TT TT

La valeur de ^ est évidemment la même pour un point c' distant de n d'une quantité égale à cm ; nous pouvons donc nous borner à rechercher la somme des

probabilités analogues à—? pour tous les points compris entre m et le milieu de m n^ sauf à doubler cette somme pour obtenir la probabilité demandée.

o varie avec cm, car on a

an = - cos »;

afin de pouvoir introduire cette relation dans l'expression de la probabilité, remplaçons

If 2a)Xcm/cos?X?

— par — ou .

TT n X cm n.cm

Quand cm varie de o à - , 9 varie de - à 0 et reste 0

pour toutes les valeurs de cm, plus grandes que-. La somme des probabilités analogues à

/ cos f X f n.cm

s'obtiendra donc en prenant au numérateur o, depuis o jusque -, et au dénominateur cm, depuis - jusque o.

On arrive ainsi à — et, enfin, en doublant cette frac-

tion, on a la probabilité cherchée de la rencontre de

l'aiguille et d'une des parallèles, égale à .

a îT

3^ Si les étoiles dont l'espace céleste est parsemé s'y trouvaient distribuées au hasard ; s'il n'existait aucune liaison physique entre elles, certains couples pourraient nous paraître formés de deux astres très-rapprochés, présentant l'aspect d'une véritable étoile double ; mais ce cas fortuit devrait être extrêmement rare. Le calcul suivant montre quelle est, pour certaines limites d'écartement, la probabilité de la formation d'une de ces étoiles doubles optiques.

La terre n'est pas le centre de l'univers étoile, mais le nombre des étoiles étant indéfini, la répartition de ces astres autour d'elle, s'ils sont distribués dans l'espace d'après les lois du hasard seul, est la même, en vertu de la loi des grands nombres (voir plus loin), que si elle en était réellement le centre.

Supposons que l'on compte, sur toute la sphère céleste, n étoiles comprises entre les P*" et N™* ordres de grandeur : on pourra, en les combinant deux à deux, former un nombre de couples donné par l'expression

Ces couples seront espacés sur tout le ciel ; mais, si l'on n'a égard qu'à ceux dont l'écartement r (exprimé

en secondes) serait le rayon d'un petit cercle occupant la m™® partie de la surface du ciel, il ne devra moyennement se trouver que

étoiles doubles optiques, pour lesquelles l'écartement des deux composantes sera inférieur ou égal à r secondes.

La surface de la sphère, exprimée en secondes, est 47: (206265f ; le cercle, décrit avec la distance r comme rayon, aura pour surface ur*, et la portion du ciel qu'il couvrira sera

Substituant cette valeur de m dans l'expression précédente, on trouve*

pour le nombre d'étoiles doubles optiques, distantes de

r secondes au plus, que doit présenter la voûte céleste.

Or, d'après W. Struve, le nombre d'étoiles des huit

premiers ordres ne dépasse pas 100000. En outre, dans

sa revue générale de la partie du ciel comprise entre le

pôle nord et le 15* degré de déclinaison australe, le

même astronome a trouvé :

l'e classe,

entre 0"

et 1" d'écartement, 62 étoiles doubles.

et 2 — 116 —

et 4 — 133 —

et 8 — 130 —

et 12 —54 —

et 16 — 52 —

et 24 — 54 —

et 32 — 52 —

Tandis que, d'après les probabilités, il n'aurait dû trouver, dans cette zone céleste, que les nombres suivants :

l''^ classe — étoile double.

Ainsi, sur les 653 étoiles doubles observées par Struve, il est probable que 48 au plus sont accidentelles ou optiques; et les trois premières classes, qui, prises ensemble, en contiennent 311, ont pouf elles la probabilité d'en renferiner une au plus ! On voit donc que les groupes binaires très-resserrés, qui existent au ciel, ne sont pas un pur effet du hasard, et que leur nombre est infiniment supérieur à celui qu'il serait rationnel d'attendre. Il faut en conclure nécessairement qu'il existe un lien physique, établissant une dépendance mutuelle entre les composantes de l'immense majorité de ces groupes.

On parviendrait à la même conclusion par la remarque suivante : Si la formation d'un groupe binaire n'était qu'un phénomène fortuit, la richesse de chacune des classes devrait être proportionnelle à la surface de la zone céleste qui lui correspond. Dans ce cas, les

nombres trouvés par Struve seraient entre eux comme

Or, la huitième classe, bien loin d'être 448 fois plus riche que la première, n'en forme que les cinq sixièmes.