CALCUL DES COEFFICIENTS SOMMATOIRES
Le calcul des coefficients sommatoires [aa], [bb]... [ab], [ac], etc., est une opération très-laborieuse, qui exige beaucoup d'ordre. Voici la marche que Encke recommande pour cette partie du travail.
On commence par remplir le tableau suivant.
Valeurs de n
log»
logw'
log n"
logn'"
log n^
Coeff. dex.,,a
log a
log a'
log a"
log a'"
log arf
Coeff. dey ,,.b
logô
log&'
log 6"
log fr'"
log b^""
Coeff. dc:s ... c
loge
log(/
log c"
log c"'
log c^
CoefF. dev...d
logd
logd'
logd"
log d'"
log d»v
Somme des coeff. ...<
log 5
log*'
log 5"
log ^"
log s^^
Puis, sur le bord inférieur d'une feuille de papier, on inscritles logn, log?i'. . . log n"^, de manière qu'ils puissent correspondre aux colonnes du tableau, log n au-dessus de logn; log n! au-dessus de log n'.... etc. Additionnant les deux logarithmes qui se correspondent verticalement, on aura log nV;... log n^n^.
On glisse ensuite le papier une ligne plus bas, log n du papier au-dessus de log a du tableau ; log n' audessus de log a^... On obtient ainsi log an; log aV;,.« log a^'^n^. En continuant de môme jusqu'à log dn ; log d^nf,,. on aura épuisé toutes les multiplications par n.
On inscrit ensuite sur le bord inférieur d'une feuille
CALCUL DES COEFHaENTS SOMMATOIRES. 555
de papier les log a, log a^.. log oT; on commence par placer cette feuille au-dessus de la ligne du tableau qui renferme les log a; on additionne, et on a les log aa ; puis, baissant successivement le papier, on va jusqu'aux log a^, ce qui termine les multiplications para. On continue ainsi jusqu'à la dernière ligne, qui donne les log dd.
Passant aux nombres, et additionnant ceux qui correspondent à une môme position du papier mobile, on trouve les quantités que nous avons représentées par [nn] , [an] , [bn] , [aa] jusqu'à [dd\ .
Faisons ici quelques remarques pratiques.
Lorsqu'on doit ajouter ou soustraire deux logarithmes, il est avantageux de faire l'opération de gauche à droite, et non de droite à gauche, comme on la fait ordinairement. De cette manière on obtient en premier lieu les chiffres les plus importants, et on écrit le nombre plus vite et plus régulièrement. Quant aux reports, un peu d'habitude permet d'^n tenir compte à vue, tant qu'on n'opère que sur deux logarithmes.
Pour les siffnes des quantités, dans le calcul logarithmique, la meilleure méthode, employée par les calculateurs allemands et anglais, consiste à placer un petit n à droite du logarithme d'un nombre négatif. Un nombre pair de n se détruisent dans la combinaison des logarithmes ; un nombre impair laissent subsister le n au résultat.
Le calcul des coefficients sommatoires, servant de base au reste de l'opération, a besoin d'une preuve facile et exacte. Dans ce but, on fera, pour chaque
équation, la somme algébrique de tous les coefficients des inconnues.
a + b-^c+d... = s a'+y + c' + rf'... =*'... etc.;
et on traitera les « comme les coefficients d'une cinquième inconnue (puisque nous raisonnons dans l'hypothèse de quatre inconnues, pour fixer le discours). Les plaçant à la dernière ligne du tableau précédent, on formera les nombres
sn = an -^ bn + en +dn ... ,V = a'n' + b'n' + c'n' + /n' ... etc. ;
de sorte que
M ^ [an] + M + [pn] + {dri] [as] = ïaa] + [Ob'] + [oc] + [orf] M = [ab-] + [bb] + [k] + [W] M = M + M + M + [«f| [ds] = M + [M] + [ai] +[fiW].
De cette manière, par la formation de cinq nouvelles sommes, on vérifie toutes les autres, à 1 exception de [nn]'^ et cela, d autant plus sûrement que la plupart d'entre elles se présentent deux fois, dans deux différentes sommations.
Apprécions enfin la longueur du. travail qu'entraîne le calcul des coefficients sommatoires, dans le cas de m inconnues. Le nombre de ces coefficients est égal au nombre de combinaisons deux à deux de (m -|- 1) éléments (avec répétition) = i (m + 1 ) (m + 2). S'il y
a X équations, chacun de ces coefficients renfermera
X termes, de sorte qu'il faut faire - X (m -j- 1) (m + 2)
carrés ou produits, et les réunir en - (m + 1) (m -f- 2) sommes.
CALCULrDES COEFFICIENTS AUXILIAIRES. 557
Les coefficients primitifs a, 6, c... n; a', J', </,..;* n'... peuvent être donnés directement, ou par leursp logarithmes. Dans le premier cas, on doit d'abord
chercher leurs logarithmes, et ensuite - X (m -|- 1)
{m -f- 2) nombres correspondants : on doit, par conséquent, ouvrir les tables un nombre de fois représenté
par (m + 1 ) X + 1 X (m + 1 ) (m + 2) = U (»i + 1 ) '
(m -|- 4). Dans le second cas, on est dispensé de la première partie du travail, et l'on ne doit ouvrir les tables
que - X (w -f- 1) (^ + 2) fois.
