DE LA PROBABILITÉ ABSOLUE ET RELATIVE
Or, la probabilité absolue d*amener une boule blanche
est-; celle d'amener une boule de l'une des trois T
couleurs en question est
donc :
« La probabilité relative d'un événement est le quo- « tient qu'on obtient en divisant la probabilité absolue « de cet événement par la somme des probabilités « absolues des événements que Ton compare. »
Lorsqu'on jette deux dés à la fois, la probabilité d'amener le point 7 plutôt que le point 4 serait donc
§ 17. — Souvent l'événement attendu se compose du concours de deux ou de plusieurs événements qui ont chacun leur probabilité propre, desquelles il faut déduire celle de l'événement composé.
Soient, par exemple, deux urnes renfermant, l'une m boules blanches et m! boules noires ; lautre n boules blanches et n! boules noires : on demande la probabilité d'extraire deux boules blanches, une de chaque urne.
Chaque boule extraite de la première urne pouvant être jointe à toutes celles de la seconde, il y a autant de combinaisons ou de chances égales que d'unités dans le produit qu'on obtient en multipliant le nombre total des boules de la première urne par le nombre total
des boules de la seconde. De môme, il y a autant de combinaisons ou de chances favorables à Tévénement composé dont il s'agit, que d'unités dans le produit qu'on obtient en multipliant le nombre des boules blanches de la première urne par le nombre des boules blanches de la seconde. La probabilité cherchée est donc
mn m n
L'exemple précédent pourrait être remplacé par le jet simultané de deux dés, le premier ayant m faces marquées A et m' faces blanches; le deuxième n faces marquées B et n' faces blanches. L'apparition simultanée des deux lettres A, B, aura pour probabilité
tu n
En généralisant le raisonnement, on pourra énoncer la règle suivante :
« Le produit des probabilités de plusieurs événe- « ments indépendants les uns des autres exprime la « probabilité de Févénement composé résultant du « concours de ces événements. »
Ou plus brièvement :
« La probabilité composée est le produit des proba- « bilités simples.
Moivre (Doctrine of Chances) est le premier qui ait fait usage des probabilités composées, d*une manière générale.
§ 18. — Un cas particulier de la probabilité composée est celui où l'arrivée d*uû premier événement influe sur la probabilité de l'arrivée des autres et ainsi successivement. Il suffit alors de calculer les probabilités de chaque événement dans l'ordre où ils doivent se présenter et en tenant compte des événements déjà produits.
Ainsi la probabilité d'extraire n boules blanches de suite hors d'une urne qui en contient a blanches et h noires (en admettant qu'on ne remette pas dans l'urne les boules tirées) est
a + h' a + fr— 1* a + 6 — 2*"a + !» — n + 1'
La probabilité d'amener une boule blanche, puis une boule noire, serait
L'emploi du principe précédent facilite souvent le calcul des probabilités déduites des nombres de combinaisons possibles. Supposons, par exemple, qu'on ait assemblé au hasard dans un paquet les 13 cartes d'une même couleur, et qu'on demande la probabilité qu'en les tirant successivement, la première soit un as et la seconde un deuof. La probabilité que l'as se trouve
à la première place est -^ ; Vas ôté, il reste 12 cartes,
et la probabilité que le deiux) se trouve à la première place est -^. La probabilité du concours de ces deux
événements, dont le second est subordonné au premier, a donc pour valeur
Pour résoudre directement cette question par l'énumération des chances, on remarquerait que le nombre des arrangements possibles entre les 13 cartes est 1. 2. 3... 13; et qu'après qu'on a fixé Tas et le deux aux 1*^ et 2® rangs, il reste 11 cartes entre lesquelles le nombre des permutations est 1. 2. 3... 11. La probabilité cherchée est donc
§ 19. — La question suivante servira à mettre en lumière la simplicité qui résulte de la considération des probabilités composées, et donnera lieu à quelques remarques utiles.
On a deux urnes. Tune contenant m boules blanches et m! boules noires; l'autre n boules blanches et n' boules noires : on demande la probabilité d'amener une boule blanche, en tirant au hasard dans l'une ou dans l'autre de ces urnes.
La probabilité que le tirage se fera dans la 1"* urne est 1/2; celle d'en extraire une boule blanche est
m + wi'
la probabilité du concours de ces deux événements est donc
Pour la même raison, la probabilité d'extraire une boule blanche de la seconde urne est
Donc la probabilité d'amener une boule blanche est
il m n
Celle d'amener une boule noire serait
La somme de ces deux probabilités est l'unité, parce qu'en effet on doit nécessairement amener une boule blanche ou une boule noire.
On se tromperait évidemment si l'on prenait pour la probabilité d'amener une boule blanche, le rapport du nombre total des boules blanches contenues dans les deux urnes, au nombre total des boules, sans égard à l'agencement particulier des combinaisons, résultant de la répartition des boules dans deux urnes différentes. En effet, quand les boules sont séparées, la probabilité de tirer une quelconque des boules placées dans la première urne est égale à celle de tirer une boule quelconque de celles placées dans la seconde ; mais quand on môle les boules dans une seule urne, les résultats changent, du moins en général.
Je dis en général, car cette inégalité des résultats fournis par les deux méthodes disparaît : 1^ quand le nombre des boules est le même dans les deux urnes ;
50 THâORIE DES PROBABILITÉS.
2® lorsque le rapport entre le nombre des boulçs blanches et des boules noires est le môme dans les deux urnes.
En effet, la probabilité que nous avons trouvée plus haut,
2 ( ni + m' n + W
peut se mettre sous la forme
4 j m (n + n') 4- w (w + m') j îl (m 4- m') (n + n') I
ou bien, en faisant
m 4- wi' = r; n + *^' ~ * 4 4m*4-'*''*
2' rs I
Résultat qui diffère en général de la fraction
formée en divisant le nombre des boules blanches des deux urnes par le nombre total des boules. Mais les deux valeurs«concordent :
P Lorsque r=^; car elles deviennent alors
2^ Lorsque m'= Aï m^ n' = A n; car alors on a r = w (1 -|- ft); 5 = n (1 -}- A), et les deux expressions se réduisent à
Si Ton voulait, dans le cas général de rapports inégaux, résoudre le problème par la considération
des probabilités simples, on pourrait le faire en commençant par égaliser le nombre de boules contenues dans les deux urnes, sans changer le rapport des boules blanches aux boules noires dans chacune d'elles. On y parvient en réduisant au môme dénominateur les deux
fractions ^ et -. Considérant donc les boules comme
réunies dans une môme urne, on a, pour la probabilité d'extraire une boule blanche,
ms + nr ^ i{ms + nrl r*4-^* 2( rs \
Supposons, par exemple, que la première urne renferme une boule blanche et deux boules noires; la seconde cinq blanches et trois noires ; la probabilité
d'amener une boule blanche sera =^, inférieure à -,
quoique le nombre total des boules blanches excède celui des boules noires.
Application numérique, — On prend au hasard deux nombres A et B de sept chiffres (par exemple, les parties décimales de deux logarithmes dans yne table de Callet); quelle probabilité y a-t-il que la soustraction arithmétique A — B puisse s'effectuer sans emprunt (y compris celle du chiffre des plus hautes unités de B}?
Chaque chiffre de A pouvant avoir les dix valeurs comprises de zéro à 9, aussi bien que chaque chiffre de B, il y a 100 cas possibles pour chaque soustraction partielle; on admet que même le 1^ chiffre à gauche puisse être 0, afin de comprendre les cas analogues à celui des parties décimales d'un logarithme.
Si Tua des chiffres de A est zéro, il faudra, pour qu'on ne doive pas recourir à Temprunt, que le chiffre correspondant de B soit zéro, ce qui fournit un seul cas favorable.
Si le chiffre de A est 1 , le chiffre correspondant de B pourra être 0 ou 1 , ce qui donne deux cas favorables
Enfin, si le chiffre de A est 9, celui de B pourra être compris entre 0 et 9, et il y aura dix cas favorables.
La probabilité que la soustraction d'un chiffre s effectue sans emprunt est donc
i-f2 + 3... +iO il 100 "~20*
La probabilité que cette soustraction s'effectue simultanément pour les sept chiffres est donc
fraction comprise entre
— el — 66 65
Si nous avions supposé quon prît deux nombres ordinaù'es, de sept chiffres» il aurait fallu exclure le cas où le premier chiffre de chaque nombre pouvait être un zéro. Le nombre des chances possibles, pour la dernière soustraction partielle, se serait réduit à 81 et le nombre des chances favorables à 45 : la probabilité cherchée serait donc devenue
/ll\o 5 1
Enfin elle serait /--\ si le nombre soustrait était supposé le plus petit des deux.
Même solution pour le cas où Ton demanderait que la somyne des deux nombres se fît sans report.
§ 20. — Prenons encore, comme exercice, un problème auquel donne lieu le tirage annuel pour le recrutement militaire.
N jeunes gens sont inscrits sur la liste ; parmi eux il s'en trouve n qui ont des motifs légaux d'exemption ; le contingent est de c; cm demande la pil^babilité que le n® a? partira?
Nous entendons la question dans ce sens que celui qui a le n^ â? n'étant pas susceptible d'exemption et la répartition des (œ — 1) numéros antérieurs n'étant pas connue, on cherche à évaluer la probabilité qu'il a de partir.
Les (N — 1) numéros autres que le n^ œ pouvant être départis d'un façon quelconque entre {N — 1) inscrits, le nombre des chances possibles est A(n-i).
Pour que le n**a?ne parte pas, il faut qu'il y ait au moins c jeunes gens valides parmi ceux qui ont tiré les [œ — 1) numéros antérieurs. Cherchons donc le nombre d'arrangements de (N — 1) éléments pris (a? — \) k{x — 1) qui renferment au moins c éléments sur (N — n — 1) désignés, ces derniers correspondants aux jeunes gens valides moins celui qui a le n^ œ. Le nombre cherché est, § 9, 4® :
Or, à la suite des {x — 1) numéros de chacun de ces arrangements, s'ajoutent après le n^ a?, pour compléter
54 THÉORIE DES PROBÂBIUTÉS.
une répartition entière des N numéros, (N — w) numéros qui peuvent être distribués d'une façon quelconque entre le même nombre d'inscrits restants ; par conséquent, le nombre M de chances favorables est
TxA, . et la probabilité cherchée égale
Supposons N = 10, n = 3, c = 5 et a? = 7; il viendra :
r^^eC^.SC^XA, etr,»6C^XA^
d'où :
et la probabilité cherchée sera — .
Si la question devait s'entendre dems ce sens, qu'avant le tirage, on demanderait la probabilité que celui auquel écherra le n^ œ sera incorporé, il faudrait d'abord remarquer que le nombre des chances possibles deviendrait Â^^; ensuite, pour déterminer le nombre des chances favorables, on considérerait deux cas, celui où le n^ œ serait tiré par un inscrit valide et celui où il écherrait à un des jeunes gens susceptibles d'exemption. Le premier cas est le marne que celui que nous avons traité ci-dessus; mais chacun des (N — n) inscrits valides pouvant détenir le n** a;, le nombre des chances favorables devient M X (N — n). Pour le second cas, il suffit de former tous les arrangements de (N — 1) éléments et d'y introduire un N™* élément
correspondant à Tinscrît réservé, susceptible d exemption et auquel est supposé échu le n^ œ. Chacun des n inscrits qui ne peuvent être incorporés pouvant être ce N"*, le nombre possible des chances de l'espèce est
Ainsi, la probabilité cherchée devient :
MX(N — n) + A^^^ Xn
Pour l'exemple numérique ci-dessus on aurait :
19 X 7 3 il
§21. — Quelquefois des considérations particulières, tirées des conditions physiques de la question, dispensent de toute énumération des chances et de tout calcul. Le jeu de passe-dix en offre un exemple. On jette trois dés sur une table, et un joueur parie que la somme des points amenés excédera 10. Pour connaître ses chances de gain, il faudrait, parmi les 216 combinaisons possibles, énumérer celles qui donnent unei somme de points supérieure à 10. Mais remarquons que les points sont disposés sur les dés ordinaires, de manière que la somme des points marqués sur deux faces opposées soit constamment 7, l'as étant opposé au six, le deux au cinq, et ainsi de suite. Et quand même les fabricants de dés n'auraient pas adopté cet usage, on pourrait toujours, sans changer les conditions du sort, admettre qu'on emploie des dés où les
points sont ainsi arrangés. Dans cette supposition, la somme des points amenés, et la somme des points qui se trouvent sur les faces opposées, par lesquelles les dés reposent sur la table, font ensemble 21. Donc, à chaque. combinaison qui fait gagner le joueur pariant pour le passe-dix, en correspond une autre qui le ferait perdre, savoir : celle qu*on obtiendrait en retournant les trois dés, et en faisant la lecture sur les faces opposées. Donc, chaque joueur a autant de chances pour lui que contre lui.
§ 22. — Nous terminerons ce chapitre par quelques exemples de questions dans lesquelles les chances possibles ne peuvent être énumérées en unités discrètes (page 23) . Ces questions se résolvent généralement au moyen de considérations géométriques parfois trèssimples.
P Sur un sol pavé de carreaux polygonaux on projette au hasard une pièce de monnaie, et un joueur parie pour franC'Carreau, cest-à-dire, pour que la pièce, après sa chute, repose tout entière sur un seul carreau. L'adversaire parie qu'elle tombera sur un joint. — Si Ion inscrit dans l'un des polygones un autre polygone qui ait tous ses côtés parallèles à ceux du premier, et distants de ceux-ci du demi-diamètre de la pièce, il est clair que le premier joueur gagnera lorsque le centre de la pièce tombera dans l'intérieur du petit polygone, et perdra lorsqu'il tombera entre les contours des deux polygones. D'ailleurs, comme les compartiments polygonaux sont supposés égaux, il suffît d'en considérer
un seul ; et dès lors, on voit que la probabilité i3e gain du premier joueur est mesurée par le rapport de Faire du petit polygone à celle du grand.
2^ Considérons une série de parallèles équidistantes, sur lesquelles on laisse tomber au hasard une aiguille dont la longueur est au plus égale à Tintervalle entre deux parallèles. On demande la probabilité que Taiguille reposera sur une des parallèles.
Nous n'avons évidemment à nous occuper que de la parallèle la plus voisine du centre de l'aiguille ; car si Ton considérait toutes les autres, il faudrait multiplier par un môme facteur le nombre des cas favorables et celui des cas possibles, ce qui ne changerait pas la probabilité.
Soit l la longueur de laiguille ; a l'intervalle entre deux parallèles : on a paç hypothèse l < a. On peut, pour représenter géométriquement une position quelconque de l'aiguille, imaginer, son milieu étant en un
tir TU
point c, qu'elle figure un diamètre d'une circonférence dont c est le centre ; si l'on suppose c à une distance quelconque de l'une des parallèles, c'est-à-dire occupant successivement tous les points de la perpendicu* laire m n, toutes les chances à comparer dans la ques-
tîon pourront être réduites à celles qui se produiront dans ces diverses positions de c, car il est évident que ces chances se représenteront dans le même rapport pour une autre perpendiculaire quelconque ni n\
Soit ç l'angle entre cm et la position de l'aiguille quand celle-ci aboutit, sans la couper, à la- parallèle m m\ Pour la position du milieu de l'aiguille en o, la probabilité de la rencontre comprendra, dans le cercle entier 2 ir, l'amplitude 2 y, pour chacune des
deux extrémités de l'aiguille ; elle sera donc égale à :
â— ou— .
La valeur de ^ est évidemment la même pour un point d distant de n d'une quantité égale kcm ; nous pouvons donc nous borner à rechercher la somme des
probabilités analogues à^ pour tous les points compris
entre m et le milieu de m n^ sauf à doubler cette somme
pour obtenir la probabilité demandée.
ç varie avec cm, car on a
m = - cos p;
afin de pouvoir introduire cette relation dans l'expression de la probabilité, remplaçons
2y SoXcm /cosfXf
— par -^ ou ^.
:r it X cm Tt.an
Quand cm varie de o à - , 9 varie de - à 0 et reste 0
pour toutes les valeurs de cm, plus grandes que -. La somme des probabilités analogues à
^COSf X f
RAPPORTS ET œMBINAISONS DE PROBABILITÉS. 59
s'obtiendra donc en prenant au numérateur (jp, depuis o jusque -, et au dénominateur cm, depuis ^ jusque o.
On arrive ainsi à — et, enfin, en doublant cette frac-
tion, on a la probabilité cherchée de la rencontre de
Taiguille et d'une des parallèles, égale à .
3^ Si les étoiles dont Tespace céleste est parsemé s'y trouvaient distribuées au hasard ; s'il n'existait aucune liaison physique entre elles, certains couples pourraient nous paraître formés de deux astres très-r approchés, présentant l'aspect d'une véritable étoile double ; mais ce cas fortuit devrait être extrêmement rare. Le calcul suivant montre quelle est, pour certaines limites d'écartement, la probabilité de la formation d'une de ces étoiles doubles optiques.
La terre n'est pas le centre de l'univers étoile, mais le nombre des étoiles étant indéfini, la répartition de ces astres autour délie, s'ils sont distribués dans l'espace d'après les lois du hasard seul, est la même, en vertu de la loi des grands nombres (voir plus loin), que si elle en était réellement le centre.
Supposons que l'on compte, sur toute la sphère céleste, n étoiles comprises entre les l*' et N°*® ordres de grandeur : on pourra, en les combinant deux à deux, former un nombre de couples donné par l'expression
Ces couples seront espacés sur tout le ciel ; mais, si Ton n'a . égard qu'à ceux dont l'écartement r (exprimé
60 THÉORIE DES PROBÂBIUTÉS.
en secondes) serait le rayon d'un petit cercle occupant la m^^ partie de la surface du ciel, il ne devra moyennement se trouver que
étoiles doubles optiques, pour lesquelles Técartement des deux composantes sera inférieur ou égal à r secondes.
La surface de la sphère, exprimée en secondes, est 475 (206265)*; le cercle, décrit avec la distance r comme rayon, aura pour surface ur^, et la portion du ciel qu'il couvrira sera
— îi— — 1
Substituant cette valeur de m dans l'expression précédente, on trouve
pour le nombre d'étoiles doubles optiques, distantes de r secondes au plus, que doit présenter la voûte céleste. Or, d'après W. Struve, le nombre d'étoiles des huit premiers ordres ne dépasse pas 100000. En outre, dans sa revue générale de la partie du ciel comprise entre le pôle nord et le 15® degré de déclinaison australe, le même astronome a trouvé :
l'« classe.
entre 0" et i"
d'écartement,
62 étoiles doubles.
— 4 et 2
— 2 et 4
— 4 et 8
— 8 et 42
- 42 et 46
— 46 et 24
— 24 et 32
Tandis que, d'après les probabilités, il n'aurait dû trouver, dans cette zone céleste, que les nombres suivants :
i" classe rr étoile double.
Ae Klf
Ainsi, sur les 653 étoiles doubles observées par Struve, il est probable que 48 au plus sont accidentelles ou optiques; et les trois premières classes, qui, prises ensemble, en contiennent 311, ont pour elles la probabilité d'en renfermer une au plus ! On voit donc que les groupes binaires très-resserrés, qui existent au ciel, ne sont pas un pur effet du hasard, et que leur nombre est infiniment supérieur à celui qu'il serait rationnel d'attendre. Il faut en conclure nécessairement qu il existe un lien physique, établissant une dépendance mutuelle entre les composantes de l'immense majorité de ces groupes.
On parviendrait à la même conclusion par la remarque suivante : Si la formation d'un groupe binaire n'était qu'un phénomène fortuit, la richesse de chacune des classes devrait être proportionnelle à la surface de la zone céleste qui lui correspond. Dans ce cas, les
nombres trouvés par Struve seraient entre eux comme
