PROBABILITÉ DRS CAUSES

événements consistant dans Textraction d'une boule blanche d'une urne de la première, de la deuxième et de la troisième catégorie; et si Ton répète un grand nombre m de fois Tépreuve qui consiste dans le triage fortuit, suivi d'un tirage pareillement fortuit, le nombre

des événements Ai sera sensiblement - m : celui des

événements Aj sera à irès-peu près égal à - m; et

enfin celui des événements A3 ne différera guère de

— in.

Réciproquement on doit admettre que, si une boule blanche a été extraite sans qu'on sache de quelle urne, les probabilités, qu'elle provient d'une urne de la première, de la deuxième ou de la troisième catégorie, sont entre elles, dans le rapport des nombres 3 : 2 : 1 . D'ailleurs, la somme de ces probabilités à posteriori doit être égale à l'unité, puisque l'une des trois hypothèses a nécessairement lieu. La probabilité que la boule extraite provient de la première, de la deuxième ou de la troisième urne, est donc égale au nombre correspondant à chacune de ces urnes divisé par la somme des trois nombres, ou à

§ 55. — Cet exemple fait comprendre le sens de la règle suivante, attribuée au géomètre anglais Bayes (Phil. Transact., 1763, p. 370) : « Les probabilités « des causes (ou des hypothèses) sont proportionnelles « aux probabilités que ces causes donnent pour les évétf nements observés. La probabilité de Tune de ces

« causes ou hypothèses est une fraction qui a pour « numérateur la probabilité de l'événement par suite « de cette cause, et pour dénominateur la somme des « probabilités semblables, relatives à toutes les causes « ou hypothèses. »

Pour démontrer ce principe d'une façon générale,

représentons parpi, p,, ^3 p^...les probabilités

que les diverses causes possibles donnent à l'événement observé, et par Aj, A^.... A„ les probabilités

de ces causes ; soit, en outre, ïl^ la probabilité que, avant toute épreuve, l'événement observé soit dû à la cause à laquelle correspondent h^ et p^ : on aura, d'après le principe des probabilités composées,

Mais si X,» est la probabilité que l'événement qui a eu lieu est dû à la cause considérée, on aura de même H,^ égal à la probabilité calculée avant l'épreuve, que cet événement aura lieu, multipliée par X^, c'est-à-dire :

d'où

h Xp « ^ n ^n

n~ h^Xp^ + h^Xp^+...+h^Xp^ + .,.

§ 56. — Ces préliminaires étant très-importants, prenons un second exemple.

On a tiré successivement d'une urne trois boules blanches et une noire, en ayant soin (comme nous le