PRÉCISION DES FONCTIONS

§ 122. — On détermine de la même manière qu'au § 120 la précision de la somme algébrique de plus de deux quantités observées. Ici, on aura évidemment

OU bien, en suivant notre notation habituelle,

Elevant au carré, et observant que tous les doubles produits doivent disparaître comme affectés du double signe, on aura

On en déduit, comme ci-dessus,

ou

p p p '"Pn

j .Jt

(nvi)

(BVii)

Pour le cas particulier où les observations, en nombre n, sont d'égale précision, on a

in , ,

Ces dernières formules résument un théorème bien important dans la pratique, savoir :

« Toutes les parties observées étant également pré- « cises, la précision de leur somme algébrique diminue, «c par leur assemblage , comme la racine carrée du « nombre des parties augmente ; et le nombre d obser-

« valions nécessaires pour obtenir une même précision « croît comme le nombre des parties. »

Supposons que, pour déterminer la différence de longitude entre Bruxelles et Mannheinij on ait besoin de quatre stations intermédiaires : il faudrait, à chaque station, plus de 350 signaux, pour avoir une précision égale à celle que Gerling a obtenue {§ 121) entre Gôttingen et Mannheim,

Lorsqu'on doit mesurer un angle par parties, il faut, pour l'obtenir aussi exactement que si on lavait observé d'un seul coup, répéter chaque partie autant de fois qu'il y a de parties.

La même chose se présente dans la mesure des bases : toutes circonstances, égales, les longues régies sont préférables aux petites .

Il est clair qu'il y a avantage à ce que toutes les parties soient également exactes \ car si l'on suppose que la l&omme des poids soit constante, c'est-à-dire que le nombre total de mesures des différentes parties reste le même, la valeur de P (n^") sera la plus grande possible quand on aura :

ce qui donne, comme on devait s'y attendre,

Si tous les termes sont égaux à l'exception d'un terme p„ plus petit que les autres, et égal à" (j étant

PRÉCISION d'une fonction LINÉAIRE. 343

> 1), alors l'expression de - peut se mettre sous la

forme ^ p'

et par rapport au cas où tous les p étaient égaux, P diminue dans la proportion de n à (n -|- g — 1). Ceci montre que l'intervention d'une partie moins exacte que les autres est d'autant plus pernicieuse que les parties sont en moins grand nombre ; nous ne serons donc plus étonnés maintenant de la petitesse de P dans le premier exemple du § 121, puisque là, pour deiuv parties seulement, on avait ? > 4.

Enfin, lors même que toutes les parties sont égales en poids, l'expression

montre encore que le nombre de ces parties doit être aussi petit que possible.

Ces remarques sont particulièrement d'application dans la pratique du nivellement.

§ 123. — Arrivons maintenant à la fonction

d a été observé directement; a' est un coefficient connu, de sorte que u est un multiple connu de o'. — Nous avons dans ce cas

ttrbs = a'(o'dbe');

d'où e« = a'*e'«;

e = -j-a' g' ... (nxj

Nous avons insisté sur ce que o' était n\uUiplié par le coefficient a'. En effet, ce coefficient peut, en général, avoir deux significations : Tune, que nous venons de donner; lautre, qui indique que o' doit être ajouté plusieurs fois à lui-même. Au point de vue qui nous occupe, ces deux cas diffèrent essentiellement; car, en adoptant la dernière signification, o' aurait été observé a fois Tune après l'autre, et u se composerait de a' parties égales, observées isolément : nous retomberions donc dans le cas particulier du § 117 et nous aurions alors

Pour mieux faire saisir cette différence, supposons que nous voulions connaître la longueur d'une colonnade régulière, en mesurant seulement un des 32 entrecolonnements qui la composent : nous aurons dans ce cas

tandis que, si nous avions mesuré successivement tous les entre-colonnements et que nous les eussions additionnés, nous aurions eu, en supposant que Terreur moyenne d'une mesure résultant des 32 mesures faites fût aussi b\

Le temps qu'on gagne dans le premier cas est donc compensé par une réduction de plus des 4/5 dans la précision.

PRÉCISION d'une fonction LINÉAIRE. 345

Le but d'une triangulation est en général de calculer une longueur /, au moyen d une base -, mesurée directement. Soit e Terreur probable de lunité de longueur, celle de la base sera

et comme la longueur calculée est déduite de la base par voie de multiplication, son erreur probable sera

m s |/ — ^ e ylm ,

îïi

(en supposant les angles parfaitement observés). Si Ion avait^ mesuré directement la longueur /, l'erreur pro^ bable de cette mesure n'aurait été que e |/^Z : on en conclut que, lorsqu'on veut obtenir une longueur le plus exactement possible, il faut la mesurer directement et sans le secours de triangles ; mais ce procédé, très-incommode dans tous les cas ordinaires de la géodésie, est presque toujours entièrement impraticable.

Si Terreur probable de la base devenait |/m fois plus petite, celle de la longueur calculée se réduirait à e {/l : ainsi, il faudrait mesurer m fois la base et prendre la moyenne des m résultats, pour en déduire la longueur f, aussi sûrement que par U7^e mesure directe.

§ 124. — Le paragraphe précédent renferme la solution de cette question : « Déterminer la précision <* d'une fonction linéaire quelconque de plusieurs quan- « tités observées. »

Soit u^ a' o' + a" o" + a'" o'" + ... ,

les coefficients a', a", a'" devant toujours être considérés comme multiplicateurs.

Conformément à la marche déjà suivie, nous aurons

u + t = a'o' + a' z' + a" o" + a" e" + a'" o'" + a'" e'" + ... ; d'où 8» = a'« e'« + a"« s"» + o"'« e'"« + ... ,

en négligeant tous les produits de la forme 2a V e'e". Nous aurons donc, en définitive.

s==t|/[o«e«] ... (nx«)

P = PP P - /nx")

Pour le cas particulier où e' = e" = e'" ... et par suite p* = y = p'" ... il vient

(n^tvi)

Exemple. — Pour les petites triangulations locales qu'il a faites dans la Hesse électorale, Gerling nous apprend [Beitràge zur Géographie von Kurhessen) qu'il employait à la mesure de ses bases cinq règles d'une toise, une règle de 3 pieds, une de 2 pieds et une de 1 pied. En \eé étalonnant avec la toise du Pérou, il avait, par des opérations réitérées, déterminé nonseulement la correction de chacune de ces mesures ,

PBÉcrsios d'dse fonction liséaire.

mais encore l'erreur moyenne de chacune i rections. Ce travail lui avait donné :

T. — 1 lobe + 0,0156 ligne ... £, = O.OOD

Ti — 1 \- 0,0030 — w 0,000

Tj — 1 1- 0,0205 — ïs = 0,002

(i = 3 pieds — 0,045 — n, =« 0,000

(, = 1 i- O.OOt — »i, = 0,000

11 procédait, dans<Ia mesure d'une base, p de cinq toises, et à la &a de l'opération, il trois dernières règles, s'il y avait lieu. Outre a encore ici deux espèces d'erreur à craindre qui se répètent à la pose de chaque règle, et qi estime au plus à 0'*-,01 = l; 2" celle qu'o aux extrémités de la hase, et qu'il porte ai 0i^-,15 = ^.

Une base ayant été mesurée, on peut, ( gueur, déduire le nombre de fois que chaqi été portée. Ainsi, pour une longueur plus g 12^ S"* et plus petite que 13 toises, T, et T» oi tées chacune trois fois; T3, T^, T5, deux fois; fois. Les carrés de ces nombres doivent dom multipliés par les carrés des e correspondantE l'erreur / se répétant à chaque pose, nous de ajouter encore autant de fois ^ qu'il y a eu d sitions, c'est-à-dire 13^, puisque 14 règU posées ; enfin, il faut en outre ajouter ^, et e racine carrée de la somme. Nous avons donc,

tive, pour Terreur moyenne de la petite base en question,

6« = 9 (0,0008)« 4- 9 (0,0006)« + 4 (0,001 Oj« + 4 (0,0006)« + 4 (0,0023)» + (0,0003)» + (0,0002)« + 13 (0,0i)«.+ (0,45)» ;

d'où e = 0"8-,1543.

On voit que les erreurs d'étalonnage et de juxtaposition disparaissent vis-à-vis de l\ dans la mesure des petites bases. Il y a plus : on devrait faire entrer dans cette valeur de i' la diflSculté de centrer rigoureusement les instruments goniométriques au-dessus des extrémités de la base, et alors on devrait probablement décupler la valeur de l\ et la porter à l"*-,5.

§ 125. — Nous arrivons enfin au cas général : « Déterminer la précision de m, lorsque u est une fonc- « tion connue quelconque des quantités observées o', « o", o"' .... auxquelles nous attribuons les erreurs « moyennes e', e", e'" »

Pour résoudre ce problème, rappelons-nous que les observations étant supposées aussi exactes que possible, on peut considérer les erreurs accidentelles comme év^anouissantes, ou infiniment petites vis-à-vis des grandeurs observées. Ces erreurs, aussi bien que les erreurs moyennes qui en dérivent, sont donc de véritables différentielles des quantités observées.

Or, dans le cas le plus général,

une simple différentiation partielle nous permettra toujours d'exprimer du, en fonction de do\ do'\ cto'"....

PRÉCISION d'une fonction QUELCONQUE. 349

par une équation linéaire ; et une fois les coefficients de cette équation formés, nous n'avons plus qu'à poser du = ± e ; rfo' = db e' ; dd^ = d= e". . . pour retomber sur le dernier cas que nous avons traité (§ 124). Nous avons donc

Faisant ^^v ^^ -^v*

et remplaçant les différentielles par les erreurs moyennes, on a

Élevant au carré, et négligeant les doubles produits à cause du double signe dont ils sont naturellement affectés :

ei = r« e'* + /"« e"« + r'« e'"« + ...

ou e = dzl/[/ie«] ... (n^vn)

(nxviii)

Nous retrouvons ici nos deux formules (n*" et n*"'), ave^ la seule différence que, dans ces dernières, les a étaient connus à priori et donnés, tandis qu'ici nous devons calculer les l par différentiation et substitution. Si les quantités observées sont d'égale précision, nous aurons

Le cas que nous venons de traiter englobe tous ceux dont nous nous sommes occupés dans ce chapitre, et il

eût peut-être été préférable, sous le rapport analytique et au point de vue de la généralité, de commencer par lui, et d'en déduire tous les autres comme cas particuliers. Mais la marche synthétique que nous avons suivie satisfait mieux l'esprit , par la clarté successive qu'elle amène dans le sujet.

Exemple. — On a mesuré dans un triangle le côté A C = ô == 106*, avec une erreur moyenne de 0*,06;

on a observé l'angle B = 29^39' par 4 répétitions, et Tangle C = 120^7', une seule fois. L'instrument goniométrique employé a une erreur moyenne de 2'. — On demande l'erreur à craindre sur la longueur calculée du côté A B = c.

Conformément aux notations précédentes, nous avons :

Pour trouver nos /', f", t'\ différentions la fonction

h sin C SI II B

il vient

dc=^^-^^dJb — c, ColgBdB + c. ColgCdCt sin B

Dans cette formule, db est un nombre qui exprime une petite grandeur linéaire; rfB, dG sont des nombres