RENTES VIAGÈRES

ne, aux caisses d'épargne, eic. Nous nous d'en dire quelques mots, pour faire cornet le mécanisme de ces spéculations.

; chacun des v individus compris dans la alité à un âge donné, comme devenant 'une renie viagère, a, ou comme devant, la durée de sa vie, toucher annuellement l'une personne que je nommerai le bandes viagers devra verser, au commenceprise, uncapilal A qu'il s'agit de calculer, la première année, les v rentiers sont t le banquier doit payer va.

la deuxième année, il payera v"a, et ainsi 'à l'âge où finit la table de mortalité, ^présente l'intérêt d'un franc, ces rentes apportées à l'instant où le banquier a litaux, c'est-à-dire au commencement de mée, ne lui coûteront que v'a v"a v"'a

+ r'- ÎÂTW*' (Tf^ ■■■■ ""■

jrs auront dû verser par conséquent, au t de la première année, une somme totale

IX aura payé

"îT^-

7iî + f

V + v"q + vg*+ ..

242 THÉORIE DES PfiOBABIUTfiS.

Nous avons su[^osé, dans ce qui précède, que les décès des rentiers avaient lieu à la finie chaque année. Mais comme il n en est pas ainsi, et qu*on paye aux héritiers une partie de la rente proportionnelle au temps que le rentier a: vécu, il faudrait, pour être plus exact, substituer, comme nous Pavons déjà indiqué

^^ '" \(v+ V) ^V;^{v+ V') à v'\ etc....

Ce n*est que pour les premières années de la vie que la marche de la mortalité est irrégulière : plus tard, le nombre annuel des morts devient sensiblement constant, et Moivre observe que, sans trop s'écarter de la vérité, on peut n'établir qu une seule progression depuis 22 ans jusqu'à 86 ans. C'est du reste ce que montre la courbe de mortalité (p. 222) qui est sensiblement recliligne dans cet intervalle.

Cette remarque est propre à simplifier le calcul précédent; car soit d le nombre annuel des morts, la formule (9) deviendra

(10) ... A =^ [(iH-(i)+(i^-2(i) ç + (t^3d) gt + ... +{t;-nd) ç'^-'j ;

n représentant le nombre d'années de la période. Cette expression se décompose dans les deux suites :

La première suite a pour valeur

aq