GÉNÉRAL
38) Si,
dans l'expression
rhx
■«' àt.
on fait P --
on trouve
hx = p =
d'où
Cette valeur remarquable de x est Xerreur 'probable de l'espèce d'observations dont la précision est ^. Il est aussi probable de commettre une erreur supérieure qu'une erreur inférieure à r. — Sa probabilité est à peu
près les - de celle d'une erreur nulle.
39) De -=-|-.^' = i.
on déduit r:r' = h' :h;
c'est-à-dire que « les erreurs probables sont en raison « inverse des mesures de précision. »
40) Soit m le rapport des probabilités de deux erreurs X et a/ : on aura
d'où l'on peut calculer h par logarithmes. Si l'on fait
a? = 0, il vient
Ainsi « quand la probabilité d'une erreur nulle est à « celle d'une erreur x' comme 1 : e -^^2, on doit, pour « l'espèce d'observations, prendre la mesure de préci- « sion égale à [/p. »
41) La valeur la plus probable d'une inconnue, déterminée par plusieurs observations, étant la moyenne entre tous les résultats immédiats fournis par l'observation, la somme des carrés des erreurs est un minimum.
42) ]J erreur moyenne, eg, est la quantité qu'on obtient en divisant la somme des carrés des erreurs réelles, par le nombre des observations, et en extrayaiit ensuite la racine carrée du quotient.
Autrement dit, c'est une erreur telle, que si elle existait seule dans chacune des p observations indistinctement, la somme des carrés de ces p erreurs égales serait la même que la somme des carrés des p erreurs inégales réellement commises.
43) Le carré de la mesure de précision, multiplié par le carré de l'erreur moyenne, est égal à - :
44) L'erreur probable est égale à l'erreur moyenne multipliée par p p/â = 7 ej, en nombres ronds. D'où
l'erreur moyenne :^ - de l'erreur probable.
45) Au point qui correspond à l'erreur moyenne, la courbe de probabilité présente une inflexion, et la tangente s'approche le plus de la verticale.
46) h [/p est la mesure de précision de la moyenne entre p observations dont la précision individuelle est^. Ainsi « la précision d'une moyenne croît comme la
« racine carrée du nombre d'observations qui ont con- « couru à la former. »
47) On nomme poids d'un résultat le nombre d'observations également précises, requis pour que leur moyenne ait la même précision que ce résultat; la précision de chaque observation simple étant prise pour unité de précision.
48) Le poids d'une valeur est donc proportionnel au carré de sa mesure de précision.
49) On ramène différents résultats à la même unité de précision, en les multipliant par les racines carrées de leurs poids.
50) Si plusieurs observations, o, o', o"... ont des poids différents i?, p', p"... leur véritable moyenne est
,. po+p'o'-^p"o" + -
51) L'expression h = = revient à celle-ci
en représentant par [o] la somme des résultats d'observation. Ainsi, « le carré de -est égal au double de
« l'excès de la valeur moyenne du carré de la variable, « sur le carré de sa valeur moyenne. »
Lorsque Ton passe à la continuité, l'expression précédente devient :
|X 2 iydx . x'i— r
(ydx . xm
52) Les poids sont réciproquement proportionnels aux carrés des erreurs moyennes ou des erreurs probables.
53) Il y a un à parier contre un que la véritable valeur de h est comprise entre
ou que la véritable valeur de r est comprise entre les limites
e,pf/2 jizf:-4-l { VV)
= 0,674489 ej 4 ^MZËE^Ëj.
54) Dans l'équation pt^= [e*], le second membre exprime la somme des carrés des écarts par rapport à la moyenne; t^ représente donc Yécart moyen, mais on nomme plus exactement erreur moyenne la quantité
55) L'erreur moyenne Eg de la moyenne entre p observations est
et son poids v = pi-]-pi + p^... = ]j)].
56) Soit r,2 l'erreur moyenne de l'unité de poids : on a E. = '^^ *
l/lp-]
57) Soit une fonction u = o' ± o" :
s l'erreur moyenne de m ; P son poids ; e' — o' ; f —
On a î i 1 I ±
Et, en général, quel que soit le nombre des observations :
Si elles sont en nombre n, et d'égale précision, on a
îi — !i (p~p''
58) Soit
u = a' o' ', e = rb a' e' ;
on a
on a
59) Soit M = oV + a'V -h a'V" 4- ( e =b (/[a«e*] ;
(p UJ
60) Soit M == /•((,', o", o"' ...)
ou plus généralement
Les erreurs moyennes sont de véritables différentielles, et il vient
On en déduit j 4 na-i
61) Soient m équations linéaires entre {m — n) inconnues :
a X -\- b y -\- c z -\- d v -\- ...-}- Ji ^A a' x-^b' y-[-(f z-{-d' v-\-...-{-n' = A' a" X -\- b" y -]- c" z -{- d" v -{-... -\- n" = A" ... etc.
Leur résolution par la méthode des moindres carrés conduit à (m — n) équations normales de la forme
\aa] X -\- [06] y -\- \ac\ z -f- M] u + ... + [aii] = 0 [afe] a; + [6ft] y + [ftc] z + [ftd] v + . .. + [ft?i] = 0 [ac] X + \bc] y -\- [ce] ;s -f- M '' + •••+ [<^0 = 0- • • etc.
entre lesquelles il suffit d'éliminer par la méthode ordinaire.
N. B. Si les équations primitives n'étaient pas linéaires, on ramènerait ce cas au précédent au moyen d'une solution indirecte.
62) L'erreur moyenne d'une observation est
63) Pour trouver le poids, P„, d'une inconnue, z, on remplace dans l'équation normale relative à z, la quantité toute connue par — 1 ; dans les autres équations normales, on la remplace par zéro; en même
temps, on met Q^ à la place de ^, et l'on élimine toutes les inconnues restantes. On trouve ainsi
L'erreur moyenne de l'inconnue z est donc
64) Une autre règle pour trouver le poids d'une inconnue, consiste à éliminer simplement entre les équations normales, en ayant soin de n'introduire aucun facteur d'élimination. Le coefficient de l'inconnue qui reste la dernière est le poids de cette inconnue.
65) Si des inconnues œ, y, z... sont données par les équations normales (61), et qu'on veuille chercher le poids P d'une expression
tirée de ces équations, on le trouvera par la formule
^ = «A + !3B + yC...
dans laquelle A, B, C... sont des quantités qui satisfont aux équations suivantes et qui peuvent s'en déduire :
[aa\ A + [abl B + [ac\ C ... = a [oè] A 4- \bb-] B + \bc\ C ... = p [ac] A + \bc] B -f [ce] C ... = y •••
66) Lorsque les observations à traiter sont d'inégale précision, les équations normales (61) se changent en
|j)oa] X -\- [pab'] y + [.pac] z -\- ... -\- {jpaii] = 0 [pafc] X + iphh] y + {j)bc\ z-\- ... -\- [jpbn] = 0 [pacl X + [pbc] y + [pcc] 2; + ... + [pw] = 0...
67) Entre m quantités observées isolément, il existe c relations nécessaires : ces relations sont telles, que les m erreurs x', œ", x"'. . . sont liées entre elles par les équations de condition suivantes
0 = n' 4- aV + a"x" + a"V' ... -f UmXm 0 = »"+ fcV + b"x" + b"'x"' ... + bmXm
0 = ne + h'x' + h"x" + h"'x'" ... + hmXm.
Les corrections les plus probables sont alors déterminées par les m équations corrélatives
x' =a'k' -^b'k"-\-c'k"' ...-^h'kc x" = a"k' + b"k" + c"k"' ... + h"kc
Xm — amk' + bmk" + Cmk'" • •• + /lm'î:c-
Les C coefficients corrélatifs k', k", h!"... k^ sont d'ailleurs fournis par voie d'élimination entre les c équations normales
0 = ?i' 4- [cm] k' + [aft] fc" -f [oc] fr'" H- ... + [a/i] h 0 = n" + [aft] /c' + [bb-] k" + [ftc] fc'" + ... + [pK] h
Q^nc-\- \aK] k' + [*/i] fc" + [cfe] fe'" + ... + E'*^] /^c-
68) L'erreur moyenne d'une observation est, dans ce cas,
69) Lorsque les observations sont de précisions différentes, les équations corrélatives deviennent
, a'k' , b'k" , c'k'" . , h'kc
et les équations normales
70) L'erreur moyenne de l'unité de poids est, dans
ce cas,
ni
et celles des observations sont
■ e '= — T=: etc.
71) Soit u = F (V, Y", Y") une fo7îction de certaines observations qui ont été compensées à l'aide des c équations de condition (67).
On tire d'abord, de la fonction donnée, les coefficients différentiels l', l", l'".... par la formule
du = l'dY + V'dN" + VàY" + ... Puis on forme les c équations de transport
0 = [a/] 4- [««] ''1 + [«^] T^i + [«^] ''3 + • •• 0 = [b/] + [ab-] n ■+- m r* + m r, + ...
0 = [hr] -\- [ah] rt + [bh] rj + [ch] n+ ... qui permettent de déterminer par élimination les c coefficients de transport, r. — Transportant ceux-ci dans
les équations
L' = r + a' ri + 6' ri + c' rs + ... L" = r + a"ri 4- &"rs + c'Vs + ...
Liv = ... oi^ri = b^'^Vi + c'^rs + • • . on en déduit les valeurs des L ; puis on a
72) Lorsque les observations sont d'inégale précision, on a
Dans ce cas, les équations de transport sont
Les valeurs de L', L", U".... sont fournies par les équations (71 non modifiées.
