RÉDUCTION DES POIDS
avions voulu conserver [p,] = 58, nous au-
Ri = ^ [pi] = ^ X 25 - 138,863 ;
— ;: = 45 ',30, comme ci-dessus.
ne remarque. — En suivant les exemples !S que nous venons de traiter, on aura rete les calculs présentent une partie' assez pést la formation des carrés des erreurs. On idant l'éviter, et n'employer au calcul de l'erible que la somme des premières puissances s.commeEncke l'a i&Mvo\T(Berlinerastronoihrbuch, fur 1834). Sans suivre l'auteur dans ppenients théoriques qu'il donne à ce sujet, contenterons de rapporter sa formule, qui est :
nbres,
, 0,845347., il :pî^i... („..,
nie ici la moyenne arithmétique de toutes les hstraction faite de leurs signes. On voit que ule a, sur la formule (W), le désavantage de >ur l'erreur probable des limites plus larges : 3 sont dans le rapport de j/it — 2 à 1, ou de j/lOÔT Par conséquent, 100 "observations, emploie les carrés des écarts, donnent pour robable des limites aussi resserrées que 114 )ns, lorsqu'on fait usage des premières puis-
D ailleurs l'erreur probable, exprimée en fonction de Terreur moyenne «t, est r = % p j/^2 ; égalant ces deux valeurs de r, on en déduit pour les limites de Terreur moyenne :
OU, en nombres,
( VP
Baeyer a employé cette dernière formule pour calculer Terreur moyenne de la mesure d*un angle dans sa triangulation [die Kustenvermessung ^ § 97). La somme des valeurs absolues de 311 erreurs angulaires est 84'',0938 : il en déduit
^ = 0",339 zf: O/'OIO
ou un tiers de seconde à très-peu près.
Huitième exemple. — Dans une triangulation, Texactitude avec laquelle on obtient la longueur d*un côté quelconque dépend de plusieurs circonstances qui influent sur la détermination du poids de ce côté. Ces circonstances sont :
P La précision avec laquelle la base a été mesurée ;
2^ La grandeur de la base relativement à celle du côté en question ;
3^ La précision de la mesure d un angle ;
4^ Le nombre de triangles intermédiaires entre la base et le côté ;
5^ La grandeur des côtés de ces triangles ;
6"" Enfin, leur conformation plus ou moins avantageuse.
IONS AUX SaENCES d'oBSERVATION. 313
ji serait curieux de voir cette question il peut recourir au t. XIX, n" 4, des Todémie rot/aie de Belgique.
îe contenter, avec Baeyer {die Kùsten- 104), de n'avoir égard qu'au nombre de aédiaires, on pourra admettre avec lui * calculée d'un côté géodésique présente 'incertitude, qu'il est plus éloigné de la n est séparé par un plus grand nombre }rs donc qu'un même côté a été calculé nières, en fonction de différentes bases, y .... de ces diverses déterminations ipposés réciproquement proportionnels triangles intermédiaires ; ce qui permet râleur moyenne du côté, ainsi que son
^.... les différentes longueurs d'un seul éduites des bases M, N, 0,... au moyen riangles intermédiaires; posons
US probable du côté commun sera la i-dire
\à\é, lorsqu'on le calcule en fonction de lonc
de même. Terreur à craindre sur le côté, lorsqu'on le calcule en partant de la base N ou de la base 0, sera
Pour trouver l'erreur à craindre sur la moyenne, représentons par Tit l'erreur moyenne de l'unité de poids : nous aurons (§ 1 16)
d'où, en supposant jo triangulations,
Représentant par E^ l'erreur moyenne de la moyenne arithmétique entre les différentes déterminations, on aura (§ 1 15, k^)
Dans le cas de deux triangulations, il vient simplement
'^-^ 2(P'+P")' On mettra cette dernière expression sous une forme plus commode, en remplaçant a et 6 par leurs valeurs,
savoir: p"(^-/i) f'di
Substituant, on a
di . .^,
^-^+7'^ Ip'p"-
APPLICATIONS AUX SCIENCES d'oBSERVATION. 315
D'après Bessel {Gradmessung in Ostpreussen, p. 468), le côté Trunz-
WUdefihof est /i = 30123^,7484;
et diaprés Baeyer (die Kûstenvêrmessung ,,
p. 374), ce même côté Z, = 30423 ,5044:
d'où /«— /i= — 0*,2440.
Or, depuis le côté Trunz-Wildenhof, il y a sept triangles jusqu'à la base de Kônigsberg, et trente-cinq jusqu a la base de Berlin. On trouve donc :
Pour Terreur provenant de la base de Kônigsberg. . — 0'*',0407;
— — de Berlin. ... + 0,2033:
valeur la plus probable du côté 30423^,7074;
Erreur à craindre sur celte valeur àz 0,0643.
On peut, de cette manière, calculer les valeurs les plus probables de tous les côtés de la triangulation, eu égard aux deux bases mesurées. Il convient de remarquer toutefois que l'hypothèse de Baeyer, de l'exactitude inversement proportionnelle au nombre de triangles intermédiaires, est rarement admissible dans la pratique. On ne peut d'ailleurs établir une règle générale pour l'appréciation de la précision relative des diverses déterminations d'un même côté.
Neuvième exemple. — Un projectile est lancé au hasard contre une droite de 1** de longueur ; on mesure' à chaque fois la distance du point frappé à l'une des extrémités de la droite : cette distance est une grandeur qui peut prendre fortuitement toutes les valeurs comprises entre 0 et 1"*; la probabilité reste constante d'une valeur à l'autre, et la courbe de probabilité devient une ligne droite parallèle à l'axe des abscisses
Sa surface est r*
La valeur probable de la grandeur œ se déduit de- La valeur moyenne est
1 équation i T i
cdx ; d'où r -» - .
cdx . X = — .
Enfin la mesure de précision se déduit de
— » I x'^dx — Il X dx) « - — — as= — ; ;i = J/e = 2,4495.
En conséquence, pour une série de 1,000 épreuves, l'erreur probable devient (§ 110, formule (h) ) 0'",006159, ou un peu plus de six millimètres. Il y a 20,000 à parier contre un que Fécart ne s'élèvera pas au sextuple, ou à 36 millimètres. On réduirait ces limites d*écart à moitié en embrassant une série de 4,000 épreuves.
Dixième exemple. — Des points sont disséminés au hasard sur la surface d*un cercle d'un mètre de rayon : la distance d'un point au centre du cercle est une grandeur qui peut encore prendre fortuitement toutes les valeurs comprises entre 0 et 1*" ; mais ces valeurs sont inégalement probables.
Soit y la probabilité qu un des points se trouve dans un cercle de rayon a?, concentrique au premier : on aura r*
I ydx: 1 =Tcx* : wR*;
OU, en faisant R = 1*^, /•*
I ydx = «*.
Jo
Différentiant : y =» ir, équation de la
courbe de probabilité.
be se change donc encore ici en u
îUe passe par l'origine, et fait aii le de 63" 26*. La surface corresp
est
Plcda: — «» = 1.
>bable se tire de
yenne s'obtient en posant
1 ixdx.x
re de précision on a
ft — 3.
ICC, les limites d'écart qui se rapp irécédent seront réduites à peu pi 300 à 245.
uempte. — Des points sont disséi 'espace enfermé par une surface s] ', rayon. La distance d'ua point ai d'enveloppe est toujours une gram
peut prendre fortuitement toutes les valeurs comprises entre zéro et 1"*. Pour la probabilité d'une valeur égale au plus à a? on aura
