CHAPITRE QUATRIÈME

DB LA VALEUR VÉNALE DES CHANCES OU DES PROBABI- LITÉS. — DU MARCHÉ ALÉATOIRE ET DU JEU EN GÉNÉRAL.

§ 40. — La valeur absolue des chances, telle que nous lavons considérée jusqu'ici, doit souvent être associée à leur valeur vénale, c'est-à-dire au prix ou à l'importance des objets sur lesquels ces chances donnent des droits éventuels. Ce nouveau point de vue nous amène à la considération de Y Espérance mathématique : par cette alliance de mots assez bizarre, on est convenu d'exprimer « le produit qu'on obtient en « multipliant la valeur d'une chose, en unités corres- « pondantes, par la fraction qui exprime la probabi- « lité mathématique du gain de cette chose, y* D. BernouUi l'appelle sors ou lucrum, et les Allemands die Encartung.

Soit a le gain attendu et p sa probabilité ; l'espérance mathématique sera p y. a, quantité qui représente la valeur actuelle du gain éventuel. Cette proposition peut être admise comme évidente par elle-même ; il est d'ailleurs à remarquer que si l'on faisait un grand nombre d'épreuves, m, de l'événement aléatoire, la

valeur moyenne du gain le plus probable réparti sur chacune des épreuves serait précisément égale à lespérance mathématique. En effet, en m épreuves, l'événement composé le plus probable comprendra mp fois l'événement simple qui fait gagner, le gain sera donc mp X a et la moyenne de mp X « divisé par le nombre d'épreuves est bien p X'a, ou l'espérance mathématique. Mais on sait, d'après le théorème de BernouUi, qu'on peut augmenter indéfiniment la probabilité que p représentera à très-peu près le rapport du nombre de répétitions de l'événement favorable au nombre total des épreuves ; par conséquent l'espérance mathématique représente presque avec certitude une approximation indéfiniment grande du gain moyen d'une épreuve, la moyenne étant prise sur le nombre le plus étendu possible d'épreuves. Nous aurons à revenir, d'une manière générale, sur la considération de la moyenne ; dans le cas présent, il est évident qu'elle donne la valeur la plus équitable du gain éventuel.

De ces considérations sur l'espérance mathématique résulte immédiatement la règle qui doit servir de base aux paris et aux jeux de hasard ; cette règle est que « les joueurs doivent toujours, au début, avoir la même espérance mathématique ». Si deux parieurs, ayant respectivement en leur faveur les probabilités p et j, exposent les enjeux P, Q, il faut donc, pour que le pari soit équitable, qu'on ait :

ou

DE l'espérance mathématique. 113

c est-à-dire que « les enjeux doivent être proportionnels à la chance qu'on a de gagner y* .

Ainsi, celui qui dans le jet d'un dé à six faces, parierait d'amener une face désignée, ne devrait engager que la cinquième partie de ce qu'y mettrait son adversaire, puisqu'il n'aurait en sa faveur qu'une chance, tandis que celui-ci en aurait cinq.

De la proportion précédente, on déduit :

d'où

on aurait de même

ti = (P + ft)7; (3)

c'est-à-dire que « la mise de chaque joueur doit être « égale à l'espérance mathématique qu'il a sur le fonds « du jeu ».

Enfin, si l'on met l'équation (1) sous la forme •

et qu'on regarde les pertes comme des sommes négatives y le produit ( — q P) de la somme ( — P) par la probabilité, ç, du gain du second joueur, pourra entrer dans l'évaluation de l'espérance mathématique du premier, laquelle « se formera alors en multipliant le profit « ou la perte que lui apporte chacun des événements « possibles, par la probabilité de cet événement, et « donnant aux pertes le signe moins. »

(Test en appliquant la règle des jeux ou paris qu'on reconnaît les avantages réservés à la Banque dans la Loterie royale de Finance, dont il a été parlé § 14, page 40. Le joueur qui prenait un numéro n'avait pour

lui qu'une probabilité de gagner égale à — ; celle de la

Banque était, au contraire, de ^. Quand le joueur ou

le ponte gagnait, il aurait dû, par conséquent, recevoir comme gain 89 fois sa mise; or il ne recevait en tout que 70 fois celle-ci . soit un gain réel de 69 mises ; le bénéfice de la Banque, c'est-à-dire l'espérance malhé- matique résultant pour elle du jeu, équivalait donc aux 20 mises, différence entre 89 et 69, multipliées par la probabilité — du tirage qui faisait gagner le ponte.

Pour Yambe, les probabilités respectives de gain du

joueur et de la Banque étaient -^ et ^^, et cepen-

dant le premier ne recevait que 270 fois sa mise quand ses deux numéros se trouvaient compris dans les cinq numéros tirés. Le bénéfice de la Banque était donc représenté par la fraction

A fi qa

(399.S - 269) X jj3j^ = 33

de chaque mise.

Son avantage était plus considérable encore pour le terne, le quaterne et le quine, qui rapportaient respectivement 5,500, 75,000 et 1,000,000 de fois la mise;

le bénéfice s'élevait, en effet, alors à îi?, ?i? et — de

chaque mise. Au point de vue mathématique, on peut donc appliquer à la loterie ce que Buffon dit des jeux publics en général : « Le Banquier n'est qu'un fripoa avoué et le ponte une dupe, dont on est convenu de ne pas se moquera ?»

* De crainte des coups malheureux, la Banque n'admettait pas le jeu sur le quvie, et la mise sur le quaterne était limitée à 12 francs. La

§ 41. — Une fois la partie entamée, les joueurs peuvent désirer la cesser avant qu'elle soit terminée ; alors ils ne doivent pas, en bonne justice, retirer chacun son enjeu, mais « se partsiger la somme des enjeux « dans la proportion des probabilités de gain qu'ils ont « en leur faveur à l'instant où la partie est rompue » . D'ailleurs, c'est une convention généralement admise dans tous les jeux, que le joueur perd la propnété de l'argent qu'il dépose, mais qu'il acquiert en revanche, sur le fonds du jeu, un droit proportionnel à la probabilité qu'il a de gagner ce fonds.

La règle de l'espérance mathématique, qu'on suit encore dans ce cas, prend ici le nom de règle des partis (compositio sortis (ou) aleae ^) : c'est à son occasion que Pascal entreprit les premières recherches sur la probabilité mathématique, et ce grand penseur ne songeait nullement aux applications immenses que sa Géométrie du hasard * comportait dans toutes les branches des connaissances humaines. Fermât, Huygens, Leibnitz, qui s'occupèrent du calcul des combinaisons et des chances en même temps que Pascal, ou quelques années après lui , n'avaient également en vue que la règle des partis.

§ 42. — Comme exemple de la règle des partis

Loterie, supprimée en 4793, fîit rétablie en 1797 et défînitivcment abolie en i839.

^ Compositio aleae in ladis ipsi subjcctis quod gallico noistro idiomate dicitur « faire les partis des jeux. » {Œuvres de Pascal, t. IV.)

* Stupendum hune litulum jure sibi arrogat « aleae geometria. » — {Ibid.)

combinée avec la règle des paris, supposons qu'une personne parie d'amener deux fois le point 6 dans deux jets consécutifs d un dé à six faces : la probabilité de cet événement étant seulement —, et celle de Tévéne-

ment contraire ~, cette personne ne doit mettre au jeu

que 1 fr. et son adversaire 35. Admettons que, le premier jet ayant eu lieu, le point désigné ait paru, et qu'alors les joueurs veuillent se séparer; celui qui a parié d'amener le point désigné aurait encore, au second jet, wie chance pour lui et seulement cinq contre lui : son espérance est donc différente de ce qu'elle était avant le premier jet. Dans ce cas, la mise totale étant considérée comme appartenant au jeu, toutes les chances également possibles ont un droit égal au partage de cette somme, et celui qui réunit plusieurs chances doit avoir les parts correspondantes ; ainsi le premier joueur prendra le sixième de la mise

totale, ou 6 fr. , et son adversaire les -, ou 30 fr.

Deuxième exemple. Deux joueurs ont formé un fonds destiné à celui qui aura le plus tôt gagné trois parties : ils se séparent lorsque le premier en a gagné deux et le second une. On demande la part que chacun doit avoir sur le fonds du jeu, en supposant que la probabilité de gagner isolément une partie soit - pour chaque

joueur.

En examinant ce qui arriverait si le jeu était conti-

nué, on trouvera facilement pour réponse 7 et -.

Cette question est une de celles qui avaient été pro-

posées à Pascal par le chevalier de Méré. Il la résolut par un raisonnement très-simple, en se bornant à chercher ce qui arriverait si la 4* partie était jouée. Fermât y appliqua d'abord la méthode des combinaisons, puis celle des probabilités composées.

Troisième exemple. Deux personnes jouent en rabattant y c'est-à-dire que la partie doit se terminer aussitôt que l'un des deux joueurs a fait n points de plies que l'autre. Ici, la séparation des joueurs avant la décision du sort, est quelquefois nécessaire, car la partie peut se continuer indéfiniment. Pour simplifier les calculs, supposons n = 2 ; le premier joueur ayant gagné un point, propose d'arrêter la partie : comment les enjeux doivent-ils se répartir?

On trouve, comme dans l'exemple précédent, - et -.

Quatrième exemple. Trois joueurs , jouant à qui aura le premier gagné trois points, se séparent sans terminer la partie, lorsqu'il manque encore au l®*" un point, au 2^ deux, et au 3^ trois : on demande comment ils doivent se partager Tenjeu.

Nous extrayons cet énoncé du Dictionnaire de Mathématiques de Montferrier, article Probabilité; mais la solution donnée dans cet ouvrage est évidemment vicieuse ; et si l'erreur ne saute pas aux yeux, c'est grâce à une faute de calcul qui masque l'impossibilité du résultat.

Représentons respectivement par a, &, c, les événements correspondant au gain d'un point par le premier, le deuxième et le troisième joueur. Dans l'état où est arrivée la partie, elle doit être terminée en quatre coups

au plus : le nombre total des chances est donc 3^ = 81 . Puisque le gain d*un seul point donne la partie au premier joueur, les événements composés qui le font gagner sont tous les arrangements quatre à quatre des trois lettres a, &, c, renfermant au moins une fois la lettre a, sauf ceux de ces arrangements dans lesquels a est précédé de deiux) h ou de trois c. Ces arrangements exceptionnels sont au nombre de sept, savoir :

D'ailleurs, le nombre des arrangements qui renferment au moins un a est 65 (c'est la somme des coefficients des termes de (a -|- ft -|- cY renfermant a comme facteur à une puissance quelconque). Le nombre des chances favorables au premier joueur est donc 58,

et sa probabilité de gagner — .

Les événements composés qui font gagner le troisième joueur sont les neuf arrangements renfermant au moins trois c, sauf les trois arrangements où la lettre a se trouve à la première, la deuxième ou la troisième place. Ce joueur a donc pour lui la probabilité — .

Donc il reste au deuxième joueur la probabilité ^ ;

et l'enjeu doit être réparti dans le rapport des nombres 58, 17 et 6.

§ 43. — « Lorsque les mises P et Q de deux joueurs

« sont proportionnelles à leurs chances de gain, p, g, « l'événement le plus probable, après un certain nombre « de parties, est qu*aucun des deux n'ait perdu ni « gagné. »

Cela résulte immédiatement des considérations sur l'espérance mathématique, et de Thypothèse

Plus le nombre de parties augmente, plus croît la probabilité que les rapports des nombres de parties gagnées par chacun des joueurs au nombre total de parties, resteront voisins de p et de q. Il suit de là « qu'en multipliant suffisamment le nombre des parties, « la perte ou le gain de chaque joueur pourra être «< représenta par une fraction aussi petite qu'on voudra « de sa mise totale (comprenant la somme de tous ses « enjeux successifs). »

En effet on peut, d'après le § 32, obtenir une probabilité absoltie, de plus en plus grande, que le rapport du nombre des parties gagnées par le premier joueur au nombre total des parties jouées, sera compris entre les limites

Considérons, comme dans le paragraphe cité, un nombre ar d'épreuves ou de parties. En déterminant

r comme il a été dit, il y aura une probabilité -r^ que

les nombres de parties gagnées par chacun des joueurs seront compris respectivement entre a.r.p -|- r et a.r.p — r, et entre a.r.q — r et a.r.q -f- r.

Dans les cas les plus extrêmes, le premier joueur

recevra une somme Q {a.r.p -|- r) et paiera une somme P {a.r.q — r;, ou bien recevra seulement Q (a.r.p — r) et paiera P {a.r,q -]- ^)- Par rapport à ce joueur, le gain sera donc :

Q. a.r.p + Q.r — ?. a.r.q + P.r « a.r (Qp — ?q) + r(û + P)

ou bien :

Q. a.r.p — Q.r — P.a.r.ç — P.r = a.r(iip^ Pg) — r(Q + P).

Mais on a Qp = P?, donc ces expressions se réduisent

r(Q + P)ou-r(Q + P).

Or, la mise totale du joueur a été a.r. P; par conséquent son gain ou sa perte maximum s'élèvera à la fraction

r (tt + P) a.r.p

de cette mise totale. Remplaçons Q par ? P. il viendra :

a.P ap

Pour rendre cette fraction aussi petite qu'on voudra, il suffit de prendre a assez grand.

On obtiendrait semblablement pour le rapport de la perte ou du gain maximum du second joueur, à sa mise totale, la fraction

aq

la mise totale étant a.r. Q. Si Ion demande qu aucun des deux joueurs ne risque plus d'une fraction donnée de sa mise totale, il faudra prendre pour a la plus ffrande des valeurs obtenues en égalant -i et -i à

/. . ^ ap aq

cette fraction.

RISQCES DES JOUEURS.

Remarquons qu'il ne s'agit pas ici de limiter ou la perte ou le gain des joueurs, mais seulement le rapport de cette perte ou de ce gain à la somme totale des enjeux pour chacun d'eux; au contraire, cette somme totale croissant avec le nombre de parties jouées, il est facile de voir que la perte ou le gain limite augmente presque dans le même rapport. En effet, cette perte ou ce gain limite est exprimé par :

fl.r. P r.P

ap p

mais r (§ 32) est égal à :

alog(t + i)-J

donc la limite devient :

et le premier terme de cette expression croit, comme

on le voit, proportionnellement à a.

§ 44. — Les conséquences sont plus tranchées si, au lieu d'avoir j^ Q — gP==o, on a joQ — ?P= ^ A*, quelque petit que soit A*, c'est-à-dire si l'un des joueurs a sur l'autre un avantage, même très-minime. En effet, il vient alors pour le gain ou pour la perte maximum du joueur qui a la chance p, et en supposant /^ négatif,

- orit« ± r (Q + P) = r j- aA« db (Q + P)}

Or, le nombre a, pouvant être pris aussi grand qu'on veut, on pourra toujours, quel que soit A*, faire en sorte que cette quantité soit négative aussi bien quand le second terme est pris avec le signe -}- qu'avec le signe — ; alors le premier joueur perd dans le premier

122 THÉORÎE DES PROBABILITÉS.

comme dans le second cas, et il s*ensuit que « quelque « petite que Ton suppose la différence entre les espé- « rances mathématiques des deux joueurs, on pourra « toujours, en multipliant le nombre des épreuves, « obtenir telle probabilité qu'on voudra que le joueur « favorisé sera finalement en gain, et l'autre en perte. « Dans les jeux publics, où les coups se succèdent très-rapidement, et sont par suite extrêmement nombreux, il suffit donc que le banquier se réserve un trèsfaible avantage pour être presque certain de réaliser des bénéfices. Ces bénéfices croissent d'ailleurs avec le nombre de coups joués, puisque dans l'expression

le premier terme du second facteur tend alors à augmenter, de même que r, qui croît avec a. Ainsi, il arrivera presque infailliblement, les parties jouées se comptant par milliers et les enjeux étant considérables, que le bénéfice s'élèvera à une somme énorme. C'est ce que lexpérience a toujours vérifié, comme on sait.

§ 45. — La proposition du § 43, basée sur le théorème de BernouUi, présente l'une des conséquences les plus importantes dans la pratique, de la considération de l'espérance mathématique. En montrant Tinfluence que le nombre d'épreuves d'un même hasard a sur la perte ou le gain que ce hasard peut amener, elle prouve indirectement que le temps doit entrer dans l'appréciation des éventualités soumises à une probabilité déterminée. Le temps permet, en effet, la répétition des hasards contraires qui doivent se contre-