CAS DES FONCTIONS NON LINÉAIRES

§ 136. — La méthode des moindres carrés, telle que nous l'avons développée, suppose que les relations primitives qui existent entre les inconnues sont de forme linéaire. Elle se compliquerait beaucoup et deviendrait matériellement inapplicable, pour toute autre forme. Heureusement on peut, au moyen d'une solution indirecte, ramener ce dernier cas au premier.

Pour cela, parmi toutes les équations fournies par l'observation, on en choisit autant qu'il y a d'inconnues, et on détermine les valeurs de ces inconnues par les procédés ordinaires de l'algèbre. Très-souvent même, ce travail préparatoire est inutile, car on connaît déjà les valeurs approximatives des inconnues, et les observations n'ont pour but que de corriger ces valeurs. C'est le cas qui se présente, par exemple, lorsqu'on emploie les observations des planètes, pour corriger les tables de leur mouvement.

Soient donc X, Y, Z... les valeurs approximatives de œ, y, z... données à priori, ou déduites d'un premier calcul purement algébrique : il s'agit de calculer les corrections œ\ y\ z'. . . dont ont besoin ces premières suppositions. On a, par conséquent.

Introduisons les valeurs provisoires dans les équations proposées ; elles donneront

Vo =F (X,Y,Z...) V'o =F' (X,Y,Z...) V"o = F" (X,Y,Z...)

c'est-à-dire e équations entre i inconnues, qui permet-

tront de calculer les valeurs numériques des fonctions

Si nous introduisons X -j- a;', Y -{- y\ Z -\- z'... dans nos équations primitives, au lieu de a?, y, z... nous obtiendrons :

V" = F"(X + x'; Y + t/'; Z + 2' ...)... etc.;

ou bien, en développant d'après le théorème de Taylor, et négligeant les puissances supérieures des petites corrections x', 'i/, z',..

^ - ^» + dX ^ + dY ^ + dZ * -

^ ~^»+ dX "^^ dY ^ + dZ "^ - X't — V"« -4- ^^"^ 3/ 4- ^ v' 4- — °- 2' ptr

^ ~^"+^r^+ dY ^ + dz "^ ••^^^'•

dVo dVo dVo ^ ne sont autre chose que les dérivées pardX ' dY ' dZ ^ ^

tielles de la fonction primitive V, dans laquelle on

a substitué X, Y, Z... à x, y, ^...; il en est de même

de — -, — ^... etc. Désignant ces quantités connues par

a, h, c..., a\ h\ c'..., on obtient entre les corrections œ\ ?/, z' ... des équations de la forme

V = Vo -\- ax' -\- by' + c%' + ...

V = V'o 4- a'x' 4- Vxf + f^z' + ...

V" = V"o + a"a;' + h" y' + d'%' +'... etc.

Soit 0 la valeur de V fournie par l'observation ; nous aurons

0 — V = 0 — Vo — [ax' 4- hxf + cz' ...) ;

faisons y — O = a, quantité inconnue ;

Vo — 0 = îi, quantité connue :