m — l)w = l/î27rw^ ^«e =w

Pour appliquer cette formule à l'expression de mC,^, il faut multiplier le numérateur et le dénominateur par le produit

il viendra :

n « ! (in — n) !

ce qui. d'après la formule de Stirling, équivaut à :

y ^isn « (m — n) ' *

96 THÉORIE DES PROBADILITÉS.

mais pour l'ordonnée maximum Y, on a n = -, d où

^2wm

la valeur de m C^ peut donc se mettre sous la forme :

ce qui peut s'écrire :

Comme l'étude que nous faisons de la courbe de possibilité est limitée à quelque distance de part et d'autre de l'ordonnée maximum, il est avantageux de placer lorigine des abscisses au pied de cette ordonnée. Dans ce cas, le terme général m C„ devient

k indiquant le rang du terme considéré par rapport au terme ou à l'ordonnée maximum. Remplaçons dans (2) n par ^ — A:, nous aurons :

Afin de simplifier cette expression, on la met d'abord

SOUS la forme :

puis on développe chacun des facteurs. I^oit

ml

OD aura successivement :

en négligeant les termes qui ont m à la puissance 2, ou à une puissance plus élevée, au dénominateur ; ces termes sont évidemment d'autant plus petits que m est

plus grand, car la fraction -, d'aprôs le théorème de

BernouUi, est au plus égale, pour la portion de la courbe que nous considérons, à - (§ 32).

On a donc finalement :

et on trouverait de même :

Par suite, l'expression de l'ordonnée correspondante à l'abscisse A, dans le nouveau système d'axes passant au point milieu des abscisses, est :

Y' X*e "^ ou Y X c "*

en exprimant l'abscisse par œ au lieu de k. On sait que l'expression Ae""^^ peut être envisagée comme type algébrique des fonctions qui décroissent symétriquement, avec une grande rapidité, de part et d autre de l'origine de la variable a? ^; de sorte que la valeur numérique de la fonction, sans jamais devenir rigoureusement nulle, est déjà excessivement petite pour des valeurs de x tant soit peu considérables. C'est bien l'allure de la courbe de possibilité telle qu'elle résulte du théorème de BernouUi.

Quant à l'expression de la probabilité d'une valeur particulière de a?, elle s'obtiendrait en introduisant de

nouveau le facteur l-Y dont il a été fait abstraction

dans la recherche de la forme de la courbe de possibilité. Si, en outre, on remplace Y par sa valeur, on aura :

y=|/— xe '«^ • w m

Supposons 2 joueurs qui engagent chacun 1 franc à chaque partie; la probabilité qu'au bout de 1000 parties aucun des deux n'aura gagné ni perdu, sera

Y/ ■ iai\a\ = ^;n = ^»^2^ environ ; (m = iOOO) 39,6

^ Voir la table n^ i, à la fin du volume.

DE LA RÉPÉTITION DES ÉVÉNEJIExNTS. 99

et celle qu'ils n'auront gagné ni perdu plus de 20 francs sera :

S |X-lx.~m"^ =0,489 environ;

\ wm y — 10

ainsi, il y a près de 49 chances sur 100, qu'au bout de 1000 parties le gain de l'un ou l'autre joueur ne dépassera pas 20 francs. On trouverait facilement qu'il y a plus d'une chance sur deux (50 sur 100), que ce gain n atteindra p£^ 21 francs. Ce résultat paraîtra étonnant, en présence des faits d'observation personnelle que chacun peut avoir eus sous les yeux; mais il faut remarquer qu'il est rare que deux joueurs soient exactement de même force, c'est-à-dire que la chance de gagner soit

réellement - ; en outre, il n'arrive presque jamais que

l'expérience soit poussée jusqu'au nombre de lOOOparties, qui est cependant indispensable ici.

Dans la valeur de y, la fraction —est un véritable paramètre ; si on la représente par h^, il vient

cette forme se retrouvera plus loin dans la recherche de la probabilité d'une erreur accidentelle d'observation. Le paramètre, toutefois, aura une autre signification.

§ 35. — Le théorème de BernouUi est applicable au cas où les événements possibles, à chaque éprouve» sont en nombre quelconque. Si l'on représente par p»

100 THÉORIE DES PAOBABIUTËS.

q^r.s... la probabilité de chacun d*eux, Tévéneinont composé lu plus probable dans m épreuves, est formé depm répétitions du premier événement simple, de^m répétitions du deuxième, de rm du troisième, et ainsi de suite. Les termes du développement de {p -{-q -{- r + 5...)"* se rangent par ordre de grandeur dans le voisinage du terme maximum, et l'on peut encore calculer le nombre d épreuves pour lequel on aura une probabilité aussi approchante de la certitude qu*on voudra, que les rapports des nombres de répétitions de chaque événement simple, à ce nombre d'épreuves, ne s'écarteront pas des probabilités^, q, r, s... en plus ou en moins, d'une fraction quelque faible qu'elle soit.

La démonstration de ces propriétés se fait par le procédé que nous avons suivi dans le cas de deux événements simples : mais les opérations sont beaucoup plus compliquées.

§ 36. — Poisson a recherché la loi suivant laquelle les événements simples dont la probabilité nest pas nécessairement constante pendant la durée des épreuves^ se répètent dans un grand nombre d'épreuves ; mais il n'est pas parvenu à trouver l'expression rigoureuse de cette loi, qu'il appelle loi des grands nombres. Cependant il a réussi à étendre le théorème de BernouUi à ce cas général. Pour les usages pratiques, on peut conclure de cette extension, que si l'on connaît les valours par rapport auxquelles la probabilité de chacun des événements simples varie le plus régulièrement dans les deux sens, l'événement composé le plus pro-

bable sera celui où les événements simples seront répétés des nombres de fois proportionnels à ces valeurs. Cette conclusion est très-importante pour les applications du calcul des chances aux Assurances, ainsi quaux lois de Mortalité, etc.

§ 37. — Comme appendice à ce chapitre, nous examinerons le cas où chaque expérience influe sur les conditions des épreuves ultérieures. Alors donc que jusquici nous avons assimilé les épreuves à des tirages successifs dans une urne où Ton rejetait à chaque fois la boule extraite, nous admettrons maintenant que cette boule n'y soit plus rejetée.

Supposons qu'une urne renferme a boules blanches et 6 boules noires, et recherchons la probabilité d'en retirer dans m tirages, n boules blanches et [m — n) boules noires.

Continuons de désigner par A l'événement simple qui consiste dans la sortie d'une boule blanche, et par B l'événement contraire, ou la sortie d'une boule noire; de sorte que AB indique l'événement composé qui consiste dans la sortie d une boule blanche suivie de la sortie d'une boule noire; et ainsi de suite. Il est clair, par le principe des probabilités composées (§ 18), qu'un événement composé, tel que A AB, a pour probabilité

iqpï^a + fr — i ^0 + 6 — 2~(a + ft){a + 6 — i)(a + 6— â)'

tandis que la probabilité de l'événement composé ABA, qui ne diffère du précédent que par Tordre de succes-

sien des événements simples, est

a b a — i ab (a — i)

a + b a + b — i a + ft — 2 (a + ft)(a + & — 4)(a + ft — 2)'

fraction qui, elle-même, ne diffère de la précédente que par Tordre des facteurs du numérateur. Il suit de cette remarque, dont la généralité est évidente, que la probabilité cherchée a pour valeur la fraction

a(a->i)(o--2)...(a--n + i)X^(fr— <)(Z>-~2)...f6 — m+n + i) (a + b){a + b--i){a + b'-^).„(a + b'-m + i)

prise autant de fois qu'on peut faire de permutations distinctes dans Tordre des événements. Donc la valeur de la probabilité cherchée est

Si Ton fait successivement, dans cette expression générale, w = 1, 2, 3, ... (m — 1), on aura les probabilités d'amener en m tirages, 1, 2, 3, ... (m — 1) boules blanches, et (m — 1), [m — 2), (m — 3) ... 1 boules noires. Quant à la probabilité de n'amener que des boules blanches, elle est évidemment égale à

La somme de toutes ces probabilités compose Tunité, puisqu'elles correspondent à autant d'hypothèses, dont

Tune doit forcément se réaliser; donc on a

0(0 — 1)(o — 2)..^a-m4-<) rn a(a— i)(a — 2)...(a — m+2)<? {ar\-b)(a+b'-i)..{a+b-'m+{y i (o-H)(a+6— 1;... (a+ih-m+i) '

m(m— i)...(n+i) a(a^i)...{a—n+i)Xb{b-'i)..Jb—m+n+i)

, b{b^i)(b-^^)..Ab-'m + i)

"^ (a + ô) (a + Z» — 1) ... (a + b'-in+i) '" ^^ ^

OU bien

(a + &)(a + 6 — i)(a4-ô — 2)...(a + 6 — m + 4) = a(a— i) (a— 2)...(a-.m+i)+ ja(a— 1) (a— 2)... (a— m4-2). 6+ ...