RISQUES DES JOUEURS
Ainsi il y a 99 à parier contre 1 que le joueur qui n'a pour lui que la chance -- sera ruiné en 4560 parties
au plus. Ce résultat peut se vérifier ainsi : l'événement composé le plus probable en 4560 parties, comprend — X 4560 = 2400 gains pour le joueur favorisé
(la Banque), et -^ 4560 = 2160 gains pour l'autre
joueur. Si l'on prend les r termes à droite et à gauche du maximum, l'événement composé le plus favorable à ce second joueur comprendra 2400 — 95 gains pour la Banque, et 2160 + 95 gains pour lui. Or, la différence entre ces deux restes est précisément 50, c'est-àdire le nombre de fois qu'il peut renouveler sa mise sans épuiser son fonds. On voit donc que tous les événements composés correspondants aux 191 (y compris le maximum) termes considérés du développement de
/lO 9^\4560 \l9"*"i9/ '
amènent sa ruine. Il suffît de se reporter au § 32, pour reconnaître que la somme de ces 191 termes est supéneure a -^.
La formule de l'espérance mathématique s'applique également au cas où il y a plus de deux événements possibles à chaque épreuve. Supposons, par exemple, qu'un joueur jette un dé ordinaire, et que son adversaire s'engage à lui payer autant de francs qu'il amène de points à chaque coup. On demande quel doit être l'enjeu du premier joueur.
L'espérance mathématique de celui-ci se forme évi-
demment en ajoutant celles que donnent tous les événements possibles» et qui sont égales au produit de chacun des six points par la probabilité - de lamener. Le résultat est donc
L'enjeu cherché est donc 3 francs, 50 : c'est la moyenne entre les sommes que le second joueur peut avoir à payer.
§ 47. — En parlant de la valeur vénale des chances, nous avons supposé que l'unité monétaire représentait une quantité absolue, ayant le môme prix pour tout le monde. En réalité cependant, eUe na qu'une valeur de convenance, subordonnée à la position particulière, à la fortune et même au caractère du possesseur. Il faut reconnaître qu'un homme risque d'autant plus en achetant une chance, c'est-à-dire un bien incertain, que le prix certain qu'il en donne est plus considérable relativement au bien qu'il possède ; la raison dit aussi que l'importance d'une somme d'argent diminue pour celui dont la fortune s'accroît : mais n'est-ce pas abuser du calcul que de vouloir soumettre à ses lois les considérations morales relatives aux privations qu'impose une perte, aux jouissances que procure un gain? Comment apprécier numériquement cette valeur relative des chances que Ton a désignée sous le nom de valeur morale f Plusieurs auteurs ont proposé des règles à ce sujet : nous allons en indiquer quelques-unes, mais en déclarant d'avance qu'elles nous semblent plus ou moins arbitraires, et sans applications rigoureuses.
DE l'espérance morale. 127
Buffon (Essais d'arithmétique morale) a proposé de prendre pour mesure de Timportance morale d une somme, ajoutée à un bien quelconque, le rapport de Vune à Vautre; et d'admettre en conséquence que rbomme qui possède 1000 francs et qui en gagne 100, reçoit un avantage égal à celui qui, possédant 100000 francs, en gagnerait 10000, ou qui, n'en possédant que 10, en gagnerait un. Uillustre écrivain déduit de son hypothèse la conclusion, très-juste et très-morale dans tous les cas, qu une même somme acquiert plus d'importance lorsqu'on la perd que lorsqu'on la gagne ; et que par suite le jeu le plus simple et le plus égal (celui de deux personnes également riches, jouant à chances égales) entraîne toujours une perte absolue d'aisance, puisque moralement l'événement diminue plus le bien du perdant qu'il n'augmente celui du gagnant. Si, par exemple, l'enjeu est la moitié de la fortune de chaque joueur, les valeurs morales de la perte et du gain sont exprimées respectivement par
- et -, et par conséquent la chance du jeu équivaut à
une perte morale d'aisance de -.
En général, soit A le bien antérieur, et a la somme éventuelle ; l'importance morale de cette somme sera exprimée par - comme perte et par ^ comme gain ;
la diflTérence sera — 5L —
Ceci conduit naturellement à chercher la valeur de la perte dont Timportance morale est équivalente à celle
du gain a. Soit x cette perte ; on aura :
, d où X =
On voit que la valeur de œ approchera d autant plus
de celle de a, que la fraction - sera plus petite; en
sorte que, dans l'hypothèse deBuffon, le gain et la perte ne peuvent être d'égale importance que lorsqu'ils sont infiniment petits par rapport au bien antérieur.
§ 48. — Daniel BernouUi développe une théorie qui ditfère de celle de BuflTon, en ce qu'elle fait croître bien moins rapidement l'importance morale des pertes (Spécimen theoriœ novœ de mensurâ sortis : Comm. Acad. Petrop., t. V, p. 175). Elle s'accorde cependant à diminuer le prix des sommes éventuelles, à mesure que le bien antérieur est plus considérable, et à donner plus d'importance à la perte qu'au gain. Bernoulli, qui le premier a soumis au calcul l'appréciation de la valeur morale des sommes éventuelles, part de trois propositions fondamentales, savoir :
l^ Tout homme possède un bien physique quelconque, au moins équivalent à la subsistance qu'il peut tirer de son industrie, ou de l'emploi de ses forces vitales. Il n'y a que l'individu sur le point de mourir de faim, duquel on puisse dire qu'il ne possède absolument rien.
2° La valeur morale d'une somme infiniment petite est directement proportionnelle à cette somme, et
DE. L ESPÉKANCE MORALE. 129
inversement proportionnelle à la valeur absolue du bien physique de son possesseur.
3** La valeur physique totale peut être considérée comme une somme de valeurs physiques infiniment petites ; et la valeur morale correspondante, comme la somme des valeurs morales des éléments infiniment petits de l'avoir physique.
Soit donc x un capital quelconque ; k une constante ; dx l'accroissement différentiel du capital : -— sera la
valeur morale de cet accroissement (2**), et celle du
capital entier sera (3^) :
C dx
y = \ & — = A log X + log /i
en représentant par log h la constante arbitraire. Pour la déterminer, il faudrait assigner la valeur de y qui correspond à une valeur donnée de x ; on n'oubliera pas, toutefois, que y et a? ne peuvent être supposés ni nuls, ni négatifs (1<>).
Représentons par r/ la valeur morale d'un nouveau capital a/; nous aurons
et par suite
y — y = fe (log X' — log x) == k. log — .
Faisons donc a? = A, a?' = A±a : l'importance morale
de la somme éventuelle a en présence du capital A sera \
exprimée par la|différence des valeurs morales j/ ety :
/c. log
comme gain ; et
^. log
comme perte. Naturellement dans ce second cas la différence est négative, mais sa valeur absolue est plus
grande.
Pour déterminer, dans l'hypothèse de BernouUi, la perte, Zj dont la valeur morale serait égale à celle du gain a, nous remarquerons d'abord qu'il s'agit ici de cette valeur prise d'une manière absolice, c'est-à-dire positivement ; et comme log ^~"^ est négatif, nous
poserons
d'où
Il A — z , , A 4- o — k. log — - — = k. log •:— ^ —
OU enfin
Aa a
valeur identique avec celle qui résulte de l'hypothèse de Buflbn.
§ 49. — Supposons qu'un bien physique, ou absolu, A, soit dans le cas de recevoir des variations a, a', a"...., lesquelles peuvent être positives ou négatives; soient de plus^,y,jo".... les probabilités de chacune de ces variations, de sorte qu'on ait nécessairement
La fortune morale éventuelle du possesseur (fortune morale de Laplace; mensura sortis de BernouUi; erwartetes moralisches Vermôgen, de Grunert) s'évaluera en multipliant, dans chaque hypothèse de variation, la valeur morale du bien physique résultant par la proba-
DE l'espérance morale. 131
bilité de la variation, et en faisant la somme de tous les produits. On aura donc
Y = p[A:log(À + a) + log/i]4-p'[^log(A + a') + logA] + ....
= pfclog(A4-a)+p'fclog(A+a')+....+(p+P'+p"+....)log/i = pA:log(A4-a) + />'A:log(A+a')+p"*log(A + a") + .... + logA.
Désignons maintenant par X la fortune physique éventuelle correspondant à la fortune morale éventuelle Y : d'après la première équation du paragraphe précédent, ces deux quantités seront liées entre elles par la relation
Y = itlogX+Iog/i;
égalant les deux valeurs de Y, on obtient, après quelques réductions faciles,
X = (A + af (A + a'/'' (A + a'/" ....
pour la fortune physique éventuelle correspondant à la fortune physique A. La diflTérence X — A est ce que Laplace nomme espérance morale, et elle a pour expression
X — A = (A + af (A + 0'/^ (A + a")^" .... —A;
tandis que Yespérance m^hématique serait
pa + p'a'+p"a" + ....
Si l'on développe la valeur de X — A suivant les puissances de a, a', a". . . , en négligeant les termes renfermant les puissances supérieures de ces quantités, on obtient
mais donc
X — A =pa + p' a' +|>" a" + ....
L'espérance morale est donc toujours supérieure à l'espérance mathématique, ce qui se comprend, puisque la première est considérée relativement à un avoir nécessairement limité; on reconnaît d'ailleurs facilement que les termes négligés dans l'expression de X — A ne renfermant que les puissances supérieures des variations de fortune, l'espérance morale s*approche d'autant plus de l'espérance mathématique, que ces variations sont plus petites, et que méjne les deux valeurs se confondent lorsque la fortune A peut être considérée comme infiniment grande vis-à-vis des pertes ou des gains éventuels a, a\ a"...
Ce qui précède confirme l'opinion de Buffbn, que le jeu le plus égal est désavantageux aux joueurs. Si, par exemple, deux joueurs possédant chacun un bien physique 100, exposent 50 avec la probabilité - de gagner
OU de perdre, on aura
par suite l'espérance morale de chaque joueur est
(iOO + 50)2. (100 — 50;* — 100 = - 13,4
c'est-à-dire que l'aléa du jeu équivaut pour chacun d'eux à la crainte de perdre 13,4.
§ 50. — Dans le mémoire que nous avons cité plus haut, Bernoulli donne plusieurs applications curieuses de son principe : nous nous contenterons de mentionner la suivante.
Un négociant possède une fortune physique A ; mais un vaisseau qui est en mer doit lui rapporter un béné-
fice a s'il arrive au port. La probabilité de cette arrivée est p, d'après Texpérience. Quelle est l'espérance morale du négociant ?
La probabilité que le vaisseau n'arrive pas au port est 1 — 1>; et cet événement laisse la fortune physique du négociant égale à A. Il s'ensuit que son espérance morale est
Quant à sa fortune morale éventuelle elle-même, son expression sera
Y = p * log (A + 0) + (i — p) it log A + log h.
Si l'on veut prendre A pour unité, les deux formules précédentes se simplifieront et deviendront respectivement, le bénéfice a étant aussi exprimé en unités A,
X — 1 = (1 + of — 4 Y = p A log (1 + a) 4- log h.
Ce que nous venons de dire suppose que le négociant n'assure pas le vaisseau. S'il l'assure, il peut n'avoir à payer à la compagnie que (1 — p) a, puisque la probabilité de perte du navire est (1 — p)\ et alors sa fortune morale éventuelle, après le payement de là prime d'assurance, est
y = A; log [1 + a — (4 — p) a] 4- log ^ = A log (1 + a p) + log h.
Or, comme p est une fraction proprement dite, on a
'p,da p,da
i-\-ap ^ i +a
ou
Ç p. da Çp.da Jl+ap J i -{-a
OU enfin
log(l+ap)>plog(l+o).
Il s'ensuit que y > Y, ou que la fortune morale éventuelle du négociant, lorsqu'il assure, est plus grande que sa fortune morale éventuelle, dans le cas où il n'assure pas. Il y a donc avantage à assurer le navire, dans le cas où la prime ne dépasse pas (1 — p)a.
Mais si l'on exige du négociant une prime plus élevée, par exemple (1 — p) a -|- a', sa fortune morale éventuelle, après l'assurance, devient
fclog [1 + a — (4 — /?) a — a'] + \ogh = k log [4 — a' 4-ap| + log h.
Par conséquent l'assurance ne présentera ni avantage, ni désavantage, si l'on a
p k log {i + a) + \ogh = k log (4 — a' + a p) + log /i,
d'où l'on tire
a' = 4+ap — (4+ af.
La prime à payer par le négociant doit donc s'élever au plus à
(i p)a + 4+ap-(4+a)P = (4+a)[4-(4+a)''"*J. (P)
et il y aura pour lui avantage ou désavantage moral à assurer le navire, suivant que la prime sera inférieure ou supérieure à cette somme.
Soit, par exemple
A = la fortune du négociant : il doit payer au plus
La prime limite P croît avec a, dont lexpression numérique est d'autant plus élevée que A, Tunité, est plus faible. Il s ensuit que celui qui possède moins a un miérêt plies grand à s'assurer; on peut donc se demander quelle fortune au moins doit posséder le négociant pour qu'il ait avantage à renoncer à l'assurance, lorsque la compagnie lui demande une prime déterminée, par exemple 800 fr. Dans ce cas on a l'équation
d'où Bemoulli déduit A = 5043 à peu prés. Si la fortune du négociant surpasse ce chiffre, il peut renoncer à l'assurance; s'il possède moins, la prudence exige qu'il assure le vaisseau.
Enfin on peut encore se demander quel est le capital minimum dont la compagnie doit disposer, pour pouvoir assurer sans désavantage au prix de 800 fr. dans les circonstances précédentes.
Soit X ce capital. Si le vaisseau arrive au port, événement dont la probabilité est ^, le capital de la compagnie deviendra x + 800; si le vaisseau périt, événement dont la probabilité est --, la compagnie ne
possédera plus que a? + 800 — 10000 = x — 9200. Donc, lorsque Tassurance a lieu, la fortune morale éventuelle de la compagnie est
(x + SOO)». (a? — 9200)*^;
136 THÉORIE DES PROBxVBILITÉS.
lorsque l'assurance iia pas lieu, son capital reste a:, et comme la compagnie est par nature vouée aux spéculations, on doit poser l'équation
d'où BemouUi tire approximativement x = 14243. Tel est le minimum de capital que la compagnie doit posséder, pour offrir l'assurance au taux de 800 francs. Dans le cas contraire, elle aurait tort de s'engager dans cette spéculation.
§ 51 . — Une question analogue à celle que nous venons de traiter se présente quand il s'agit de décider s'il convient d'engager une somme ou un risque donné sur un seul hasard ou sur plusieurs hasards de môme ordre. Ainsi vaut-il mieux faire transporter une cargaison sur un seul navire ou la répartir sur plusieurs, mettant à part bien entendu les différences dans le prix du fret, dans l'aménagement, etc.; ou bien encore, vaut-il mieux dans un jeu, engager la somme qu'on consent à risquer en un plus ou moins grand nombre de parties?
La réponse à ces questions est facile. Les alternatives favorable et contraire ayant les probabilités p et 1 — p, les éventualités possibles dans le cas de la répartition en 2, 3, 4 ... n épreuves du même hasard, auront des probabilités exprimées par les termes du développement de (p+(l — p)) élevé à la puissance 2, 3, 4 ... ou n. Par conséquent, l'espérance morale
correspondant à la répartition en 2, 3, 4 ... n épreuves, sera
(A + ajT x(a + -) X a
