PRÉCISION DES FONCTIONS DE QUANTITÉS OBSERVÉES

§ 120. — Dans la pratique, il est très- rare qu'il suffise d'avoir déterminé la valeur la plus probable des résultats immédiats fournis par l'observation, et d avoir calculé leur précision : presque toujours les grandeurs observées doivent servir à calculer d*autres grandeurs qui en dépendent ; il nous faut donc maintenant, « con- ^ naissant Terreur moyenne d'une quantité observée, « trouver celle d'une autre quantité, fonction connue « de la première. »

Soit e Terreur moyenne de la fonction i^; P son poids ;

— o*, o", o'" ... les résultats d*observation ;

— e', e", e'" . . . leurs erreurs moyennes ;

— ft P"> P'" • • • ^6"^ poids :

il s'agit de trouver t au moyen de e', e", s'" ...

et P — v'^V'\f' •••

On a d'ailleurs « = /" (o', o", o''' . . .)

ou plus généralement F («, o', (>", o'" ,..)==: 0.

Pour commencer par la fonction la plus simple, traitons d*abord le cas où Ion a

on aura évidemment « d= b = o' =t: e' + o" ^ s" > donc di e =s :t e' :t e"

PRÉaSION DES FONCTIONS. 337

Quelle que soit la manière dont on combine les signes, on n aura jamais, après avoir élevé les deux membres au carré, que deux résultats possibles, savoir :

e« = e'« 4- 2eV' + s"«, e« = e'« — 2e'E" + e"«.

Puisque l'erreur moyenne de la fonction peut avoir indifféremment l'une ou l'autre de ces deux valeurs, il faut l'égaler à leur moyenne, et poser en conséquence

Nous aurons en outre, en prenant pour unité de poîds une quantité constante, mais arbitraire :

ou. P==-?^- (n")

Le calcul serait le même si Ton avait car on aurait encore

ce qui exige qu'on pose

Il est évident que la signification de l'erreur moyenne et du poids ainsi déterminés d'une fonction, ne peut se comprendre que par assimilation à ce qui a été dit pour les résultats immédiats des observations. La similitude se trouve dans l'ordre de grandeur de l'erreur de la fonction et dans la manière de la calculer.

§ 121. — Premier exemple. — Soit à calculer un angle, u, par la somme de ses deux parties, o' et o". On a mesuré o' = 109*^41' 4",44 par 25 répétitions, avec un théodolite qui donne ±4" pour Teireur moyenne d'une observation simple. On amesuréo" = 40*'26'34",26 par 30 répétitions, à l'aide d'un théodolite dont Terreur moyenne est db 9" : la valeur la plus probable que l'on puisse déduire de ces observations est donc u = 150** r 38",70.

Pour avoir la précision de ce résultat, calculons son poids, en adoptant pour unité de poids l'observation simple faite au premier théodolite. Alors p' = 25;

p" = 1^ X 30 = 5,92 (§ 117, septième exemple ; pre-

mière remarque), et par conséquent (n")

Si nous avions préféré calculer l'erreur moyenne'du résultat, nous aurions eu d*abord (k^)

Quant à celle des deux angles partiels, elle est

Nous serions parvenus au même but, indépendamment du poids, en calculant d'abord e' et e", et ensuite e par (n)«