RJIULE DE LA PROBABILITÉ DES ERREURS

— Soient cci, x^, Xi,.... x„ les erreurs coms les n épreuves faites. La probabilité du cônes erreurs est :

-itables erreurs sont inconnues, mais la forme ïlle par hypothèse, que si l'on remplace dans ' i^i. iPi. x^.... x„ par la différence entre la arithmétique et chacune des valeurs obtenues lantité cherchée, il devient maximum.

entons par o', o", o'" o„les valeurs fournies

rience, et soit

t donc écrire au lieu de (1)

■ (0 — o") . f (0 — o"') .... p (0 — oj di, Ae, dx^ .... dx^.

:hap. IV, n" 18), une formule gânërale exprimant a la proie la somme des erreurs d'un j;rand nombre d'observations se dans des limites données, en supposant que la loi de des erreurs esl connue, et la même pour chaque obsenae les errears négatives sont aussi possibles que les erreurs orrespondantes. »

i fait donc pas l'hypoilièse que la moyenne arithmétique la plus probable; sa formule exprime, d'ailleurs, évidcmbabiJilé que celle moyenne est en erreur d'une quantité Ire ± -, n étant le nombre d'épreuves faites. Il reste ii y ixpression encore inconnue da la loi de probabilité des .ace y arrive par une série d'approximations plus ou moins s, qui équivalent à admettre d'emblée la probabilité maximoycnnc arithmétique, comme nous le (aisons ci-dessus.

Si, pour exprimer la conditian du maximum, on passe aux logarithmes, il vient :

?'{0-o') . y-(O-o-) /(O-O . /(O:z?nl = zéro

ou en posant ^ ^q ^/ = + (o — o') :

4, (0 o') + * (0 — 0") + * (0 — 0'") .... H- 1 (0 — 0^ ) = zéro.

Cette relation est générale, quels que soient o\ d\ 0'" ... 0;,; si donc on diflférentie par rapport à o\ d\ 0'" .•. 0^, on aura séparément : *

^(0 — On)^ — f (0 — (?n) = 0

Mais ?^ = ?- = ?^,=- .... ^ = -. puisque 0 est pris

égal à la moyenne arithmétique \ par conséquent, on a

aussi

,;,' (0 — 0*) = f (0 — 0") = f (0 — 0'") = .... V (0 — On);

c est-à-dire que ^' représente une constante, que nous nommerons a. Dès lors, on obtient :

t (0 — 0') ou tf; (x) = eue + p d'où ?l^> = ax + ,,

et en intégrant on trouve enfin

log j» («) = - a;* + /fcr + y

Pour déterminer a, p et y, remarquons que f (a;) est

ULE DE LA PROBABILITÉ DES ERREUBS. 269

nul pour ïT = ± GO ; donc « est négatif et Ù. Afin de bien marquer le signe du coefBon l'écrit — A*; substituons en outre un la constante en exposant y ; ? (^r) deviendra

^ons qu'on doit avoir ;

f.(j:)(tt = l d'oùfrP" <-"*'=* (te = i.

has = t, l'intégrale devient

e-'*dt; or j^ e-'*dt = {/^ k = — 3 , et la forme définitive de ® est

bilité que l'erreur soit comprise entre œ et donc L

La constante A est ce paramètre dont il a § 99, et qui exprime la facilité des causes duire des erreurs de valeur plus ou moins eflfet, pour une espèce déterminée d'obserpression

irobabilité qu'une erreur x soit comprise ites zéry} et a ; ou bien le nombre d'erreurs itre ces limites, le nombre total des erreurs enté par l'unité.

270 THÉORIE DES PROBABIUTÉS.

Pour une autre espèce d'observations, la probabilité qu'une erreur a/ tombe entre les limites zéro et a' sera exprimée par ,

Faisons hx = h'x' = t : ces deux expressions deviendront

l/n Jo [/itJo

et elles seront égales si Ton pose

ah = a'h\

De cette relation, jointe à la précédente

}ix = h'x\

on déduit

Il y aura donc entre zéro et a autant d'erreurs a?, qu'il y aura d'erreurs af entre zéro et a\ ou la probabilité de commettre une erreur inférieure à œ, dans un genre d'observations, sera égale à la probabilité de commettre, dans l'autre, une erreur inférieure à a/.

Or, on a

les constantes h et h\ sont donc inversement proportionnelles aux erreurs également probables : par suite, on peut donc dire que le degré d'exactitude des observations est mesuré par la grandeur du paramètre h qui leur correspond. Tel est le motif pour lequel Gauss a nommé ce paramètre « la mesure de la précision » [mensura prœcisionis; das Mass der Pràcission oder

>E PRÈaSION DES OBSERVATIONS. 271

Ou le trouve désigné, chez les auteurs nom de module de précision ou de con-

: probabilité des erreurs se confond le possibilité qui correspond au cas de us avons trouvé, en effet, pour cette

ire - = A* pour retrouver identiquen (a), comme nous l'avons déjà fait

B de montrer que les hypothèses que ï sur la loi de probabilité des erreurs, jimiler chaque valeur de a; à l'une des deux alternatives également probables ites chacune un grand nombre de fois, ut supposer que l'une des alternatives erreurs positives, l'autre aux erreurs ie cette idée qu'est parti Hagen pour le probabilité des erreurs. Il admet Wahrscheinlichkeilsrech'nuTîg) que dans l'observations. il existe " un certain trminé âîerreurs élémentaires, Aie, ines unes des autres, qui, prises d'une ue, sont de même grandeur, et peuvent ament positives ou négatives. C'est la 'ique de ces erreurs élémentaires qui chaque cas particulier, la véritable ite>.

La table n^ 2, qui se trouve à la fin de cet ouvrage, donne, pour toutes les valeurs usitées de û, les valeurs numériques de l'intégrale ^

9 rt =^ ah

elle indique donc, pour les valeurs successives de aA, la répartition des erreurs suivant leur ordre de grandeur, ou le nombre de ces erreurs qui tombent entre les limites -{-ah et — ah : la surface totale de la courbe de probabilité et le nombre total des erreurs étant représentés par lunité. On y voit que, depuis ^ = o jusqu'à

( = d= 0,5 on a l^intégraie = 0,520

En d'autres termes, si nous représentons la surface totale par 1,000, il tombera, sur 1,000 observations,

520 erreurs entre t = 0 el/==:t0,5

On voit donc que le nombre des erreurs comprises entre des intervalles égaux décroît très-rapidement, à mesure que t augmente, ou que les erreurs deviennent plus grandes. Depuis t = 2 jusqu'à < = cx) il ne tomberait que 5 erreurs.

§ 104. — Parmi les différentes valeurs de ^ il en

* La probabilité de Terreur ne dépendant que de la valeur absolue de celte erreur, ?t = 2P, exprime bien la probabilité que cette erreur est comprise entre o et =i= a/i, ou inférieure numériquement ^ ah.

SaSEUR PBOBAULE. 273

■ès-remarqiiable : c'est celle pour laquelle Pj acquiert la valeur -. Si, dans une longue ervations, on rangeait les erreurs suivant de grandeur, sans avoir égard à leur 3 valeur de / les diviserait en deux parties ment égales. La valeur de ce correspondant 3ur de-t montre jusqu'où il faut étendre les l'erreur, pour avoir la probabilité - que, observation subséquente, on ne commettra reur plus grande que cette limite. Plus cette resserrée, plus, naturellement, les observapréciseS.

irant à notre table, on trouve par interpolavaleur - de l'intégrale Pj correspond à

ir de ^ calculée une fois pour toutes, est à tous les cas ; mais il n'en est pas de même eur de os qui lui correspond. En effet, comme ■■ hœ, et que h varie avec la précision des 13, on conçoit que les limites de œ se resserr de bonnes observations, s'étendront pour ses, tandis qu'elles peuvent être supposées pour une seule et même espèce d'observa-

désigne par r cette valeur de a: pour = P, on ïiura, pour une certaine espèce ons,

P = fi.r:

ur une autre espèce, on aurait

bien l'c) — r : r' = h' : k.

Les astronomes allemands ont donné à la quantité r nom d'erreur probable [der wahrsckeinlicke Fehler). imme sa considération est très-importante, nous sisterons sur l'idée qu'elle exprime, en disant que !St l'abscisse 0 E ou O D de la courbe de probabilité, nt l'ordonnée correspondante E E' ou D D' divise la rface A O K a ou K 0 B ô en deux segments éqni-

lenta (A 0 ou B 0 étant les erreurs limitées); il y a ne numériquement autant d'erreurs plus petites que r, e d'erreurs plus grandes ; et il est aussi probable, ns une série d'observations, de commettre une reur inférieure à r que d'en commettre une qui lui it supérieure.

Quand on a en vue des observations de qualités diffëutes. la proportion {c/) montre que « les erreurs probables sont en raison inverse des mesures de précision. B De là vient que plusieurs auteurs prennent rreur probable pour module de précision. Cournot donne à r le nom de valeur médiane de cart; d'autres auteurs français, Laplace, Poisson,

:;e de l erreur probable.

appellent erreur moyenne. Il est bon le nous attachons un sens différent à pression, comme nous le dirons bientôt.

n table les valeurs de l'intégrale Pg, uantité r pour unité. (Voir la table noyen, on trouve immédiatement le 3 comprises entre zéro et x, lorsque apport de a; à Ferreur probable, - , ou , -. Cette disposition fait apercevoir juelle serait la répartition relative des leur ordre de grandeur dans un grand ations; elle montre par exemple que, , il s'en trouve théoriquement 500 plus S23 sont moindres que 2r, 957 moint 993 moindres que 4r. Une seule rande que 5r.

les tableaux suivants :

RIBB