CHAPITRE III
DES LOIS DE LA PROBABILITÉ MATHÉMATIQUE DANS LA RÉPÉTITION DES MÊMES ÉPREUVES.
§ 23. — On entend par épreuves répétées celles pendant toute la durée desquelles les chances restent invariables.
La solution de toutes les questions qu'on peut se proposer au sujet des épreuves répétées, se trouve implicitement dans la règle des probabilités composées
Soit a le nombre de chances d'un événement A (par exemple, le nombre de boules blanches contenues dans une urne); b le nombre de chances de l'événement contradictoire B, ou le nombre de boules noires de l'urne, que nous supposons, pour plus de simplicité, ne renfermer que des boules de ces deux couleurs. Les probabilités d'un tirage simple seront respectivement a b
et on aura, par hypothèse,
Les probabilités pour un tirage répété s'obtiendront en combinant chaque probabilité simple avec elle-
même et avec l'autre, et offriront par conséquent les quatre valeurs suivantes :
pp;pq;qp;qq.
Mais si l'on fait abstraction de Yordre dans lequel chaque événement simple se produit pour former l'événement composé, alors les deux probabilités p q, q p se réunissent en une seule, et l'événement composé dans un tirage double présente les trois probabilités
p^; 'ip q; q^;
qui ne sont autre chose que les termes du développement de (p-\-qY.
Les probabilités correspondant à un tirage répété trois fois, ou triple, s'obtiendront en combinant de nouveau chacune des précédentes avec les probabilités simples p et q, et deviendront évidemment
jo'; ^p*q; ipq^; q^;
si Ton fait encore abstraction de l'ordre dans lequel les événements simples se produisent.
L'ensemble de ces quatre probabilités représente le développement de (p-\-q)'^', chaque terme correspondant respectivement aux événements composés
En général, si l'on désigne par m le nombre des épreuves ou des tirages, les différents termes du développement de (p-j-^')"* exprimeront les probabilités de tous les événements composés que ces épreuves peuvent présenter. Si l'on considère, en effet, (m — n) répétitions du premier événement simple et n répétitions de l'événement contradictoire, la probabilité correspon-
dante à un ordre quelconque de succession de ces répétitions sera évidemment p"^^-^ q^^ et comme dans les m épreuves tous les ordres de succession sont également possibles, la probabilité de l'événement composé sera égale à p'" ~ ** ç" multiplié par
m Km
(m — n) A(w -n)Xn A„ ou (§ 10)
qui est le terme général du développement de (jo-f-g')'". Effectuons ce développement
, m (m — i) fm — 2) . . . (m — }i-\-i)
Le premier terme ^'^ indique donc la probabilité que,
sur le nombre m d'épreuves, l'événement A arrivera
m fois de suite.
Le second terme
-pm-iq
représente la probabilité que l'événement A arrivera {7)1 — 1) fois et l'événement B une fois... et ainsi de suite.
Il est clair que, si l'on voulait établir une succession déterminée dans l'arrivée de chaque événement simple, il faudrait supprimer les coefficients numériques ; mais nous n'avons pas à considérer ce cas. . ,
On voit que, « dans le développement du binôme, « chaque terme exprime la probabilité d'un événement « composé de A répété autant de fois que le marque
« l'exposant de la lettre p, et de B répété autant de « fois que le marque l'exposant de la lettre q. »
u La somme des termes du développement, depuis « le premier jusqu'au terme général inclusivement, « exprime donc la probabilité que, dans m épreuves, « l'événement A n'arrivera pas moins de (m — n] fois « (arrivera (m — n) îois ou plus), ou, ce qui revient « au même, la probabilité que l'événement contraire, « B, n'arrivera pas plus de n fois (arrivera n fois ou « moins) (§15). »
Ce théorème est de la plus haute importance.
Si p, q, r désignent les probabilités simples de trois événements A, B, C, dont l'un doit nécessairement résulter de l'épreuve aléatoire, de sorte qu'on ait
le facteur binôme p -\- q, dans le développement précédent, se trouvera remplacé par le facteur trinôme p -\- q -\- r, et ainsi de suite. — Nous n'insistons pas sur cette généralisation, parce qu'elle est inutile à notre but.
La probabilité p^ diminuant à mesure que m augmente (et cela d'après une progression géométrique dont la raison est p), il s'ensuit que la reproduction multiple d'un événement peut acquérir une probabilité très-faible, bien que l'événement simple soit assez probable par lui-même. Supposons qu'un fait ait été transmis successivement par vingt personnes, de telle sorte que la première l'ait raconté à la seconde, la seconde à la troisième, et ainsi de suite ; admettons d'ailleurs que le degré de croyance à accorder à chacune d'elles, ou
la probabilité de véracité de chaque récit, soit j^ : la probabilité du fait qui nous aura été transmis de cette manière sera
c'est-à-dire qu'il y aura plus de huit à parier contre un que le fait est faux, du moins tel qu'on le raconte.
Ce décroissement considérable de la probabilité peut très-bien être assimilé à l'oblitération de la clarté des objets, lorsqu'on les regarde à travers plusieurs lames de verres superposées. Une seule lame ne diminue presque pas la clarté; mais lorsqu'on augmente progressivement leur nombre, elles arrivent bientôt à intercepter totalement la lumière. Les historiens n'ont pas toujours égard à cette circonstance, lorsqu'ils parlent de faits dont la tradition a dû passer par plusieurs générations ; et bien des événements historiques, dont on ne songe pas à révoquer en doute l'authenticité, paraîtraient pour le moins très-douteux, s'ils étaient soumis
à une telle épreuve. La fraction ^ est ordinairement
trop faible s'il s'agit d'un fait matériel, mais aussi elle dépasse souvent la probabilité des circonstances accessoires d'un récit.
§ 24. — Exemples :
1** Déterminer la probabilité d'amener, en 8 épreuves successives du jeu de croix ou pile, 5 fois croix et conséquemment 3 fois pile.
Réponse. H:^:^*(inif = 55 = il.
2'' Déterminer la probabilité d'amener 8 fois de suite
croix en 8 épreuves. = 255 •
3° Quelle est la probabilité d'amener une fois seulement le point 6 en quatre jets successifs d'un dé à jouer ?
Ici on a
et il vient pour la probabilité cherchée :
»i fl3 = = — à peu près.
4° Quelle est la probabilité d'amener le point 6 au moins deux fois dans quatre jets successifs d'un dé à jouer?
On l'obtient en prenant la somme
p<4-4»'fl + 6»«fl«= 1-4-^ + 6 — — = entre - et -.
Si l'on eût demandé la probabilité d'amener 6 au moins une fois, il aurait fallu prendre la somme des quatre premiers termes du développement de (p -f- q^ ; mais il est plus court de calculer ici la probabilité contraire, qui est q'^ = ^-^, et de la retrancher de l'unité :
on obtient ainsi - — pour la probabilité demandée ; et
puisqu'elle surpasse -, il est probable, dans le sens
usuel du mot, que le point 6 arrivera au moins une fois dans quatre jets.
§ 25. — On voit, par ce dernier exemple, comment la probabilité d'amener le point 6 au moins une fois,
qui n était que g à la première épreuve, s'est accrue
par la répétition des jets du dé. Cette remarque nous conduit à la question suivante :
« Déterminer le nombre d'épreuves nécessaires pour « que l'arrivée d'un événement acquière une probabilité « donnée. »
Supposons qu'on demande en combien d'épreuves on
acquerrait la probabilité ^ d'amener le point 6 au moins une fois : on aurait
et il faudrait déterminer m par la condition que la somme des termes
fût égale à 2 ; ce qui ne pourrait se faire que par tâtonnement; mais dans ce cas particulier, en prenant la probabilité égale et contraire, exprimée par le seul terme q"\ il suffira de trouver la valeur de m qui con-
vient à l'équation q^ ^ -^'^ et cela est facile au moyen
des logarithmes. On obtient ainsi m = 3,802.
S'il s'agissait de trouver le nombre de jets de deux
dés, pour lequel il y a autant de probabilité d'amener
deux six (ou sonnez) que de ne pas le faire, il suffirait de
poser 5* = gg, d'où Ton déduit par le même artifice
m = 24, 6. — C'est le problème proposé à Pascal par le chevalier de Méré. Ainsi, l'on parierait avec supériorité de chances, d'amener au moins une fois un sonnez en 25 coups, et avec infériorité de chances de l'amener en 24 coups. C'est l'unique manière d'interpréter dans ce cas la valeur fractionnaire trouvée pour le nombre m qui, de sa nature, doit être entier.
§ 26. — Lorsqu'on jette une pièce à deux faces que je désignerai par A et B, la probabilité d'amener la face A au moins une fois en deux coups est, d'après ce qui précède :
D'Alembert [opusc. Math., t. II, p. 20) prétend que cette probabilité n'est que de 2/3 : car, dit-il, si l'on amène A au premier coup, le jeu est fini; et si l'on amène au contraire la face B, il faudra jouer le second coup qui donnera A ou B ; en sorte qu'il ne peut réellement arriver que l'un de ces trois événements A, BA, BB, dont deux font gagner le pari.
Ce raisonnement est spécieux : mais l'erreur consiste à supposer aux deux év-énements composés, B A, B B, la même probabilité qu'à l'événement simple A. La pro-
habilité de celui-ci est ^ comme celle de B ; mais celle
des événements B A, BB, qui n'ont lieu qu'au deuxième coup; est, avant le premier coup,
Ainsi le joueur qui parie d'amener A au moins une fois a en sa faveur la probabilité
On arriverait au même résultat par l'énumération des arrangements que présentent les deux épreuves combinées ensemble, savoir:
