ii i

§ 19. — La question suivante servira à mettre en lumière la simplicité qui résulte de la considération des probabilités composées, et donnera lieu à quelques remarques utiles.

On a deux urnes, l'une contenant m boules blanches et m' boules noires; l'autre n boules blanches et n' boules noires : on demande la probabilité d'amener une boule blanche, en tirant au hasard dans l'une ou dans l'autre de ces urnes.

La probabilité que le tirage se fera dans la V^ urne est 1/2; celle d'en extraire une boule blanche est

m -\- m' ' la probabilité du concours de ces deux événements est donc

2 \m -{- tn'l

Pour la même raison, la probabilité d'extraire une boule blanche de la seconde urne est

Donc la probabilité d'amener une boule blanche est

Celle d'amener une boule noire serait

2 1 wi -|- m' n -\- n' )

La somme de ces deux probabilités est l'unité, parce qu'en effet on doit nécessairement amener une boule blanche ou une boule noire.

On se tromperait évidemment si l'on prenait pour la probabilité d'amener une boule blanche, le rapport du nombre total des boules blanches contenues dans les deux urnes, au nombre total des boules, sans égard à l'agencement particulier des combinaisons, résultant de la répartition des boules dans deux urnes différentes. En effet, quand les boules sont séparées, la probabilité de tirer une quelconque des boules placées dans la première urne est égale à celle de tirer une boule quelconque de celles placées dans la seconde ; mais quand on mêle les boules dans une seule urne, les résultats changent, du moins en général.

Je dis en général, car cette inégalité des résultats fournis par les deux méthodes disparaît : P quand le nombre des boules est le même dans les deux urnes ;

2° lorsque le rapport entre le nombre des boules blanches et des boules noires est le même dans les deux urnes.

En effet, la probabilité que nous avons trouvée plus haut.

2 I w + ni' n -f- n' ]

peut se mettre sous la forme

ou bien, en faisant

m -\- m' = r \ n -\- n' == s i\ms-\-nr

2 ' r s Résultat qui diffère en général de la fraction

vi-\-n r-\-s

formée en divisant le nombre des boules blanches des deux urnes par le nombre total des boules. Mais les deux valeurs concordent :

1° Lorsque r = s; car elles deviennent alors

m -{-Il 2r '

2° Lorsque m! = k m- n' = ^ n; car alors on a r =^m {\ -\- k)\ s = n (\ -\-k), et les deux expressions se réduisent à

Si l'on voulait, dans le cas général de rapports inégaux, résoudre le problème par la considération

des probabilités simples, on pourrait le faire en commençant par égaliser le nombre de boules contenues dans les deux urnes, sans changer le rapport des boules blanches aux boules noires dans chacune d'elles. On y parvient en réduisant au même dénominateur les deux

fractions — et-. Considérant donc les boules comme

r s réunies dans une même urne, on a, pour la probabilité

d'extraire une boule blanche,

ms-\-nr \[ms-\-nrl

rs-\-rs 2| rs \

Supposons, par exemple, que la première urne renferme une boule blanche et deux boules noires; la seconde cinq blanches et trois noires ; la probabilité

d'amener une boule blanche sera —, inférieure à -,

quoique le nombre total des boules blanches excède celui des boules noires.

Application numérique. — On prend au hasard deux nombres A et B de sept chiffres (par exemple, les parties décimales de deux logarithmes dans une table de Callet); quelle probabilité y a-t-il que la soustraction arithmétique A — B puisse s'effectuer sans emprunt (y compris celle du chiffre des plus hautes unités de B)?

Chaque chiffre de A pouvant avoir les dix valeurs comprises de zéro à 9, aussi bien que chaque chiffre de B, il y a 100 cas possibles pour chaque soustraction partielle; on admet que même le V chiffre à gauche puisse être 0, afin de comprendre les cas analogues à celui des parties décimales d'un logarithme.

Si l'un des chiffres de A est zéro, il faudra, pour qu'on ne doive pas recourir à l'emprunt, que le chiffre correspondant de B soit zéro, ce qui fournit wi seul cas favorable.

Si le chiffre de A est 1 , le chiffre correspondant de B pourra être 0 ou 1 , ce qui donne deux cas favorables

Enfin, si le chiffre de A est 9, celui de B pourra être compris entre 0 et 9, et il y aura dix cas favorables.

La probabilité que la soustraction d'un chiffre s'effectue sans emprunt est donc

i + 24-3... +40 41 ÏÔÔ 2Ô'

La probabilité que cette soustraction s'effectue simultanément pour les sept chiffres est donc

fraction comprise entre

— el — 66 65

Si nous avions supposé qu'on prît deux; nombres

ordinaires, de sept chiffres, il aurait fallu exclure le

cas où le premier chiffre de chaque nombre pouvait

être un zéro. Le nombre des chances possibles, pour la

dernière soustraction partielle, se serait réduit à 81 et

le nombre des chances favorables à 45 : la probabilité

cherchée serait donc devenue

Enfin elle serait (M si le nombre soustrait était supposé le plus petit des deux.

Même solution pour le cas où l'on demanderait que la som7ne des deux nombres se fît sans report.

§ 20. — Prenons encore, comme exercice, un problème auquel donne lieu le tirage annuel pour le recrutement militaire.

N jeunes gens sont inscrits sur la liste ; parmi eux il s'en trouve n qui ont des motifs légaux d'exemption ; le contingent est de c; on demande la probabilité que le n° X partira ?

Nous entendons la question dans ce sens que celui qui a le n° â? n'étant pas susceptible d'exemption et -la répartition des (x — 1) numéros antérieurs n'étant pas connue, on cherche à évaluer la probabilité qu'il a de partir.

Les (N — 1) numéros autres que le n^ x pouvant être départis d'un façon quelconque entre (N — 1) inscrits, le nombre des chances possibles est A(n i).

Pour que le u° x ne parte pas, il faut qu'il y ait au moins c jetïnes gens valides parmi ceux qui ont tiré les (x — 1) numéros antérieurs. Cherchons donc le nombre d'arrangements de (N — 1) éléments pris (x — l) à (x — 1) qui renferment au moins c éléments sur (N — n — 1) désignés, ces derniers correspondants aux jeunes gens valides moins celui qui a le n^ x. Le nombre cherché est, § 9, 4^ :

^^c,(c-fl),(c + 2)...(;r-i)^.'^'

Or, à la suite des {x — 1) numéros de chacun de ces arrangements, s'ajoutent après le n^ x, pour compléter

une répartition entière des N numéros, (N — œ) numéros qui peuvent être distribués d'une façon quelconque entre le même nombre d'inscrits restants; par conséquent, le nombre M de chances favorables est

(n — x) et la probabilité cherchée égale

Supposons N = 10, n ^ 3, c = 5 et ^r ^ 7; il

viendra :

r^ = 6C^.3CjXA, etrg = 6C^X.43

d'où:

et la probabilité cherchée sera — .

Si la question devait s'entendre dans ce sens, qu'avant le tirage, on demanderait la probabilité que celui auquel écherra le n^ x sera incorporé, il faudrait d'abord remarquer que le nombre des chances possibles deviendrait A^; ensuite, pour déterminer le nombre des chances favorables, on considérerait deux cas, celui où le n" œ serait tiré par un inscrit valide et celui où il écherrait à un des jeunes gens susceptibles d'exemption. Le premier cas est le même que celui que nous avons traité ci-dessus; mais chacun des (N — n) inscrits valides pouvant détenir le n° œ, le nombre des chances favorables devient M X (N — n). Pour le second cas, il suffit de former tous les arrangements de (N — 1) éléments et d'y introduire un N™® élément

correspondant à l'inscrit réservé, susceptible d'exemption et auquel est supposé échu le n° x. Chacun des n inscrits qui ne peuvent être incorporés pouvant être ce N"®, le nombre possible des chances de l'espèce est

Ainsi, la probabilité cherchée devient :

MX{N — n) + A, ,^Xn (n — l)

. Pour l'exemple numérique ci-dessus on aurait :

84 X 10 ' ÏÔ~24'

§21. — Quelquefois des considérations particulières, tirées des conditions physiques de la question, dispensent de toute énumération des chances et de tout calcul. Le jeu de passe-dix en offre un exemple. On jette trois dés sur une table, et un joueur parie que la somme des points amenés excédera 10. Pour connaître ses chances de gain, il faudrait, parmi les 216 combinaisons possibles, énumérer celles qui donnent une somme de points supérieure à 10. Mais remarquons que les points sont disposés sur les dés ordinaires, de manière que la somme des points marqués sur deux faces opposées soit constamment 7, l'as étant opposé au six, le deux au cinq, et ainsi de suite. Et quand même les fabricants de dés n'auraient pas adopté cet usage, on pourrait toujours, sans changer les conditions du sort, admettre qu'on emploie des dés où les

points sont ainsi arrangés. Dans cette supposition, la somme des points amenés, et la somme des points qui se trouvent sur les faces opposées, par lesquelles les dés reposent sur la table, font ensemble 21. Donc, à chaque combinaison qui fait gagner le joueur pariant pour le passe-dix, en correspond une autre qui le ferait perdre, savoir : celle qu'on obtiendrait en retournant les trois dés, et en faisant la lecture sur les faces opposées. Donc, chaque joueur a autant de chances pour lui que contre lui.

§ 22. — Nous terminerons ce chapitre par quelques exemples de questions dans lesquelles les chances possibles ne peuvent être énumérées en unités discrètes (page 23). Ces questions se résolvent généralement au moyen de considérations géométriques parfois trèssimples.

1° Sur un sol pavé de carreaux polygonaux on projette au hasard une pièce de monnaie, et un joueur parie pour franc-carreau, c'est-à-dire, pour que la pièce, après sa chute, repose tout entière sur un seul carreau. L'adversaire parie qu'elle tombera sur un joint. — Si l'on inscrit dans l'un des polygones un autre polygone qui ait tous ses côtés parallèles à ceux du premier, et distants de ceux-ci du demi-diamètre de la pièce, il est clair que le premier joueur gagnera lorsque le centre de la pièce tombera dans l'intérieur du petit polygone, et perdra lorsqu'il tombera entre les contours des deux polygones. D'ailleurs, comme les compartiments polygonaux sont supposés égaux, il suffit d'en considérer

un seul; et dès lors, on voit que la probabilité de gain du premier joueur est mesurée par le rapport de l'aire du petit polygone à celle du grand.

2° Considérons une série de parallèles équidistantes, sur lesquelles on laisse tomber au hasard une aiguille dont la longueur est au plus égale à l'intervalle entre deux parallèles. On demande la probabilité que l'aiguille reposera sur une des parallèles.

Nous n'avons évidemment à nous occuper que de la parallèle la plus voisine du centre de l'aiguille ; car si l'on considérait toutes les autres, il faudrait multiplier par un même facteur le nombre des cas favorables et celui des cas possibles, ce qui ne changerait pas la probabilité.

Soit l la longueur de l'aiguille ; a l'intervalle entre deux parallèles : on a par hypothèse l < a. On peut, pour représenter géométriquement une position quelconque de l'aiguille, imaginer, son milieu étant en un

/fi

point c, qu'elle figure un diamètre d'une circonférence dont c est le centre ; si l'on suppose c à une distance quelconque de l'une des parallèles, c'est-à-dire occupant successivement tous les points de la perpendiculaire m n, toutes les chances à comparer dans la ques-

tien pourront être réduites à celles qui se produiront dans ces diverses positions de c, car il est évident que ces chances se représenteront dans le même rapport pour une autre perpendiculaire quelconque m' n'.

Soit ^ l'angle entre cm et la position de Taiguille quand celle-ci aboutit, sans la couper, à la parallèle m m'. Pour la position du milieu de l'aiguille en c, la probabilité de la rencontre comprendra, dans le cercle entier 2 tt, l'amplitude 2 «p, pour chacune des deux extrémités de l'aiguille; elle sera donc égale à :