PROBLÈME DE PÉTERSB0UR

employant, comme Lacroix, Thypothése de Daniel Bernoalli; soit en fixant, comme Cramer, pour maximum du gain de Paul, une somme tellement grande, qu on dût regarder comme absolument inutile tout ce qu*on pourrait y ajouter. D'autres ont cherché à limiter le nombre de coups en fixant une probabilité assez

grande (-^p^» par exemple] pour qu'on fût morale-

ment sûr que pile a dû arriver : mais toutes ces explications laissent beaucoup d'arbitraire.

Poisson a fait la remarque bien simple que Pierre ne peut pas payer plus qu'il n'a ; et que s'il possédait cinquante millions, sonmie exorbitante pour un particulier, il ne pourrait loyalement s'engager à prolonger le jeu au delà du vingt-sixième coup, puisqu'au vingtseptième sa dette envers Paul, en cas de perte, serait le nombre de francs exprimé par 2* =67 108 864, somme supérieure à sa fortune. Réciproquement, Paul, connaissant la fortune de Pierre, ne s^engagera pas à jouer plus de vingt-six coups et ne risquera que 13 francs. En supposant qu'il ne limite pas le nombre de coups, comme il ne peut pas recevoir de Pierre, quoi qu'il arrive, plus de cinquante millions, on trouve que la valeur de son espérance mathématique ne surpasse pas 13 fr. 50 c.

Selon nous, l'espérance mathématique des deux joueurs a une expression plus complexe que celle donnée ci-dessus. En effet, chacun d'eux doit nécessairement débourser une certaine somme et, d'autre part, en recevoir une autre; il faut donc tenir compte

de ces sommes dans Tévaluation de leur espérance mathématique. Soit X la mise de Paul, son espérance mathématique sera :

et celle de Pierre :

En égalant ces deux expressions, on trouve

quantité qui converge vers -, à mesure que n augmente.

Il est constant que personne ne risquerait un enjeu un peu important sur la condition posée; mais cela résulte de ce que personne n'admet que « pile » n'arrivera pas après un très-petit nombre de coups, s'il n'y a pas une cause quelconque pour la reproduction de « croix 5». C'est donc un effet du sens intime et de l'expérience, qui indiquent que l'existence d'une cause ignorée est révélée par. la répétition anormale ou seulement fréquente d*un événement que le hasard seul paraissait devoir déterminer. On verra plus loin la recherche de la probabilité des causes ainsi considérées. Dans le cas du jeu si simple de « croix ou pile », il parait généralement impossible qu'il existe une cause qui amène la reproduction consécutive de « croix » un grand nombre de fois, et c'est pour cela que personne n'acceptera la condition attribuée à Pierre.