L OU
arw (1 — xy^'\-x'^{\ — x^f' xr^ (1 — x^Y
On voit qu'en général cette fraction tend d'autant plus vers l'unité que d est plus grand ou plus petit, ce qui se rattache à la remarque déjà faite § 60, que la probabilité que la valeur de l'inconnue s'éloigne de -, croît très-lentement.
La valeur la TpHus probable de x est donnée par l'équation :
doù
Ce résultat remarquable peut se formuler ainsi : ^ la plus probable de toutes les causes est celle pour laquelle les probabilités simples des événements A et 6 sont égales au rapport du nombre de fois que chacun de ces événements est arrivé à leur nombre total >» : ce qui est évidemment conforme à la proposition du § 28.
Il est de môme facile d'établir* que le terme maximum du développement (D') est celui dans lequel on a
Xp
d'où
p-rg =
rn-^n
La conclusion est donc générale, et emporte les mêmes conséquences que dans le cas des probabilités a priori.
§ 64. — Dans Texemple du § 55, la probabilité de l'extraction d'une boule blanche à un cinquième tirage, a été trouvée égale à — ; tandis que Thypothèse la plus
probable est, d'après ce qui vient d'être trouvé, celle qui donne pour la probabilité de l'extraction d'une boule blanche la fraction - (puisque sur 4 tirages on a amené
3 boules de cette couleur) . Si l'on supppose le cinquième tirage déjà fait et ayant amené une boule noire, la probabilité de l'extraction d'une boule blanche au 6® tirage
devient -^, et l'hypothèse la plus probable devient celle
qui donne à l'extraction d'une boule de cette couleur la
-- de - ; si l'on supposait un 6« tirage ayant amené une
boule blanche, on obtiendrait respectivement =^ et -,
fractions plus voisines encore l'une de l'autre que -^ *^ ^ 436
et - : c'est ce qui avait été établi d'une façon générale
au § 60. Mais ce résultat remarquable nous amène maintenant à un théorème important qui peut être con-
probabilité ^. On voit que ^^ diffère moins de - que
sidéré comme Yinversé de celui de BemouUL Voici ce théorème : « Si Ton multiplie suffisamment le nombre des épreuves, on peut acquérir une probabilité aussi approchante de la certitude qu'on voudra, que le rapport du nombre de répétitions d'un événement au nombre total des épreuves, vers lequel tend la probabilité d'un nouvel événement semblable, représentera, avec une approximation aussi grande quon le désire, la véritable probabilité de cet événement. »
§ 65. — Soit =b l l'approximation désirée du rapport ^ et de la véritable valeur de œ. Il faudra que
si, dans l'expression de la probabilité de a?, on remplace X successivement par toutes les valeurs comprises
entre .J^ + ^et-^^^ 1,
la somme des probabilités de toutes ces valeurs s'approche de l'unité autant qu'on voudra. Or, cette somme
est évidemment l'intégrale de
XV* {{ — xy* dx
ipm (1 — xy* dx
prise entre les limites ^^\^ + ^ ^^ m + n
Pour faciliter les écritures, représentons — îîi— par p^
" - par g, et (m -}- n) par r ; l'intégrale définie s'écrira
alors : rp + ^
I xP*" (i -^ x)<i^ dx
xP^{{ — x)^^dx
LDflTES PROBABLKS DE LA VALEUR DE X. 161
La valeur du dénominateur de cette fraction est connue ; pour évaluer le numérateur, remarquons qu'eu ^ard à la forme des deux limites, p it f , il y a avantage à représenter x par p -{' z^ z étant une nouvelle variable dont les limites sont évidemment àzl ; U. vient ainsi pour le numérateur de la probabilité que œ est
compris entre ^ + 1 et — ^ — ; ;
Cette intégrale peut se mettre sous la forme : Or, on a :
et
d'où
(z\ z z"^ a' i-f--= ;r-s + s-T- • • etc.
, /. . A rz* , rz^
Comme z, toujours inférieur à Z, est généralement une fraction très-petite, nous négligerons le terme en z^ et les suivants, sauf à rechercher plus tard Timportance de cette suppression. Il reste donc :
P On trouverait de même :
, , ZJ^ rz—^— 4+-I =« ^P.
L'intégrale cherchée prend ainsi la forme
pprqqrï e t \|» «/ (^j -» I e ^p^ dz.
Faisons
g = ... d'où . = i \/%
ipq r
nous aurons :
Il est à remarquer que la valeur de ô"** cU est indépendante du signe de t ; par conséquent, on peut écrire l'intégrale définie comme suit ;
r Jo
Mais nous avons vu, § 58, que l'intégrale du dénominateur,
j a;*»" (i — x)9r dx,
peut s'exprimer, quand m et ri sont de grands nombres, par :
la probabilité cherchée P est donc finalement égale à l'intégrale
prise entre les limites
