ft— !)(& — 2)...(6-m + i
Cette dernière formule est remarquable par son analogie avec celle du binôme : les factorielles de lune remplacent les puissances de l'autre.
En prenant la somme des m—n-\-l premiers termes du développement (M) jusqu'au terme (N) inclusivement, on a la probabilité que, sur m tirages, il ne viendra pas moins de n boules blanches. Au lieu de tirer les m boules successivement^ on pourrait ici évidemment les extraire toiUes à la fois, sans rien changer à la probabilité d*amener n boules blanches et (m — n) boules noires.
§ 38. — La valeur maximum de (N) représente la probabilité de l'événement composé le plus probable en m tirages. Pour rechercher ce maximum, remarquons que si dans l'expression de (N), on multiplie le numé-
rateur et le dénominateur du coefficient par
n (n — i) (n — 2) . . . 2.4 ou n!,
et de même le numérateur et le dénominateur de la fraction qui exprime la probabilité d un tirage déterminé, par (a — n) ! et (b — 7n -}- ^) ! > on obtient :
(m — w)! X ni a\ X b\
{(i+b) {a+b—A) (a+ft— 2) ... (0+6— 7W+1) X {a—ny. X {b—m+n)\
Le numérateur de cette expression est constant, et, au dénominateur, le produit (a -|- *) (a -{- b — 1) ... {a -\- b — m -{- 1 ) est aussi constant ; il suflSt donc de rechercher le maximum de la fraction :
ou le minimum de
(m — m)! X n! X (fl — n)! X {b — m-\- 7i)\
1) après la formule de Stirling, ce produit vaut :
ip)
Le premier coefficient différentiel donne, après suppression des constantes, et du facteur commun,
(wi-n)+ ■ fi+- (a—n)+û ^>— w-Hi+-
(tn—n) ^Xn ^X(a— «) 2^(^,^^,jj 2
l'équation suivante :
+ — ; h log n
+ —h »,Ln + *^^ (^ - 'W + «) = 0.
0 — ni-\-7i
Les fractions
peuvent être prises égales à Tunité dont elles diffèrent très-peu ; il reste donc :
— log (m — n) + log n — log (a — n) -|- log (b — m + n) = o OU
par conséquent ;
et enfin
am
bm
Il est facile de reconnaître que ces valeurs conduisent à un minimum pour le produit (p), et sont par suite
106 THÎORIE DES PROBABILITÉS
celles qui rendent (N) maximum. On voit que ce maximum correspond à l'événement composé dans lequel chacun des événements A et B est répété un nombre de fois proportionnel au nombre total possible de ces événements.
La probabilité de cet événement composé peut s'écrire :
m a\ X blx (a + b-^ m)\
j bm \ I am \
[r+ïr ^ [7+~bj
ce qui vaut :
(a + b)\ X (a — n)lx{b — m + n)!
l/Tjrm ^e
. .—3 (a-hb)+\ -{a + b)
a(a-\-b — wi) 4 ^(a + b) + m .aia + b-^m)) (« + *) ^2 ><^ ^1 \T+b) 1 ^
b(a + b — m) i ^bja + b-'m)^ (a + fc) 2
remarquons P que [\/Tvf est fecteur commun au numérateur et au dénominateur; 2"^ qu'il en est de même de
ainsi que de
qui S annule avec
3" que
est aussi facteur commun, comme
ainsi qu'il est facile de le reconnaître, et 4° qu'enfin
(a + bl^ + '^ + ï
s'évanouit aussi au dénominateur ; il reste donc :
nm
ce qui peut s'écrire :
Ce résultat est remarquable ; le premier facteur de cette expression représente» en effet, le terme maximum du développement de
comme il est facile de s'en assurer par les formules connues ; or ce terme maximum correspond à un événement composé qui est précisément le même que celui auquel correspond l'expression considérée tout entière ; donc, dans le cas où l'on épuise un à un dans les
THÉORIE DES PBOBABILITËS.
iives successives, la suite des événements simples ibies. la probabilité de cet événement composé est grande dans le rapport de
lité. On peut s'expliquer cet accroissement en réflélant qu'avant chaque épreuve, les valeurs qu'on attribuer aux probabilités qui en résulteront pour euve suivante, diffèrent plus dans ce second cas dans celui des épreuves répétées des mêmes rds. Ainsi, par exemple, la probabilité de tir-er boule blanche au deuxième tirage dans l'urne, lée avant le premier tirage, est : a — 1 a
^a + ft-i^^tt + i-i
. moyenne de ces probabilités est 5-^^ suivant \>J>. Or on sait que le terme maximum du dévelopïnt de (p -|- î)" est d'autant plus grand que ?) et 3 rent davantage, comme le prouve immédiatement ressioQ
ce terme maximum dans le cas où l'on épuise les ements possibles, doit tendre à augmenter. On d'ailleurs que le rapport
)roche d'autant plus de l'unité que m est plus faible ivement à (a -{*&)•
Le cas que nous venons de traiter constitue évidemment une application des recherches de Poisson sur la loi des grands nombres, puisque les probabilités y varient à chaque épreuve. C'est en raison de cette circonstance, que nous l'avons développé.
§ 39. — Comme problème numérique, considérons la question suivante. Chez les Romains il arrivait assez souvent qu'on décimait une troupe qui s'était livrée à des actes de mutinerie ou qui avait faibli devant l'ennemi. Pour procéder à l'exécution on mettait dans un casque les noms de tous les soldats qui étaient accusés d'avoir forfait à l'honneur ou au devoir, et tous ceux dont le nom sortait au dixième tour étaient sacrifiés ; la pratique de la peine revenait donc au tirage de — boules d'une urne renfermant a m boules blanches et
(1 — a) m boules noires. Pour apprécier l'équité absolue de cette peine, il suffit de remarquer que Tévénement le plus probable est celui formé de :^ X « boules blanches
et (1 — *) X ^ boules noires, les unes représentant les
hommes réellement coupables et les autres les hommes qui s'étaient seulement laissés entraîner. On voit que ceux-ci, ordinairement les plus nombreux, fournissent le plus grand nombre de victimes. Il serait donc permis de dire que la peine était injustement barbare, s'il ne fallait tenir compte de considérations morales, ainsi que de l'importance relative de la peine de mort en temps de guerre pour les militaires ^
* Ce mode de punilion a été employé jusqu'au xvii« siècle, el même de DOS jours, en Espagne.
On ferait aussi rentrer directement dans la théorie précédente la plupart des questions auxquelles donnent lieu les épreuves du sort, au sein d'une assemblée politique, dont les membres sont ordinairement rangés en deux classes, la majorité et la minorité. Par exemple, ' l'assemblée étant de 108 membres, dont 60 appartiennent à la majorité et 48 à la minorité, si Tondre au sort une commission de 20 membres, il y a lieu de demander quelle est la probabilité que la majorité ou la minorité de l'assemblée sera en majorité dans cette commission. — Si des causes fortuites, et qui agissent sans acception de partis, telles que des maladies, doivent tenir 16 membres éloignés au moment d'un vote, on peut demander quelle est la probabilité que la majorité se déplacera, et ainsi de suite. On voit facilement que la dernière question revient à extraire, en 16 tirages consécutifs, au moins 15 boules blanches d une urne qui contient 60 boules blanches et 48 noires.
Le droit de récuser un certain nombre de jurés, dévolu à l'accusé dans les procès criminels, donnerait lieu à des questions analogues. Par exemple, on doit tirer au sort douze jurés sur une liste de trente-six noms : l'accusé a intérêt à écarter six de ces noms; quelle est la probabilité qu'il n'aura pas besoin d'user de son droit de récusation? — C'est comme si l'on demandait la probabilité de n'extraire, en 12 tirages, que des boules blanches d'une urne qui contiendrait 30 boules blanches et 6 noires, probabilité égale à 0,07 environ.
