APPLICATION A L ESSAI DES ARMES A FEU

il restera, pour les valeurs des indices de

que nous nommons coefficients de régulante. ] sidération est très-importante, car on ne peut sur une arme qui disperse beaucoup ses pr môme lorsque cette dispersion se fait égalée: tous les sens.

Les formules précédentes permettent donc cier numériquemeot le mérite relatif des an sous le rapport de la justesse moyenne du tir celui de la régularité des effets.

^cemple. — On a tiré 29 coups de carabî une cible sur laquelle étaient tracés deux azi gulaires : le relevé des distances à l'axe des a tes résultats suivants (le centimètre étant unité):

Épreuve 1 — 3,0 Épreuve il -|-

ifi

Épreave 21

Épreuve 26

+ ii.o

L'ordonnée moyenne, ou la déviation verticale la plus probable, est donc

d'où ^ = coefficient de justesse = 0,1966.

Rangeant les écarts de la moyenne suivant leur ordre de grandeur, on formera le tableau suivant :

Épreuve

Éprenve 7

La somme des carrés de ces erreurs s obtiendra, soit en élevant immédiatement chacune d'elles au carré.

soit au moyen de la formule (k, § 108); et l'on trouvera ainsi, pour l'écart moyen d'un coup,

D'où l'écart probable

et le coefficient de régularité

Comme on a n = 29, d'où r>- = 0,08846, on peut

parier un contre un que

ej est compris entre 6^9i6 et 8^,260, r — 4S665 et 5s57i ,

Y — 0,085 et 0,iOi.

Enfin la déviation verticale la plus probable, comparée à celle d'un coup isolé, a le poids 29; et par suite son

erreur probable est r7=-= 0%950. On peut donc parier

un contre un que la véritable déviation verticale est comprise entre

4si36et6«,036;

comme la valeur de y, 5,086, est plus que quintuple de son erreur probable, on peut regarder comme presque certaine l'existence d'une cause qui a fait porter les coups trop haut. Il faudrait un peu plus de 2,600 coups pour que l'erreur probable de y fût réduite à 0*^, 1 . Si nous avions voulu nous contenter des premières

328 THÉORIE DES PROBABIUTÉS.

puissances des écarts, pris avec leurs valeurs absolues (§ 117, 2** remarqué)^ nous aurions trouvé pour cette somme 181,898; et par suite

d où r « 5^492.

entre les limites 4,972 et 6,012.

Le coefficient de régularité / = 0,087 serait un peu plus faible que celui fourni par la première méthode. Dans les concours de tir, on doit supposer toutes les armes également j't^^^e^, et compter les écarts A, à partir du centre de la cible qui est le point de visée : le prix doit donc être décerné au tireur dont le coefficient de régularité est le plus grand, condition qui correspond à

[A*] = minimum.

Cette règle est souvent méconnue, même par des hommes spéciaux : elle Tétait notamment d*une manière explicite dans le Règlement sur le tir^ à Ftisage des régiments d'infanterie, établi dans l'armée belge en 1848 et aujourd'hui remplacé. On y lisait en effet que, pour le concours du grand prix de régiment, « on « mesurera très-exactement les écarts des balles qui « auront touché la cible ; on en tiendra note, et l'on « additionnera les différents écarts mesurés à partir <« du centre de la rose : la plus petite somme ^écarts « remporte le grand prix. »

Il n'est pas nécessaire de recourir au calcul pour reconnaître le défaut de cette règle. Tout le monde sent, par exemple, que si deux concurrents tirent

chacun deux balles, et que les écarts du premier soient représentés par 1 et 3, ceux du second par 2 et 2, ce dernier mérite le prix. Ce sentiment instinctif se justifie de la manière suivante : l'écart mesuré pouvant avoir lieu indifféremment dans tous les sens, sa grandeur est proportionnelle, non pas à la droite qui. représente l'écart, mais au cercle décrit du centre de la rose, avec cette droite comme rayon. Or, les surfaces des cercles étant comme les carrés de leurs rayons, le résultat le plus satisfaisant correspondra évidemment au minimum de la somme des carrés des écarts. Dans l'exemple que nous avons choisi, cette somme est 10 pour le premier tireur, et 8 seulement pour le second : ce dernier mérite donc le prix, et les coefficients de régularité des deux concurrents sont entre euxcommel/8:|/l0ou comme 2,83 est à 3,16.

Les écarts respectifs des deux tireurs seraient 1 et 2,7 pour le premier, 2 et 2 pour le second, qu'il faudrait encore accorder le prix à ce dernier ^

§ 1 19. — La cible dans le tir des bouches à feu est ordinairement un rectangle. On donne le nom de point d'impact moyen au point où la surface du but est rencontrée par la trajectoire moj^enne. Celle-ci est réglée par les corrections de la hausse et de l'écart, de sorte que le point d'impact moyen soit le centre du rectangle formé par la cible (sauf les cas d'exception voulus).

' Il est à remarquer que la forme dos cibles et la manière de compter les coups qui les atteignent sont réglées souvent par des considérations qui ne tiennent pas exclusivement U la régularité théorique du tir.

Nommons 2a la hauteur et 2b la largeur de la cible. La probabilité de l'atteindre sera exprimée par :

r- *' ^ (Le ;

h et A' différent, et on pourrait prendre pour leur rapport, d*après la relation

le rapport inverse des écarts moyens (erreurs moyennes) comptés verticalement et horizontalement. Cependant, si Ton se reporte aux causes réelles des déviations, il faut bien reconnaître que cette manière d'apprécier la précision, quoique d*accord avec la théorie admise pour les erreurs accidentelles, est quelque peu arbitraire.

La chance d'atteindre un point quelconque désigné de la cible (en pointant toujours sur le centre) s'obtien* drait en considérant ce point comme défini par un petit rectangle de côtés dx et dy, œ et y étant les coordonnées du point par rapport à des axes passant au point d'impact moyen, et parallèles aux côtés du rectangle. La probabilité cherchée serait ainsi :

- I e- **«;* fix j er- 'i' V dy ,ouBÏh = h'

(a* = a:* -|- y*; rf<r élément de surface).

La probabilité resterait donc invariable si Ton faisait tourner la cible autour du point d'impact moyen.

Le choix de ce dernier point fait évidemment varier

la chance d'atteindre la surface du but. Four déterminer celui qui donnerait la chance maximum, il faudrait chercher le maximum de l'expression précédente , en y introduisant les limites de la surface convenablement exprimées. Le calcul est compliqué ; mais quand h ou Aa est assez petit, l'intégrale se réduit à :

/i«a«) dff

et son maximum est donné par le minimum de ja^dd,

qui est le moment d'inertie. Le point d'impact cherché est donc le centre de gravité de la surface de la cible. Pour un cercle de rayon R, on trouve alors pour la probabilité d'atteindre i «

Les déviations probables verticale et horizontale s'obtiennent par le calcul ordinaire, et sont (§ 109) égales à

3= . et jt -

Il y a donc chance -X- oui d'atteindre le rectangle

ayant pour côtés le double de ces quantités.

Si l'on admet h == h\ on pourra calculer avec la table n^ 2 les côtés du rectangle (qui devient un carré)

Il suffit de poser :

le côté cherché est égal à 2 c. Par un calcul analogue, on obtient le rayon du cercle pour lequel il y a proba-

bilité 1/2 d'atteindre le but; Téquaitioii est dans ce cas

i ^ ;i'r* «= 1 d'où ^«ft« = log 2

et » 0,4472

Afin de simplifier les opérations de calcul, on a dressé à l'École de tir de Brasschaet une Table qui permet de trouver immédiatement, dans celle des valeurs de l'intégrale Pj (n^ 2), la probabilité de toucher un rectangle de dimensions connues. Cette probabilité est donnée en fonction de la moyenne absolue des erreurs, souvent nommée erreur moyenne non quadratique (par opposition à l'erreur moyenne que nous avons considérée jusqu'ici). La moyenne absolue des erreurs est la moyenne obtenue en n'ayant égard qu'à la valeur absolue des erreurs, sans tenir compte de leur signe. On pourrait la représenter par :

Il existe une relation remarquable entre cette moyenne absolue que nous nommerons t\ et l'erreur moyenne e,, relation résultant de la forme analytique de la loi de probabilité. Si l'on suppose, en efi*et, un grand nombre d'observations, e' tend vers

— -= I xer-^ ^ dx ou , - y — \/tzJo ^V^

Or, on sait que : e.* = — -

donc , I yîl

La table de l'École de tir a pour entrée ce qu'on

appelle le facteur de probabilité : c'est le rapport de rerreur dont on cherche la probabilité à Terreur probable, ou, quand le point d'impact moyen est le centre du but, le rapport de la dimension de celui-ci dans le sens considéré, à Terreur ou à la déviation probable. Pour déterminer le facteur de probabilité, on emploie Terreur moyenne non quadratique, qui se calcule bien plus facilement que Terreur moyenne, et tel est l'avantage qu'on a recherché par son usage.

Des deux relations

r=-^— et /i =

combinées avec celles que nous venons de trouver on tire immédiatement :

Il suffit de diviser par r la dimension, a^ du but à considérer, pour obtenir le facteur de probabilité, ~.

Quant à la probabilité correspondante, elle se tire directement de la table n^ 2, en multipliant chacune des valeurs de t par un coefficient constant qu'on trouve en remarquant que

j car t = ah.

— - — = 2,096 : tel est donc le coefficient qui sert à la

transformation de la table n** 2. A l'École de tir, on remplace la valeur de l'intégrale par la chance d'at-

teindre sur 100 coups, ce qui revient à multiplier les nombres de la colonne correspondante par 100, Enfin on ramène, par interpolation, les chiffres de la colonne « facteur de probabilité f» à varier par dixième depuis 0. Voici, d'ailleurs, un spécimen de la table :

FACTBUR de

probabilité