X . X (\ — x) , tu: ^ (1 — x) ^ ^ m+i ' (m + i) (m
Lorsque Ton prend l'intégrale définie depuis x = o jusqu'à â? = 1, tous les termes de la série disparaissent, sauf le dernier, et il reste
(A')... f a;^(4— a;)»rfx
Dans le cas où m et n sont des nombres considérables, on pourra appliquer à cette expression la formule de Stirling, et elle deviendra
Si l'on fait n = o, c'est-à-dire si Ton ne suppose qu'une seule espèce d'événements, la série (A) se réduit à son premier terme qui devient
ce qui donne pour l'intégrale définie
et pour la probabilité : (m-fl)^'^rf^, valeur d'autant
PROBABILITÉ DES CAUStS ET DES ÉVÉNEMENTS FUTURS. 151
plus grande, m restant d'ailleurs le même (voir plus loin), que a? est plus grand, ce qui était à prévoir.
§ 59. — Il nous est facile maintenant de nous élever à la probabilité des événements futurs. En effet, la probabilité d une hypothèse quelconque correspondant
à ^, est x^i(i--x)ndx
en la multipliant par la probabilité, a?, de Yévénefnent correspondant. A, on aura
x^ (i — x)^ dx
et la somme des produits semblables, prise pour toutes les hypothèses possibles, exprimera (§ 56) la probabilité d'un nouvel événement A. Or, cette somme s'obtiendra ici en intégrant le numérateur depuis x = o jusqu'à a? = 1, et en affectant le résultat du dénominateur commun. On a ainsi, d'après [M)
Cx''''^\i^xTdx n(n-i)(n-^2)...3.2.i Jo (m+2)(m+3)...(m+n+2; m + i
* m n ~» (w — ^) (« — 2).-. 3. 2. i ~"nt+n4-2"^ ^
X {\ — x\ dx
Si l'on demandait la probabilité de l'arrivée d'un nouvel événement B, la probabilité particulière de cet événement étant (1 — a?), on aurait Texpression
x^ii-xf^'dx (« + *)(«)(«-*)••• 3. 2.1
(m+\\ (m+2):.. rm+«+2) n + 1 ,.,,
4 ^ n (n — i) (n — 2). .. 3. 2. i m-Ui+'i
x"*M— «) (te
(m+i)(m+2)...(m-fn+i)
La somme de ces deux probabilités est égale à Tunité, et il est évident qu il doit en être ainsi.
§ 60. — Si l'événement A avait été observé seul, m fois de suite, on aurait n = o, et la probabilité qu'il se reproduise encore une fois serait exprimée par
Si donc un dé, dont on ignore le numérotage, a amené quatre fois de suite le môme point, on doit con-
dure qu'on a la probabilité - d'amener encore le même
point au cinquième coup. Nous pouvons aussi, dans ce cas, dire que, si nous représentons le nombre de fois que l'événement est arrivé par un nombre égal de boules blanches que nous jetons dans une urne, en y ajoutant encore une boule blanche et une boule noire, la probabilité de la reproduction de Tévénement sera égale à celle du tirage d'une boule blanche.
Chaque reproduction de l'événement observé équivaut, B^r conséquent, à la mise d une nouvelle boule blanche dans une urne, où se trouvaient déjà, avant le commencement des épreuves, une boule blanche et une boule noire.
Les probabilités
7W -4- 4 ^ n 4- i et
s'approchent d'autant plus de
tn n
et
que m et n sont plus considérables. En effet, en divi-
sant par [m -f- n) les deux termes de ces probabilités, on a ^ 4 „ M
m -\~n m-^- n in-\-n m + yi
expressions qui tendent évidemment vers
et
à mesure que (m-f-n) augmente. Ce résultat est conforme au théorème de BernouUi, qui dit que plus le nombre (m -j- n) d'épreuves croît, plus les rapports des nombres de répétitions de chaque alternative au nombre total des épreuves, s'approchent des probabilités simples de ces alternatives. Ainsi
et
tendent vers les véritables valeurs de x et de (1 — w) et, par conséquent, vers les probabilités de l'arrivée de Tune ou l'autre alternative à l'épreuve nouvelle. Nous rechercherons plus loin l'approximation possible de
et ^
jn -)- n m-\- n
par rapport à a? et à (1 — a?), d'après les valeurs comparées de m et de n.
La diiférence
m + n ni-fn + 2~" (m + «) {m-\-n + 2)
est positive quand m > w, ce qui doit être, car la probabilité de l'événement correspondant à x qui, avant
toute épreuve, devrait être prise égale à -, expression
du doute, ne peut être portée à — ^?^ que si {m -f n)
est infini ; elle est donc comprise entre - et — ^^^ ; de
même celle de l'événement correspondant à (1 — a?), est comprise entre - et — - — , c est-à-dire qu'on doit avoir
wi^n w-l-w-f-2
ce qui est évident si m> n.
§ 61. — La probabilité que, sur un nombre ^î de renouvellements du même hasard, il arrivera un nombre {v — ?) d'événements A et un nombre q d'événements B, se déduit sans difficulté des principes exposés précédemment. Dans l'hypothèse que l'événement simple A ait X pour probabilité, la probabilité de Xéoéne^neni composé en question est (§ 23)
en la multipliant par la probabilité de Vhypothèse, ou par ^
af» (4 — x)^ dx
x*^ {i — x)^ dx
et faisant la somme des produits dans toutes les hypothèses de valeur de a?, on aura (§ 56) pour la probabilité que Ton cherche
X ^ (1 — x) dx
I a^{i — x)^dx J 0
Si Ton prend, par exemple, p = 3, j = 1, Texpression précédente donnera la probabilité de l'événement composé de 2 fois A et une fois B : ce sera, d*aprôs (A')
En divisant par {m -|- n) chacun des facteurs du numérateur et du dénominateur de cette fraction, on reconnaîtra aisément qu* elle tend sans cessé vers
probabilité composée qui résulterait des probabilités simples
et
§ 62. — La formule (D) permet de réunir dans une seule expression toutes les probabilités des événements composés auxquels peut donner lieu un nombre p de renouvellements du même hasard. Il suffit pour cela de faire successivement q = o, = 1, =2, =3, etc. : on formera la suite ... (D^
qui tient, dans les probabilités à posteriori, la place que le développement du binôme occupe dans la détermination à priori des probabilités pour les épreuves réitérées. La somme des termes, depuis le premier
-h I a;'"(i-arf+''(te
jusqu'au terme général
p(p l)(p 2)....(p,+i) Jo
x^*"-" H-xf*-" ix
dx
inclusivement donnera la probabilité qu'il n'arrivera
pas moins de [p — q) événements A et pas plus de
q événements B.
Dans le cas particulier où l'on a simultanément g =o,
n == 0, il ne faut prendre que le premier terme de la
série (D'), qui se réduit à •1
x^+'dx
Jo
fi
1 mAm 1
1 x^ dx
Cest la probabilité qu'on aura p fois de suite l'événement A lorsqu'il aura été observé m fois sans interruption. Nous pouvons donc poser la règle suivante, dont la formule (C) n'est qu'un cas particulier :
« La probabilité qu'un événement, observé un nombre tf quelconque de fois de suite, se reproduira encore « plusieurs fois, est une fraction dont le numérateur « est le nombre d'observations déjà faites, augmenté <« d'une unité; et dont le dénominateur surpasse le « numérateur du nombre de fois que l'événement doit « se reproduire. »
Si donc un dé inconnu a amené quatre fois de suite
le même point quatre fois de suite. En général, lorsque
le même point, on a la probabilité - d'amener encore
m = p^ la probabilité en question devient sensiblement -, pour peu que m soit considérable.
En usant de la comparaison déjà employée au § 60, nous dirons que les choses se passent comme si chaque reproduction de l'événement observé répondait à la mise d'une boule blanche dans une urne où se trouvaient déjà, avant le commencement des épreuves, une boule blanche et autant de boules noires que l'événement observé est supposé devoir encore se reproduire de fois.
Si, dans la formule (C"), mise sous la forme
on regarde les quantités P, m et p comme trois variables, on aura l'équation d'une surface réglée, sur laquelle une ligne droite peut s'appliquer dans toute son étendue, parallèlement au plan des coordonnées ?/^ et p. En faisant en effet P constant, il ne reste plus que l'équation d'une ligne droite, qu'on peut écrire de la manière suivante :
d'où
— constante.
Cette relation très- simple étant remplie, on aura toujours la même probabilité P que l'événement arrivé m fois de suite se reproduise encore p fois.
§ 63. — La probabilité absolue de chaque hypothèse particulière sur la valeur de œ, est infiniment petite.
ainsi que nous Tavons fait remarquer à la fin du § 57. Dans la pratique, ce qu*il importe le plus souvent de connaître, c'est la probabilité relative des diverses hypothèses ; on Tobtient aisément en changeant œ en a/, oi\ . . dans lexpression générale
jpm (4 « x)^ dx
et en prenant les rapports conformément au § 10- On obtient ainsi :
x^ (1 — xY 1
