RENTES VIAGÈRES

Ue de la seconde, obsen'ons que

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rentes «»• deucc têles se calculent J

ogue, en substituant aux probabilités /

-s successives de la quantité 1 — dd\ -\

M {§ 92), exprime la probabilité de ■

e au moins des deux personnes sur :

} la rente est constituée.

listinguons deux sortes de tontines :

un certain nombre d'individus du pposés verser ensemble une certaine bout de n années, doit être partagée 3, proportionnellement à leurs mises, peut être assimilée à un pari entre tous les autres, pari que le premier 3re au bout de n années : on peut i de l'espérance mathématique, calue lui rapportera une mise déteriquement, la mise qu'il doit verser t éventuel à une somme déterminée, exemple, la mise que doit verser un ans, pour toucher, à l'âge de 60 ans.

une somme probable de 50,000 francs : on aura

En effet la mise œ prend, pour l'époque du remboursement, la valeur ^ ; et la somme à recevoir n'étant

ç]}! éventuelle, vaut sa valeur absolue, multipliée par la probabilité — de l'obtenir. Nous représentons par t?» et

l'to les nombres proportionnels d'individus vivant à 60 ans et à 20 ans.

Si l'intérêt de l'argent est de 5 p. c, on a g = —, et l'on trouve

X » 3550 francs.

La seconde espèce de tontine n'est au fond qu'une annuité à terme probable. Dans ce placement, les associés survivants héritent encore des morts ; mais ils sont rentiers, c'est-à-dire qu'on leur sert chaque année une rente qui s'accroît au fur et à mesure des extinctions arrivées.

Soit A la somme placée en commun ; a celle que le banquier paye chaque année à tous les survivants réunis; n le nombre d'années qui doit s'écouler jusqu'au terme de la table de mortalité : on aura d après la théorie des annuités

(11) .... A=ÎL.|--^| ^4-....4-a

ou

(ir).... A-aiiiilll^

( ^—q Telle est la relation qui existe entre la mise totale et

rer annuellement par le banquier. En itte dernière doit être fournie jusqu'à tcé de la table de mortalité, nous avons hypothèse d'un grand nombre d'assos contraire, le banquier leur ferait tort si l'extinction probable de l'association. ,é, il faudrait, avec Saint-Cyran {Reemprunts, 2" partie), prendre pour ce i il y aura la probabilité ^ que tous les iteints, c'est-à-dire celle pour laquelle d"'... {§ 92) deviendra égal à i Le année ne peut se faire analytiquement tâtonnements ; mais comme la courbe ■i presque rectil^e dans Tintervalle J13, on peut l'obtenir géométriquement eaucoup plus rapide, irquer que la loi de Saint-Cyran n'est

d'accord avec le principe de l'égalité mathématiques. En effet, si le nombre

faible, le calcul de a doit se faire par inte :

' +-ïïrrï- *" + -;rri *'" + -■ + "■ '^■'

exprimant les probabilités de survie des associés au bout de 1, 2, 3 ... n

-dire représentant les valeurs succes-

des calculs auxquels donnent lieu cette

res analogues employées dans des cas

semblables, a fait rechercher quelle devrait être la loi de mortalité pour qu'on pût remplacer un groupe d Individus par un seul ayant la même probabilité de s'éteindre à une époque donnée que le groupe considéré. On trouve ainsi une loi qui est à très-peu près celle donnée par Gampertz pour Imterpolation approxima* tive des tables de mortalité. Voici cette dernière :

fe)-»'

/XfLJ est la probabilité de survie au bout de x années ;

N et 9 sont des constantes. Quand on fera usage de cette formule, la simplification cherchée pourra avoir lieu. Si les rentiers ne devaient hériter que d*une portion du revenu dés décédés, de la moitié par exemple, le banquier aurait à payer, à la fin de la 1*^ année,

rentes ; à la fin de la 2«,

rentes, et ainsi de suite. On aurait donc, en reportant chaque rente à l'époque du versement,

(H") ... A -^ { (i; + r') ^ + (v + r") q^ + {v + r'") ç» + ... elc.};

et chaque rentier toucherait les sommes ('^ + ^)^ à la fin de la l'^ année; ^^ + ^')^ à la fin de la seconde, etc.

§ 95. — La théorie des caisses de- prévoyance^ de secours^ de retraite^ etc. , ne difiëre pas beaucoup de celle des rentes viagères sur une seule tète ; et celle des