LIMITES PROBABLES DE LA VALEUR DE X

Cette intégrale converge rapidement vers Tunité à mesure que X^^

^^ ^ augmente ; la table n° 2, insérée à la fin de cet ouvrage,

donne ses valeurs pour des valeurs de

augmentant par dixième depuis 0 jusque 2,40. On voit qu'à cette limite, l'intégrale vaut déjà 0,999, ce qui montre bien que « la probabilité que x est compris entre !!.. + i et -^ /

devient rapidement une quasi-certitude ".

Il ne faut pas perdre de vue, toutefois, que l'expression de cette probabilité n'est rigoureusement exacte que si r est infiniment grand; alors aussi, si ;? et ^ sont finis, la probabilité peut se changer en certitude, quand même l deviendrait infiniment petit, car il suflît

devienne infini.

Quand r est fini, il y a lieu de rechercher la valeur des facteurs qui correspondent aux termes négligés dans les développements de

pr log fi +^j et gr log (i — ^'

Laurent a donné (Traité du calcul des probabilités ; Paris, 1873) une expression élégante de l'erreur commise dans l'évaluation de la probabilité, en s'arrétant à un terme déterminé. Nous nous bornerons à faire remarquer que, pour les usages pratiques, il suffit de

s'assurer qu'aucun des termes négligés n'a une valeur considérable. Le plus grand d'entre eux est le premier — qui, à la limite, devient —, ou comme» = -,

^. Mais — est toujours au moins égal à 1; il faut donc que rl^ soit sujfisamment faible ou

Cependant, d'autre part, pour que la probabilité des limites à: l reste voisine de l'unité, il faut que

soit plus grand que l^ comme on peut s'en assurer par l'examen de la Table précitée. Si l'on remplace p et j par "1 et !i,

/ V r- devient / 1/^ ■^' 2pg 2mn

Le minimum de

pour m = n ; il suffit donc que l |/r ne soit pas < 1 , c'est-à-dire que dans ce cas extrême de m = n, on aurait encore pour ^ ^ 1 ,

la probabilité des limites ± i, égale à 0,952. On voit que l devant en général être compris entre

— et

pour rendre l'approximation de la valeur de œ aussi grande qu'on voudra, il suffit de multiplier le nombre r d'épreuves.

UMITES DES HYPOTHÈSES. 165

Supposons deux alternatives, dont Tune ait été observée 7000 fois et l'autre 3000 ; l'approximation des

valeurs — et ~ pour la probabilité de chacune de ces

alternatives, qui aura une probabilité égale à 0,99, sera donnée par l'équation

i,85=ip/

^ iO ^ 40

car pour la limite 1 ,85. l'intégrale définie de

prise depuis 0, est égale à 0,99. On tire de cette équation

valeur qui satisfait à la condition d'être plus petite que i

l^^iOOOO

Il y a donc 99 à parier contre un que la probabilité de l'alternative qui s'est reproduite 7000 fois est comprise entre 0,738 et 0,662. Si l'on voulait resserrer ces limites, il faudrait faire un plus grand nombre d'épreuves. Ainsi, si ce nombre était porté à 20000, et que le même rapport des nombres de répétitions de chaque alternative se présentât, les limites deviendraient 0,721 et 0,679. On voit que les probabilités des deux alternatives sont ainsi déterminées avec une précision déjà bien suffisante pour la plupart des applications pratiques.

166 THÉORIE DES PROBÀBIUTËS.

§ 66. — La forme de la limite de la valeur de <,

nous permet de tirer les importantes conclusions gênéraies suivantes :

P Si les nombres l, r et p varient de manière à laisser la limite de t constante, la probabilité P restera aussi constante. De plus, on voit que cette limite varie en raison directe de l, ou de la limite de técart entre les valeurs de p ; en raison directe de la racine carrée du nombre r des épreuves, et en raison inverse de la racine carrée du produit jo (1 — p) de la probabilité de A par la probabilité contraire.

2** Après avoir assigné aux nombres Z et r de certaines valeurs, et trouvé la probabilité P correspondante, donnons successivement à / des valeurs qui soient la moitié, le tiers, le quart, le dixième de sa valeur primitive : il faudra embrasser un nombre d'épreuves 4 fois, 9 fois, 16 fois, 100 fois plus grand, pour avoir la même probabilité que Técart incertain =t l tombera entre ces nouvelles limites. En d'autres termes, pour obtenir la même probabilité que les anomalies du hasard, en ce qui concerne la détermination de a?, seront resserrées dans des espaces de plus en plus petits, il faut que le nombre des épreuves croisse en raison inverse des carrés des espaces.

3^ Le produit p (1 — p) est très-petit pour des valeurs de p très-peu différentes de zéro ou de l'unité : il atteint sa plus grande valeur quand p == -. Donc,

pliLS il y a de différence entre la probabilité de A et celle