PROBABILITÉ DES CAUSLS ET DES ÉVÉNEMENTS FUTURS
plus grande, m restant d'ailleurs le même (voir plus loin), que œ est plus grand, ce qui était à prévoir.
§ 59. — Il nous est facile maintenant de nous élever à la probabilité des événements futurs. En elfet, la probabilité d'une hypothèse quelconque correspondant a X, est ^^i f^ ^yidj.
xm (1 x)n dx
en la multipliant par la probabilité, x^ de Xécénement correspondant. A, on aura
x^ (1 — xf dx
X {\ — x) dx
et la somme des produits semblables, prise pour toutes les hypothèses possibles, exprimera (§ 56) la probabilité d'un nouvel événement A. Or, cette somme s'obtiendra ici en intégrant le numérateur depuis x = o jusqu'à x=\, et en affectant le résultat du dénominateur commun. On a ainsi, d'après (A')
^ '«+*/. .^1 n(7t — 1)(7/ — !2)...3. 2. 4 X (4 — X) dx -
^ X {i-x) dx („^^^)(,^^2)...(m+n+4)
Si l'on demandait la probabilité de l'arrivée d'un nouvel événement B, la probabilité particulière de cet événement étant (1 — x), on aurait l'expression
0 """ ^^ ~ "^^ "^ (m+4)(m+2)...(m-fn+4)
La somme de ces deux probabilités est égale à l'unité, et il est évident qu'il doit en être ainsi.
§ 60. — Si l'événement A avait été observé seul, m fois de suite, on aurait n = o, et la probabilité qu'il se reproduise encore une fois serait exprimée par
Si donc un dé, dont on ignore le numérotage, a
amené quatre fois de suite le même point, on doit con-
dure qu'on a la probabilité - d'amener encore le même
point au cinquième coup. Nous pouvons aussi, dans ce cas, dire que, si nous représentons le nombre de fois que l'événement est arrivé par un nombre égal de boules blanches que nous jetons dans une urne, en y ajoutant encore une boule blanche et une boule noire, la probabilité de la reproduction de l'événement sera égale à celle du tirage d'une boule blanche.
Chaque reproduction de l'événement observé équivaut, par conséquent, à la mise d'une nouvelle boule blanche dans une urne, où se trouvaient déjà, avant le commencement des épreuves, une boule blanche et une boule noire.
Les probabilités
' et
s'approchent d'autant plus de
et
m-\- n m + ?t que m et n sont plus considérables. En effet, en divi-
DE LA REPRODUCTION d'uN ÉVÉNEMENT. 153
sant par (m -\- n) les deux termes de ces probabilités,
on a ^ 4 „ 4
m -\- n m -\- n in-A- n m -\- n 1 pt 1 I —
expressions qui tendent évidemment vers
^ — et j —
à mesure que (m-}-n) augmente. Ce résultat est conforme au théorème de BernouUi, qui dit que plus le nom'bre (m-\-n) d'épreuves croît, plus les rapports des nombres de répétitions de chaque alternative au nombre total des épreuves, s'approchent des probabilités simples de ces alternatives. Ainsi
■ — et ■ —
tendent vers les véritables valeurs de x et de (1 — x)
et, par conséquent, vers" lés probabilités de l'arrivée de
l'une ou l'autre alternative à l'épreuve nouvelle. Nous
rechercherons plus loin l'approximation possible de
par rapport à â? et à (1 — x), d'après les valeurs comparées de m et de n.
La différence
est positive quand m^ n, ce qui doit être, car la probabilité de l'événement correspondant k x qui, avant toute épreuve, devrait être prise égale à -, expression
154 THI-ORIE DES PRODABILITÉS.
du doute, ne peut être portée à — ^^ que si (m -{- n)
est infini ; elle est donc comprise entre - et — ^^^ ; de
même celle de l'événement correspondant à (1 — ce), est comprise entre - et — - — , c'est-à-dire qu'on doit avoir
m -\- n m ■-{-« + 2 ce qui est évident si m> n.
§ 61. — La probabilité que, sur un nombre p de renouvellements du même hasard, il arrivera un nombre (P — q) d'événements A et un nombre q d'événements B, se déduit sans difficulté des principes exposés précédemment. Dans l'hypothèse que l'événement simple A ait œ pour probabilité, la probabilité de Yévénement composé en question est (§ 23)
en la multipliant par la probabilité de Xhypothèse, ou par
xm (1 x)'^ dx
et faisant la somme des produits dans toutes les hypothèses de valeur de a?, on aura (§ 56) pour la probabilité que l'on cherche
x'''+''-U^-xf^'dx
d. 2. 3 .... 7 rt
j xv^{i — a;)» dx
Si l'on prend, par exemple, p = 3, q = 1, l'expression précédente donnera la probabilité de l'événement composé de 2 fois A et une fois B : ce sera, d'après (A')
En divisant par (m -{- n) chacun des facteurs du numérateur et du dénominateur de cette fraction, on reconnaîtra aisément qu'elle tend sans cesse vers
probabilité composée qui résulterait des probabilités
simples
et
§ 62. — La formule (D) permet de réunir dans une seule expression toutes les probabilités des événements composés auxquels peut donner lieu un nombre p de renouvellements du même hasard. Il suffit pour cela de faire successivement q = o, = \, =2, =3, etc. : on formera la suite ... (D')
Ja^(l —
xy^dx
f+ Cx^^ii-xf + '^dx
qui tient, dans les probabilités à posteriori, la place que le développement du binôme occupe dans la détermination à priori des probabilités pour les épreuves réitérées. La somme des termes, depuis le premier
jusqu'au terme général
pjp-inp-^) .... (p-q + i)
x^ (1 — x)n dx
inclusivement donnera la probabilité qu'il n'arrivera pas moins de [p — q) événements A et pas plus de q événements B.
Dans le cas particulier où l'on a simultanément q = o, n=o, il ne faut prendre que le premier terme de la série (D'), qui se réduit à •1
x'^+^'dx
Jo
1 x*^ dx
m-fl
C'est la probabilité qu'on aura p fois de suite l'événement A lorsqu'il aura été observé m fois sans interruption. Nous pouvons donc poser la règle suivante, dont la formule (C) n'est qu'un cas particulier :
« La probabilité qu'un événement, observé un nombre « quelconque de fois de suite, se reproduira encore « plusieurs fois, est une fraction dont le numérateur « est le nombre d'observations déjà faites, augmenté « d'une unité; et dont le dénominateur surpasse le « numérateur du nombre de fois que l'événement doit « se reproduire. »
Si donc un dé inconnu a amené quatre fois de suite
le même point, on a la probabilité - d'amener encore
le même point quatre fois de suite. En général, lorsque
m =: p, la probabilité en question devient sensiblement -, pour peu que m soit considérable.
En usant de la comparaison déjà employée au § 60, nous dirons que les choses se passent comme si chaque reproduction de l'événement observé répondait à la mise d'une boule blanche dans une urne où se trouvaient déjà, avant le commencement des épreuves, une boule blanche et autant de boules noires que l'événement observé est supposé devoir encore se reproduire de fois.
Si, dans la formule (C"), mise sous la forme P ^ + i
on regarde les quantités P, m et p comme trois variables, on aura l'équation d'une surface réglée, sur laquelle une ligne droite peut s'appliquer dans toute son étendue, parallèlement au plan des coordonnées m et p. En faisant en effet P constant, il ne reste plus que l'équation d'une ligne droite, qu'on peut écrire de la manière suivante :
d'où
= constante.
Cette relation très- simple étant remplie, on aura toujours la même probabilité P que l'événement arrivé m fois de suite se reproduise encore p fois.
§ 63. — La probabilité absolue de chaque hypothèse particulière sur la valeur de œ, est infiniment petite.
ainsi que nous l'avons fait remarquer à la fin du § 57. Dans la pratique, ce qu'il importe le plus souvent de connaître, c'est la probabilité relative des diverses hypothèses ; on l'obtient aisément en cKangeant x en i27', œ"... dans l'expression générale ic"* (1 — a;)" dx
xm (1 — a;)« dx
et en prenant les rapports conformément au § 16. On obtient ainsi :
xm (4 a;)n i
OU
x^ {i — xf^ + x'^ (1 — x'Y , x,'^ (S — ^'Y
•" ipm (1 xY
On voit qu'en général cette fraction tend d'autant plus vers l'unité que a^ est plus grand ou plus petit, ce qui se rattache à la remarque déjà faite § 60, que la probabilité que la valeur de l'inconnue s'éloigne de -, croît très-lentement.
La valeur la -plus 'probable de x est donnée par l'équation :
Tjiajwi -i (\ — xY— nxrn {{ —xY~^ = 0 d'où ^
Ce résultat remarquable peut se formuler ainsi : « la plus probable de toutes les causes est celle pour laquelle les probabilités simples des événements A et B sont égales au rapport du nombre de fois que chacun de ces événements est arrivé à leur nombre total » : ce qui est évidemment conforme à la proposition du § 28.
Il est de même facile d'établir que le terme maximum du développement (D') est celui dans lequel on a
d'où
La conclusion est donc générale, et emporte les mêmes conséquences que dans le cas des probabilités a priori.
§ 64. — Dans l'exemple du § 55, la probabilité de
l'extraction d'une boule blanche à un cinquième tirage,
a été trouvée égale à — ; tandis que l'hypothèse la plus
probable est, d'après ce qui vient d'être trouvé, celle qui donne pour la probabilité de l'extraction d'une boule
blanche la fraction - (puisque sur 4 tirages on a amené
3 boules de cette couleur) . Si l'on supppose le cinquième tirage déjà fait et ayant amené une boule noire, la probabilité de l'extraction d'une boule blanche au 6® tirage devient -^, et l'hypothèse la plus probable devient celle qui donne à l'extraction d'une boule de cette couleur la probabilité -. On voit que — diffère moins de - que — de - ; si l'on supposait un 6<^ tirage ayant amené une
boule blanche, on obtiendrait respectivement - — et -, fractions plus voisines encore l'une de l'autre que -^
et - : c'est ce qui avait été établi d'une façon générale
au § 60. Mais ce résultat remarquable nous amène maintenant à un théorème important qui peut être con-
sidéré comme Vinverse de celui de Bernoidli, Voici ce théorème : « Si l'on multiplie suffisamment le nombre des épreuves, on peut acquérir une probabilité aussi approchante de la certitude qu'on voudra, que le rapport du nombre de répétitions d'un événement au nombre total des épreuves, vers lequel tend la probabilité d'un nouvel événement semblable, représentera, avec une approximation aussi grande qu'on le désire, la véritable probabilité de cet événement. »
§ 65. — Soit ± l l'approximation désirée du rapport ^ et de la véritable valeur àe œ. Il faudra que m-\-n
si, dans l'expression de la probabilité de ^, on remplace X successivement par toutes les valeurs comprises
entre ^ + /et^? /.
la somme des probabilités de toutes ces valeurs s'approche de l'unité autant qu'on voudra. Or, cette somme est évidemment l'intégrale de
xm (4 a;)n rfjj
a^ {\ — xf" dx
prise entre les limites ;;;^p^ + i et ^^^-^^^ - /.
Pour faciliter les écritures, représentons — î^ par p,
** - par û-, et (m -1- w) par r ; l'intégrale définie s'écrira alors : /*/' + ^
I jjpr (1 x)9r dx
/xP>-{{ —
x)i^ dx
