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/. . ^ /a . ^a\^PH^-P) I , a^Pi^-P)^ (^-PJ^ , (A + a/^ X^A+-jj-l ^(^ + 3) ^^ ""^

(A + a) x(A + ' ^aj X —A

Ces quantités vont en croissant à mesure que le nombre de facteurs augmente ; par conséquent il y a avantage, moralement ^ à multiplier le nombre des hasards de même ordre entre lesquels on répartit un risque quelconque. Au point de vue de l'espérance mathématique, le nombre des répartitions est évidemment indifférent.

La théorie de l'espérance morale pourrait être appliquée à l'appréciation des emprunts à primes, qui ont acquis une vogue si grande auprès d'une certaine catégorie de rentiers. On reconnaîtrait ainsi que ces emprunts ne peuvent guère être considérés comme avantageux, que pour les rentiers les moins riches ; c'est aussi parmi eux qu'est leur plus grande clientèle.

§ 52. — Nous terminerons ce qui a rapport à Tespérance morale par une question piquante, qui fut présentée à Montmort par Nicolas BemouUi, et qui a reçu le nom de Problème de Pétersbourg, à cause sans doute de la mention qu'en a faite Daniel BernouUi dans les Mémoires de l'Académie de cette ville. — En voici renoncé.

Pierre et Paul jouent à croix ou pile; Pierre jette la pièce de monnaie, et promet de donner à Paul 1 franc si pile arrive au premier coup ; 2 francs si pile arrive au deuxième coup ; 4 francs au troisième ; 8 francs au quatrième, et ainsi de suite, en doublant à chaque coup, de manière que la partie ne se termine que lorsque pile est arrivé. On demande l'espérance ' mathématique de Paul, ou ce qu'il doit déposer pour enjeu.

D'après les notions fondamentales du calcul, Paul a les probabilités

de gagner

i, 2, 4, 8, .... 2»-* francs,

selon que pile arrivera au

i«, 2% 3«, 4% .... n'coup.

Son espérance mathématique de gain vaudra donc i i 1 i i n

Ainsi, Paul devrait déposer pour enjeu 50 francs si Ton mettait pour condition que le jeu cessera au 100® coup ; 500 francs si Ton convenait qu'il devra cesser au 1 ,000® coup; enfin, il doit déposer une somme infinie quand on convient que le jeu se prolongera jusqu'à ce que Pierre ait amené pile, si loin qu'il faille aller pour cela. Cependant, quel est l'homme sensé qui voudrait risquer pour enjeu, non pas une somme infinie, mais une somme tant soit peu forte?

Pour expliquer ce paradoxe, la plupart des géomètres ont eu recours à l'espérance morale, soit en