CHAPITRE III

DES LOIS DE LA PROBABILITÉ MATHÉMATIQUE DANS LA RÉPÉTITION DES MÊMES ÉPREUVES.

§ 23. — On entend par épreuves répétées celles pendant toute la durée desquelles les chances restent invariables.

La solution de toutes les questions qu'on peut se proposer au sujet des épreuves répétées, se trouve implicitement dans la règle des probabilités composées

Soit a le nombre de chances d*un événement A (par exemple, le nombre de boules blanches contenues dans une urne); b le nombre de chances de l'événement contradictoire B, ou le nombre de boules noires de Turne, que nous supposons, pour plus de simplicité, ne renfermer que des boules de ces deux couleurs. Les probabilités d*un tirage simple seront respectivement

et on aura, par hypothèse,

Les probabilités pour un tirage répété s'obtiendront en combinant chaque probabilité simple avec elle-

môme et avec l'autre, et offriront par conséquent les quatre valeurs suivantes :

Mais si Ton fait abstraction de Yordre dans lequel chaque événement simple se produit pour former l'évéuement composé, alors les deux probabilités p q^ q p se réunissent en une seule, et Tévénement composé dans un tirage double présente les trois probabilités

qui ne sont autre chose que les termes du développement de (jo-j- g)*.

Les probabilités correspondant à un tirage répété trois fois, ou triple^ s obtiendront en combinant de nouveau chacune des précédentes avec les probabilités simples p et q, et deviendront évidemment

p»; 3p«g; 3pç«; q^;

si Ton fait encore abstraction dé l'ordre dans lequel les événements simples se produisent.

L'ensemble de ces quatre probabilités représente le développement de (p + î)^; chaque terme correspondant respectivement aux événements composés

3Â; âÂ, 1 B; 1 A, âB; 3B.

En général, si l'on désigne par m le nombre des épreuves ou des tirages, les différents termes du développement de (p-^-q)^ exprimeront les probabilités de tous les événements composés que ces épreuves peuvent présenter. Si Ton considère, en effet, (m — n) répétitions du premier événement simple et n répétitions de l'événement contradictoire, la probabilité correspon-

dante à un ordre quelconque de succession de ces répétitions sera évidemment p^"^ q*^, et comme dans les m épreuves tous les ordres de succession sont également possibles, la probabilité de Tévénement composé sera égale à p*""** ç** multiplié par

mXm

(m — n)A(m-n) X nAn

ou (§ 10)

m Cnp^ — nqti

qui est le terme général du développement de(p-\-q)^. Effectuons ce développement

(j> + qr = i=P^ + -rP"-*q-\ \ ^ 'p^-*q*+...

Le premier terme jp*^ indique donc la probabilité que,

sur le nombre m d'épreuves, l'événement A arrivera

m fois de suite.

Le second terme

représente la probabilité que l'événement A arrivera (m — 1) fois et l'événement B une fois... et ainsi de suite.

Il est clair que, si l'on voulait établir une succession déterminée dans l'arrivée de chaque événement simple,

il faudrait supprimer les coefficients numériques ; mais nous n'avons pas à considérer ce cas.

On voit que, « dans le développement du binôme,

« chaque terme exprime la probabilité d'un événement

tf composé de A répété autant de fois que le marque

« l'exposant de la lettre p, et de B répété autant de « fois que le marque l'exposant de la lettre q. y*

« La somme des termes du développement, depuis . « le premier jusqu'au terme général inclusivement, « exprime donc la probabilité que, dans m épreuves, « l'événement A n'arrivera pas moins de (m — n) fois « (arrivera (m — n) {o\^ ou plits)^ ou, ce qui revient « au même, la probabilité que l'événement contraire, «. B, n'arrivera pas plus de n fois (arrivera n fois ou « moins) (§ 15). »

Ce théorème est de la plus haute importance.

Si p, g, r désignent les probabilités simples de trois événements A, B, C. dont l'un doit nécessairement résulter de l'épreuve aléatoire, de sorte qu'on ait

le facteur binôme p -+- ?. dans le développement précédent, se trouvera remplacé par le facteur trinôme* P + 2 + ^' et ainsi de suite. — Nous n'insistons pas sur cette généralisation, parce qu'elle est inutile à notre but.

La probabilité p^ diminuant à mesure que m augmente (et cela d'après une progression géométrique dont la raison est p), il s'ensuit que la reproduction multiple d'un événement peut acquérir une probabilité très-faible, bien que l'événement simple soit assez probable par lui-même. Supposons qu'un fait ait été transmis successivement par vingt personnes, de telle sorte que la première l'ait raconté à la seconde, la seconde à la troisième, et ainsi de suite ; admettons d'ailleurs que le degré de croyance à accorder à chacune d'elles, ou

la probabilité de véracité de chaque récit, soit ^ : la probabilité du fait qui nous aura été transmis de cette manière sera

sr = «•"'«•

c'est-à-dire qu'il y aura plus de huit à parier contre un que le fait est faux, du moins tel qu'on le raconte.

Ce décroissement considérable de la probabilité peut très-bien être assimilé à l'oblitération de la clarté des objets, lorsqu'on les regarde à travers plusieurs lames de verres superposées. Une seule lame ne diminue presque pas la clarté; mais lorsqu'on augmente progressivement leur nombre, elles arrivent bientôt à intercepter totalement la lumière. Les historiens n*ont pas toujours égard à cette circonstance, lorsqu'ils parlent de faits dont la tradition a dû passer par plusieurs générations ; et bien des événements historiques, dont on ne songe pas à révoquer en doute l'authenticité, paraîtraient pour le moins très-douteux, s'ils étaient soumis

à une telle épreuve. La fraction ^ est ordinairement

trop faible s'il s*agit d'un fait matériel, mais aussi elle dépasse souvent la probabilité des circonstances accessoires d'un récit.

§ 24. — Exemples :

P Déterminer la probabilité d'amener, en 8 épreuves successives du jeu de croix ou pile, 5 fois croix et conséquemment 3 fois. pile.