corrigées qu'on trouve de cette manière pour chaque station, se rapportent à la direction arbitraire du premier objet, prise comme point zéro (§ 149) : cette direction est en effet indifférente lorsqu'on ne considère que la valeur des angles des triangles, ou l'accord des séries d'observation; mais on a besoin de connaître l'influence que la compensation des directions a exercée sur le point zéro d'un sommet quelconque, pour apprécier la grandeur des changements que doivent subir les directions observées à ce sommet. Dans ce but, laissons la direction initiale indéterminée et désignons-la par ^ .- alors les autres directions deviendront jar -|- A, -y -}- B... et nos premières équations (§ 157) seront remplacées par celles-ci :
Directions observées 0 a 6 ...
— probables z . ' z+k a + B...
Dififérences -•»; a — 2 — A; b — «— B...
Ces différences, égalées à une variable a?, donnent les équations
0«»x4-*; 0=i2-|-A-f-« — fl; 0 = 2 + 8 + 55 — 6 ... etc.;
et si l'on pose
2S=('ï^+2)«+(2+A+a:— o)«+(j5+B+x— 6)«+ ... +(2+a;)« +(2+A+x— o')*+(2+B+a;— &')«+ ... +{z+afy^ +(;,+A+a:'-Hx )t+(«+B+x'-P )t+(2+C+a:'-y)t+..
on trouve ds
-. =a 0 = {mn + mV) z + mnx+m'nV+n (A+B)+n'(A+B+C) - a4.a' + ...)-(6+6'+...)-W-^[P]-[y].
