POIDS DE LA DÉTERMINATION
Il y a quelque chose de forcément arbitraire dans la fixation du poids d'une série d'observations, faites dans le but de déterminer la valeur de k, par des distances zâûlhaleB.
Si k, en effet, était une grandeur constante, dont Terreur ne pût dépendre que des erreurs d'observation dZy l'erreur probable d'une détermination fondée sur un nombre a d'observations serait (§ 125)
et l'erreur probable déduite de a observations faites à une station, et de b observations faites à la station réciproque, serait
-f^\(iH)$
Le poids correspondant serait donc
e« (a+b)r*dz^'
D'ailleurs, comme les poids sont simplement des quantités relatives, on peut supprimer la constante -=^, et prendre pour poids
Mais, d'un autre côté, si l'inconstance de k était la seule cause d'incertitude, le poids P serait indépendant
•de la distance, et on aurait - proportionnel à i + 1, ou
bien
ab p
536 THÉOAIË DES PROBABILITÉS.
« Il n'est pas douteux, dit Bessel, que Imcertitude « provenant de Tinconstance de k ne soit plus à craindre « que les erreurs commises dans la mesure des distances « zénithales ; ainsi, pour avoir égard à la fois aux deux « causes d'erreurs, nous admettrons
Dans le cas où les observations sont réciproques et simultanées, on a nécessairement a^=h\ le poids d'une série est donc alors
§ 168. — L'opinion de • Bessel est aujourd'hui bien établie par l'expérience, et le nivellement trigonométrique, reconnu peu exact par suite de cette incertitude des réfractions, ne s'emploie plus que dans des circonstances exceptionnelles, quand le nivellement topographique (ou géométrique) est absolument impraticable ou serait trop long; il n^en a pas été fait usage en Belgique, et en Suisse, en France, etc., on a repris, à Taide des niveaux, la détermination des cotes faite premièrement avec le théodolite.
L'Association internationale de géodésie, ne considérant que le nivellement géométrique, a décidé, dans la Conférence de Berlin en 1864, que l'erreur moyenne ne pouvait dépasser 3"" par kilomètre, avec une tolé-» rance jusque 5°^ pour les cas les plus défavorables. Il résulte de cette donnée que l'erreur moyenne d'un nivellement étendu sur m kilomètres a pour limite
ERREUR MOYENNE d'uN NIVELLEMENT GÉOMÉTRIQUE. 537
0",003 l/w. Le môme chiifre s'appliquerait naturellement aux opérations avec le théodolite, qui se font généralement à de grandes distances; mais, comme nous l'avons dit, l'incertitude des réfractions le rend dans ce cas presque illusoire.
Dans la pratique du nivellement topographique, on mesure deux fois chaque différence de niveau partielle : de l'avant à l'arrière et de l'arrière à l'avant. La moyenne des deux différences obtenues donne la valeur cherchée ; Terreur de chacune des deux déterminations est donc supposée la même, mais leur signe est inverse.
La somme des carrés des erreurs a par suite la forme :
et l'erreur moyenne d'une observation est :
D'ailleurs, comme chaque différence de niveau est la moyenne entre deux observations, son erreur moyenne ®st : y-^^
Si le nombre n de points nivelés correspond à une longueur de k kilomètres, on doit avoir, d'après ce qui précède :
0»»,003 J/T limile de l/{ï^] ou e, j/n.
Le poids du résultat d'un nivellement opéré par l'intermédiaire de n différences de niveau partielles, est, en prenant le poids d'une différence pour unité, -, c'est-
à-dire qu'il est inversement proportionnel au nombre d'observations; et, comme normalement ce nombre dépend de la distance entre les deux points à niveler, on peut dire que le poids du nivellement est inversement proportionnel à la longueur de la ligne nivelée. La compensation d*un nivellement géométrique se fût comme celle d*un nivellement trigonométrique. Si Ton suppose, par exemple, un quadrilatère' dont on ait mesuré les différences de niveau hi^ ^, h^, A4 d'un sommet au suivant, on aura comme équation de condition :
hi + h^ + fH + h,+(i) + (2) + (3) + W = 0 .
Soient ^, 5", 5™, s^^ les longueurs des côtés; nous prendrons pour poids des nivellements
Les équations corrélatives seront :
c'est-à-dire que les corrections à faire sont en raison directe de la longueur des côtés. Soit [A] = A, on aura :
0) = -A-. W = -Af^. (3) = -Am' (*^ = -^-Ô-
Cherchons maintenant Terreur moyenne du nivellement après la compensation faite. Si l'on suppose que rf, df, d"... représentaient les erreurs du nivellement
COMPENSATION d'uN NIVELLEMENT GÉOMÉTRIQUE. 539
pour les différents kilomètres du côté s^ par exemple, après la compensation, ces erreurs deviendront :
y + ll), 8'. + (LU.4.Ëi,8.v+(ll et la somme des carrés des erreurs pour ce côté, sera :
Pour chacun des côtés ^", ^\ 5^^, on aura une somme analogue ; l'expression de la somme totale des carrés des erreurs sera par conséquent de la forme :
Mais «;...i, 'J- - A. ^. ......
donc gi:+w+g+m!-,."+-°+f+'"-é;.
La somme des carrés des erreurs est donc égale à :
Avec les m observations et Féquation de condition on a m -f- 1 équations pour n points à niveler, Terreur moyenne est donc finalement :
§ 169. — Les observations conditionnelles, que nous avons appris à compenser (§ 143), servent en général à calculer d'autres quantités qui en sont des fonctions connues : il nous faut apprécier la précision
de ces fonctions qui ne renferment pas nécessairement toutes les observations compensées ensemble. Cette question doit être envisagée sous un point de vue tout particulier. C!omme, par hypothèse, les observations sont en nombre surabondant^ la quantité à cal-- * culer ne doit renfermer extérieurement y dans son expression, que les observations strictement nécessaires, et les observations surabondantes iCy apparaîtront pas : cependant, puisque la compensation a été opérée au moyen de toutes les observations, les résultats surabondants se trouvent implicitement dans la fonction.
Soit donc u la fonction à calculer, liée à un certain nombre d'observations (non à toutes) par la relation directe
tt = f(V,V'',V'"...). ...(s)
On a calculé exactement
en remplaçant les V par des (o + a?).
Si ces V seuls avaient été observés, et s'ils étaient indépendants les uns des autres, nous n'aurions qu'à poser (§ 125)
du =x V dY + r d\" + r dY'' .... ... (s')
et, en supposant les observations également exactes, nous en déduirions immédiatement
en prenant pour unité de poids l'observation ellemême.
Mais tel n'est pas le cas. Nous ne pouvons employer
FONCTIONS d'observations CONDITIONNELLES. 541
l'équation (s^ que pour déduire, des variations données des V, les variations correspondantes de u : elle n'est donc plus applicable ici, dans le sens du § 125, parce que lesdYne sont plus indépendants les uns des autres, mais sont liés aux V et dV qui n'apparaissent pas dans la formule (s), et, par conséquent, liés aussi entfe eux, par les équations
0 = a'rfV +a"dV" + a'"dV'" + a'^dViv...
0 = l/dV' + V'dW + ô" W" + fr'^dViv (s'^)
0 = (fdV' + cf'dV'' + c^'dV"' + c'^dV'v...
qui ne sont autre chose que les différentielles des équations (r) du § 143, dans lesquelles nous faisons les df = 0, puisque les équations de condition (r") sont satisfaites par la compensation que nous supposons avoir été effectuée. N'oublions pas d*ailleurs que nous ne pouvons admettre pour les dV que des valeurs qui rendent [A^ un minimum pour toiUes les observations. Si donc nous voulons, de l'erreur moyenne des observations, conclure Terreur moyenne de la quantité u, nous ne pouvons pas opérer sur les équations (s) et (s^ ; nous chercherons d'abord à former une autre équation
M = r (V', V", V", Vnr. . .) ... (s'")
qui jouisse de la double propriété : 1° de renfermer toutes les quantités observées et compensées; 2° de donner pour w, lorsqu*on y remplace les V par les (o -f- ^)» la môme valeur que l'équation (s).
On peut trouver un nombre infini de pareilles équations : il suffit pour cela d'ajouter à l'équation (s) les équations (r), après avoir multiplié chacune de ces der-
542 THÉORIE DBS PROBABILITÉS.
nières par un coefficient arbitraire, r; on obtient ainsi
u = f (V, V", V''...) + r, A + r, A + r, /i... ... (siv)
Or, si l'on remplace dans cette équation les V par des (0 + ^)1 les derniers termes s'évanouiront d'euxmêmes, par le fait de la compensation supposée effectuée.
Nous verrons tout à Theure comment il faut déterminer les r convenables : pour le moment, remarquons que l'équation (s'^), étant diiférentiée, donnera une équation de la forme générale
dtt = L'dV' + L"dV" + L"W'' + L'^dV»v..., ... (sv)
qui diffère de l'équation (s') en ce qu'elle contient tous les V. Si donc nous pouvions déterminer tous les L, le problème serait résolu, car nous aurions
qui nous feraient connaître Terreur moyenne ou le poids de la fonction.
Or, en égalant (s^ à la différentielle de (5^), on a
LW + L"dV" + L'"rfV'" + L'^dV'v...
= df (V, V", V" ...) + r,df, + r^f^ + r,dA...;
ou bien, d'après {s) et (s"),
=rdV'4-rdV"+r'dV'"+r4(a'(iV' + a"(iV" + a'"dV'" +a«vrfV»v...)
+ rJ^l/dY + b"dr' + b'"dr'' + &»^dV>v...)
Égalant les coefficients des différents ei^V, on a
u = u + a' r^ + 1/ rt + (f n + ...
L'"= r+ a'"ri + b'"rt + (/"r, + ... - ^^'^^
yy = /1V4. a^v r^ j ^iv r^ ^ ^iv ^^ j- ... etc.
Reste à déterminer les valeurs convenables des r.
FONCTIONS d'observations CONDITIONNELLES, 543
Pour cela, nous savons que les seuls dV admissibles sont ceux qui, dans le cas particulier où dV == — a/^ rfV" = — a/'... rendent [a^ un minimum pour toutes les observations. Pour exprimer cette condition, nous avons donc à différentier de nouveau (s^) en regardant du comme constant, et en faisant d . dV = — dx. Il vient ainsi
0 = Ud3if + V'djf' + V'dsf" + V^daP (s^i»)
Comparant cette expression avec Téquation (r"') déjà satisfaite ,
nous en conclurons que les L jouissent de l'importante propriété à! être proportionnels aux x; en d'autres termes, que [L*] doit aussi être un minimum. Telle est la condition qui doit nous servir à déterminer les r.
Nous emploierons à cette détermination les équations (s"^), en posant
dr^ dr% dr^
et elles deviendront
[aL] — 0
[6L] = 0 ...(sv"0
[cL] = 0 .. etc.
Substituant dans ces dernières expressions les valeurs des L, tirées de (s"^), nous obtenons en définitive, pour déterminer les r (qui sont en nombre c), les équations suivantes qui sont aussi en nombre c.
[a/] + [cm\ n 4- [û*] Tt + [ac\ r% ... = 0 •
\hr\ + [Ob'] n + [W\ r, + \hc\ n ... = 0
M + M U + \pc\ rt + M ^i ••• = ^ ••• etc.
Ces équations, que nous appellerons, avec Gerling, équations de transport (UebertragungS'Gletchungen)^ sont bien faciles à former; car elles ont les mêmes coefficients que les équations normales, et n'en diffèrent que par le terme constant. Ayant trouvé les valeurs numériques des r (coefficients de transport) y on les transportera dans les équations (s^% et on en déduira les valeurs des L. Il ne restera plus alors qua calculer
§ 170. — Comme exemple de calcul, reprenons le triangle ABC [§ 145, 2® exemple], et calculons le côté A C = tt, en fonction du côté connu B C = a = 50000"*, et des angles compensés. Nous avons ici
La formule (s) est maintenant
tt =
a sin o''
sin (f ' u = 84198"».
D'après la remarque qui termine le paragraphe précédent, nous savons déjà que cette valeur de u est la plus exacte (^ (m puisse tirer des observations données. Pour estimer son degré de précision, calculons son erreur moyenne.
a sin (f*
L'équation """iST"'
