I -\-ki — ks

La raison géométrique de ce fait est encore que, dans chaque triangle, une direction de gauche correspond toujours à une direction de droite, qui lui est opposée.

§ 152. — Occupons-nous maintenant d'une autre espèce d'équations de condition, ayant pour but de faire disparaître les contradictions qui existent entre les rapports de certaines lignes, lorsque le calcul de celles-ci repose sur des observations qui ont besoin d'être corrigées. Nous les nommerons équations aux côtés, réser-

vant à celles qui viennent de nous occuper le nom diéquations aux angles. Soit un triangle plan 12 3, supposé parfaitement exact : ses angles sont

Pour fixer la position du point 4, on a mesuré les angles

^ ^ ^ = 550 38' 2", et ^ ^ ^ = 1120 32' 52".

En outre, on a pris au point 3 une direction de vérification 3, qui a donné l'angle j = 45° 54' 4".

Puisque nous considérons le triangle de base 12 3 comme parfaitement exact, la compensation a ici pour but de trouver les quatre corrections de direction

Partons de l'identité nécessaire

2T4 ^ 2~r3 ^ 2TT "■ '

dans laquelle entre le côté nouveau 2.4; nous pouvons, sous la réserve des corrections ultérieures à faire aux angles, en déduire l'équation (de condition)

sin . X sin o X sin . = sin . X sin . sin X o .

Deux de ces six angles doivent être considérés comme exacts; trois autres ont été mesurés et doivent être

corrigés; enfin, le sixième doit d'abord être calculé en fonction des angles observés, et ensuite être corrigé d'après eux,

Orona ^^*-zm'-'i'-';,^-\'; et en outre '^' = 168» 10' »4" — (4l + (|)

d'Où %*=«^"^«'^" + (lW^3)-(j)-

Au point de vue du calculateur, faisons ici une remarque très-utile dans la pratique, en ce qu'elle évite les ditférentiations. Si l'on donne A=N-j-a; {x étant une petite correction), on aura log A=log N-f-^A, A étant la différence tabulaire pour une unité de N, et œ étant exprimé en fonction de cette unité. Si donc A est un angle, on posera, par exemple, log sin (N -f- ^) = log sin N -j- ^A i 19- quantité x étant exprimée en minutes, et A étant la différence tabulaire pour une minute. — D'après cela, il vient :

log sin ^^^ = 9,91669- sJ^J + s/lj log sin "^ 3 ^ = 9,85621 ~ 42 ( M log sin ^ , ^ = 9,940.38

466 ÏHÉOWE DES PROBABILITÉS.

logsin^|*=: 9,95645 4- «(^j + B |^j- ôf^j logsin243 = 9,96547+5[2j-5(3j logsin ^3^ = 9,79H9

» 9,7i3H+6(j) + 5{2)-ii(3j+6|4J.

L'équation de condition est donc

Équations corrélative;

= — 44 fc.

3 U + il/c,

Équation normale :

D'où A, = — 0,026454 ; ( 1 ) = + 0',3662 = + 22"

Les angles corrigés sont donc * ^ ^ = 550 37' 35" ; ^ ^ ^ = 44 2° 32' 40"; '^ ^ ^ = 45° 53' 36'',

et l'angle qu'ils servent à calculer est ï = 64 47 9.

Au moyen de ces valeurs, les logarithmes corrigés

sont 9,91665 9,95652

Résultats concordants à la dernière décimale près, laquelle n'est jamais sûre. — Tous les côtés qu'on calculera dans la figure auront maintenant la même valeur, quel que soit le triangle dont on les déduira.

§ 153. — Autre exemple. — Il arrive fréquemment, dans les travaux topographiques ou géodésiques, qu'on doit déterminer très-exactement la position d'un point inaccessible. Dans ce cas, il faut rajonnoF-sur lui de trois stations au moins, et compenser ensuite les directions qui y aboutissent.

Supposons, par exemple, qu'un polygone 12 3 4 5 ait été levé, et qu'on veuille lui rattacher un sommet géodésique, 6, où l'on ne peut stationner. Dans ce but, on a recoupé le point 6 de tous les sommets du polygone, et on a obtenu

Les angles du polygone, qu'on suppose parfaitement exacts, sont d'ailleurs

^''.le.