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§ 57. — Quand on a déterminé la probabilité de chaque /^y/jo^^èse possible, on en déduit facilement la probabilité des événements qui peuvent arriver aux tirages suivants.

Dans l'exemple précédent, chacune des compositions possibles de l'urne a une probabilité que nous venons de calculer; on connaît aussi pour chacune de ces compositions la probabilité du tirage d'une boule

blanche ; donc, d'après le principe des probabilités composées, la probabilité de la sortie d'une boule blanche au cinquième tirage sera :

celle de la sortie d'une boule noire

Ainsi :

« La probabilité d'un nouvel événement simple « s'obtient en calculant, d'après les événements passés, « la probabilité des diverses hypothèses possibles, et « faisant la somme des produits de ces probabilités par « celles de l'événement, prises dans chaque hypo-. « thèse. »

§ 58. — Pour appliquer les considérations précédentes aux probabilités des événements naturels, il faut observer qu'alors le nombre total des chances ou des hypothèses doit être regardé comme infini (§ 54), car toutes les probabilités simples, c'est-à-dire tous les rapports compris entre o et 1, sont possibles, tant qu'on ignore quel est le véritable rapport, ou du moins quelles sont les limites entre lesquelles il doit être renfermé.

Soient donc A et B deux événements contradictoires, dont l'un est arrivé m fois et l'autre n fois. La probabilité simple de l'événement A peut varier depuis œ=o jusqu'à œ =\, pendant que celle de B variera depuis X ==\ jusqu'à X = 0. La probabilité de Yévénemeiit,

composé de m fois A et de w fois B, aura toujours une expression de la forme (§ 23)

dans Yhypothèse que la probabilité de l'événement A soit X. En divisant cette quantité par la somme des probabilités de l'événement dans toutes les hypothèses possibles, on aura, avons-nous vu § 56, la probabilité de Vhypothèse correspondant à œ.

Quand on passe à la limite et qu'on fait varier x d'une manière continue, on obtient, après avoir multiplié par dx les deux termes de la fraction qui exprime la probabilité : x^(\ — a;)« dx

/x*n{\ — x)ndx

pour la probabilité infiniment petite àe Vhypothèse qui consiste à attribuer à l'événement A une probabilité comprise entre x et x-{-dx.

L'intégrale indéfinie

I x'^{\ — x)'^ dx ou I x'>^ dx (1 — x)» s'obtient facilement par parties : on a successivement

L^Uxii-xr^=^^:^:!li^^^

J m + 2 7rt+2j '

J m 4- 3 m-\~ôj '

Répétant n fois cette opération, on fera disparaître le facteur (1 — x).

D'ailleurs, si nous supposons a; = o, la valeur de

iO

l'intégrale doit se réduire à zéro; car, lorsque l'événement A a une probabilité nulle, tout événement composé qui devrait renfermer A a aussi une probabiliténulle : il n'y a donc pas de constante arbitraire à ajouter.

Faisant la somme des différents termes de la série, on aura

(1 — X) nx (1 — X)

' (wî + l)(m + 2)(m + 3) ' (m+4)(m+2)(m+3)....(m+n+l) Lorsque l'on prend l'intégrale définie depuis x = o jusqu'à a; = 1, tous^les termes de la série disparaissent, sauf le dernier, et il reste

(A')... r x'^{\.—xYdx--

(m -f-l)(m + 2)(m4-3)...(wj + n + l)

Dans le cas où m et n sont des nombres considérables, on pourra appliquer à cette expression la formule de Stirling, et elle deviendra

m'^ iV^ I /^2 t: mil

Si l'on fait n = o, c'est-à-dire si l'on ne suppose qu'une seule espèce d'événements, la série (A) se réduit à son premier terme qui devient

ce qui donne pour l'intégrale définie

et pour la probabilité : (m-j-lj^c'^c^â?, valeur d'autant