DES OBSERVATIONS. — THÉORIE DES ERREURS. — MOYENNE ET LIMITES

— La détermination des valeurs numériques rvation ne paraît pas susceptible d'une exacsolue. On constate, en effet, si l'on répèle

fois les mêmes opérations, que, quelque soin il apporté, les résultats ne sont jamais absolentiques. Le fait est général dans toutes :es. A force de soins et d'habileté, on peut \ réduire les discordances à des quantités trèslais il est sans exemple qu'on ait réussi à les taraitre complètement. Ces discordances réi ce que les conditions physiques des opéra- ]nt pas réellement les mêmes à chaque renou-

des expériences; elles sont aussi en partie uperfection des sens et de l'entendement de

Quoi qu'il en soit, il est reconnu que toute :périmentale est inévitablement entachée d'erla question se pose de savoir quelle valeur il i'adopter quand on se trouve en présence de

expressions de la même mesure, c'est-à-dire mpensation on peut opérer entre les erreurs, tout il faut remarquer que, dans la pratique.

les erreurs sont de deux espèces : les unes sont systématiques et se reproduisent régulièrement chaque fois qu'on répète les opérations dans les mêmes conditions ; ces erreurs sont généralement de valeur constante et par suite le plus souvent elles ne peuvent être mises en évidence par la comparaison des résultats. Les autres, qu'on appelle erreurs accidentelles^ irrégvlières ou forfuites, prennent, au contraire, des valeurs variant d une manière tout à fait indéterminée, et sont sans relations réelles ou connues entre elles.

§ 98. — Les erreurs systématiques, si Ton ne parvient pas toujours à les éviter, peuvent du moins ordinairement être prévues. EUes proviennent en effet de ce qu on ne réalise pas rigoureusement dans les opérations toutes les conditions reconnues nécessaires et qu'on y suppose remplies. C'est à l'expérience scientifique de l'observateur de découvrir les faibles imperfections des appareils ou des procédés employés d'où naissent les erreurs de cette espèce. Ainsi, un étalonnage inexact des règles destinées à la mesure d'une base géodésique, l'^oploi dans un baromètre ou dans un thermomètre de mercure mal épuré, une position défectueuse de la ligne de mire dans une arme à feu, en général une déviation quelconque mais permanente dans les conditions normales d'un appareil, donnent lieu à des erreurs systématiques ; de même l'adoption d'un coefficient numérique inexact, ou une action extérieure continue qui altère les conditions d^observation. On conçoit que les erreurs systématiques ne sont pas

Bécessairement constantes, mais en quelque sorte produites régulièrement ; dans la plupart des cas cependant elles ne varient pas. Il en résulte que les discordances entre les diverses mesures de la même quantité ne sont gâiéralement pas dues à ces erreurs ; leur existence ne peut donc être révélée que par Texamen approfondi des conditions effectives des opérations, ou par un désaccord d*ensemble entre des séries différentes des mêmes mesures.

Il est évident qu*aucune compensation ne peut être fsdte entre les erreurs systématiques ; par suite, puisque les corrections nécessaires sont inconnues, les observations affectées d'erreurs de cette espèce ne peuvent être utilisées.

Il n en est pas de même dans le cas des erreurs de seconde espèce. Celles-ci se distinguent par la variabilité dans leur reproduction et dans leur valeur à chaque mesure nouvelle. Elles proviennent cependant aussi de causes dépendantes de la nature des opérations, mais de causes non permanentes et agissant irrégulièrement. C'est ainsi que souvent elles sont dues à des déviations accidentelles dans les appareils, qui, si eUes étaient constantes, produiraient des erreurs systématiques. Telles sont, dans le tir d une armiO à feu, les inégalités imprévues des charges ou les irrégularités de forme, de poids et d'excentricité du projectile; ou, dans le pointé d'une lunette, les réfractions latérales, les ondulations dé l'atmosphère, les phases inattendues du signal ou le changement d'éclat de l'astre observé ; de même dans les déterminations barométriques ou

thermométriques, certaines altérations inappréciables de la conductibilité et du rayonnement calorifiques.

En général, on attribue encore à des erreurs accidentelles toutes leg faibles discordances dont l'examen le plus attentif des observations ne peut faire soupçonner les causes et qui sont dues soit à l'opérateur, soit à des conditions inconnues d'exactitude que les progrès de la science peuvent seuls révéler.

Les erreurs accidentelles sont donc pour nous essentiellement incertaines, variables et indéterminées. Elles sont, en outre, le plus souvent de véritables résultantes de plusieurs causes qui se combinent ou agissent isolément, mais toujours à notre insu. Nous sommes ainsi amenés à les considérer comme dépendant du hasard, par lequel nous exprimons notre ignorance des causes. Cette idée, qui simplifie la recherche d'une formule de compensation, n'est évidemment qu'une hypothèse gratuite, car, en réalité, ces erreurs dépendent, dans chaque cas particulier, de déviations spéciales à la nature des observations. Mais le hasard sert ici, comme précédemment, à expliquer les variations des événements produits dans des circonstances en apparence les plus identiques. Si l'on considère, par exemple, le jet d'un dé ou d'une pièce de monnaie, ou le tirage d'une boule d une certaine couleur hors d'une urne contenant des boules de couleurs différentes, etc., chaque événement particulier, que nous attribuons au hasard, est en réalité déterminé par un enchaînement de causes rigoureux mais insaisissable pour nous. De même la production d'une erreur accidentelle plutôt que d'une autre peut.

~e ignorance des causes réelles, être attribuée ■d; ces erreurs, en effet, qui sont toujours ntités très-faibles, semblent dépendre des accidents de chaque épreuve, conune l'arl'une plutôt que de l'autre face d'un dé, ou )n d'une boule plutôt que celle de sa voisine ne, etc.

et que noua avons à admettre un principe i pour la production des erreurs accidentelles !Urs le même que celui qui a fait adopter le imme cause représentative dans les événements des chances inconnues. Il s'agissait d'arriver r une loi de probabilité de ces événements. De il s'agit d'exprimer la probabilité de chaque I plutôt d'une valeur particulière quelconque eur, car il sera facile ensuite d'en déduire un compensation. C'est donc un intérêt d'ordre bien distinct de la réalité scientifique, mais t essentiel, parce qu'il est impossible de ne pas à corriger des résultats contestés par d'autres origine et de même autorité, en les combinant i-ci.

— Une erreur accidentelle doit être regardée re hypothèse comme une quantité abstraite lépendamment de la nature des observations, ibilité déterminée, dont la formule se déduit éralions basées sur l'idée de hasard. Il faut r cependant que cette probabilité n'a pas une variable, quelles que soient les observations.

En effet, le hasard, que nous supposons arbitrairement, représente dans chaque cas particulier des causes réelles différentes. Or, ces causes doivent évidemment produire avec plus ou moins de facilité des erreurs numériquement égales. Il en résulte que dans l'expression de la probabilité d'une erreur doit se trouver un coefficient qui dépende de cette facilité des causes réelles à produire des erreurs de valeur plus ou moins grande. Ce coefficient se déduira- des discordances existant soit dans les observations mêmes qu'on veut compenser ensemble, soit dans des observations de même nature. On admet à cet effet que dans toute série d'épreuves, l'événement composé constitué par la production des diverses erreurs, a une probabilité qui est un maximum eu égard à la valeur du coefficient cherché. Pour obteniç une équation qui permette de calculer celui-ci, il suffit, par conséquent, de poser la condition du maximum pour le produit des probabilités des erreurs (§ 17), en y considérant le coefficient comme variable.

Le principe de ce maximum ne peut être démontré mathématiquement, mais il est rationnel de l'admettre. La recherche d'une compensation entre les erreurs implique, en effet, une sorte de solidarité entre les observations, car si rien ne permet de supposer que l'erreur commise à une prenfière épreuve influe siur la probabilité de celles qui seront commises aux épreuves subséquentes, il faut admettre cependant que le groupe d'épreuves étant considéré pour la compensation comme formant un ensemble, les erreurs d'observation qu'il renferme forment un événement composé. Dès lors,

t événement s'est produit, sa probabilité peut lérée comme étant an maximum.

— L'expression rigoureuse de la probabilité ur particulière pour l'erreur ne peut s'obtenir rience. Il faudrait en effet connaître d'abord t la quantité cherchée, puis faire un nombre lu moins très-grand d'observations. Dans ce ilte du théorème de BernouUi étendu à un lelconque d'événements possibles, que chaque présenterait un nombre de fois proportionnel abilité. Aucune des deux conditions précépouvant être réalisée dans la pratique, on est îcourir à des hypothèses sur les chances de es erreurs '.

dmettrons, en premier lieu, que ces chances quand l'erreur augmente. Rien ne prouve lit ainsi, et en général même cela n'est vrai : d'une certaine valeur la plus probable, qui s conditions et de la nature des observations; me les opérations sont exécutées avec toute ion que comportent nos facultés et nos coni, nous sommes autorisés à supposer que c'est lie qui est rendue la plus probable. En second qu'on ne considère pas les causes réelles, le i lequel l'erreur se produit est indifférent, e qu'une erreur positive (en plus) a la même

i quïstio h^c pcr rei oaloram aliquid vagi implical, quod

ûrcumscribi nisi per principium aliqualcDûs arliitrarium lauss, Tlieoria combinat, observai., etc. (S 6).

probabilité qu'une erreur négative (en moins) de valeur absolue égale. Il en résulte que la moyenne des erreurs tend vers zéro, et que, par suite, la moyenne de toutes les valeurs obtenues tend vers la valeur exacte de la quantité cherchée.

Cette remarque importante sert de base à l'hypothèse fondamentale de la Théorie des erreurs : on suppose que, quelque soit le nombre dépreuves faites^ la moyenne arithmétique représente la valeur la plus probable^ c'est-à-dire que son erreur tend vers zéro comme celle de la moyenne absolue. Ce n'est là qu'une approximation plus ou moins arbitraire, mais il a été démontré (si l'on reste toujours en dehors des causes réelles), qu elle est d'autant plus voisine de l'exactitude que le nombre d'épreuves est plus grand. Ce nombre est donc aussi un facteur essentiel de l'exactitude de la moyenne et par suite de l'autorité, du poids qu'il convient de lui accorder.

Nous avons fait remarquer que, suivant les cas, les erreurs de même valeur absolue ont des probabilités plus ou moins grandes ; la convergence de la moyenne arithmétique dépend évidemment aussi de la rapide décroissance de ces probabilités, à partir de Terreur nulle. Il faudra donc faire un nombre d'épreuves d'autant plus grand pour obtenir une approximation égale, que la probabilité d'une môme erreur sera plus grande. Le coefficient qui détermine cette probabilité dans chaque cas particulier, est donc aussi un élément de l'exactitude de la moyenne et par suite de son autorité, ce qui d'ailleurs était évident à priori. On conçoit

DES ERREURS DOBStlRVATION. 265

1, qu'à ce dernier point de vue il puisse s'établir compensation entre le nombre des épreuves et la ttution ou l'accroissement de la probabilité de ue erreur. Cette question importante sera traitée plétement plus loin.

hypothèse faite sur la moyenne arithmétique ne t pas à trouver une expression de la probabilité 3 erreur. La condition qui y correspond peut en être remplie par une infinité de fonctions, et intrinement il n'y a aucune raison de préférer l'une à re : à priori toutes seraient admissibles au même ; cependant il est avantageux de supposer que la tion est analytique.

îtte nouvelle hj'pothèse est à la vérité tout à fait :raire. On ne peut, comme pour les précédentes, la fier par des analogies ou par des vraisemblances. ) il est incontestable que la forme analytique est i plausible que toute autre, et comme elle est infimt plus aisée dans les applications, on n'hésite pas dopter.

éanmoins nous répéterons encore que l'expression L probabilité d'une erreur, telle que nous la déduides hypothèses que nous avons faites, ne présente ne solution en quelque sorte conventionnelle de la :tiôn posée au début de ce chapitre. La solution ureuse ne constitue pas d'ailleurs seulement un ilème de mathématiques, et ne pourrait être géné- .ée. Elle est, dans chaque cas particulier, le but Animent éloigné du perfectionnement des méthodes !8 appareils spéciaux. L'emploi des probabilités a ici

comme ailleurs cet objet, de fournir une répoi;ise provisoire, la plus conforme à nos connaissances acquises.

§ 101. — Puisque la probabilité d'une erreur varie avec cette erreur, la fonction analytique qui représente la probabilité d'une erreur a?, est une fonction de œ. Soit F [x) cette fonction.

La probabilité que l'erreur est comprise entre x et X -\- dx, sera

F (a; + (te) — F (x) = F' (x) dx.

Ainsi F' (x) ou en général y {x) est une fonction telle. que f [x) dx représente la probabilité que Terreur est comprise entre xeix '\- dx.

Dans chaque cas particulier, la valeur de a? a une limite qui est toujours une quantité très-faible. Si cette limite est =b a, on aura suivant la convention ordinaire

de représenter la certitude par l'unité,

y (jc) (te == 1

a étant inconnu et ç {x) diminuant très-rapidement quand X augmente, on peut écrire d'une façon générale /•+ ^

I f> ( jr) (te = 4 .

Voici, avec quelques simplifications, l'analyse à laide de laquelle Gauss [Theoria motus corporum cœlesHum), s'appuyant sur les hypothèses que nous avons faites précédemment^ parvient à déterminer la forme de la fonction y * .

* Gauss n'énonce pas explicitement toutes ces hypothèses, mais son analyse les suppose.

On trouve, d'autre part, dans la Tliëorie aiialyliqtie des Probabilités