LIMITES PROBABLES DE LA VALEUR DE X

La valeur du dénominateur de cette fraction est connue ; pour évaluer le numérateur, remarquons qu'eu égard à la forme des deux limites, p±l, il y a avantage à représenter œ par p -\- z, z étant une nouvelle variable dont les limites sont évidemment ± ^ ; il vient ainsi pour le numérateur de la probabilité que œ est

compris entre ^ -j- l et — ^^ — l -. m -\- Il m + «

{p + zf"- (q — 2)3'" dz.

Cette intégrale peut se mettre sous la forme

p.^,,.|+|(i+î)--(,î)"'rf,.

Or, on a :

et

d'où

lofi; 1 + - = 7r-. + ir^- • • etc.

^\ pj p ^p* 3^)5

;,rlog[l+-j = r.- 2^+3^,... etc.

Comme z, toujours inférieur à l, est généralement une fraction très-petite, nous négligerons le terme en z^ et les suivants, sauf à rechercher plus tard l'importance de cette suppression. Il reste donc :

On trouverait de même :

L'intégrale cherchée prend ainsi la forme

pprgqrl g i \P Q' dz= \ 6 ^P9 dz.

Faisons

rz^

= <*, d'où z

il^'îl,

nous aurons :

e-^ dt.

Il est à remarquer que la valeur de e~^* dt est indépendante du signe de t ; par conséquent, on peut écrire l'intégrale définie comme suit ;

^pprq<irxty.^\ ^Ple-t^dt.

Mais nous avons vu, § 58, que l'intégrale du dénominateur,

I a^ (1 — X)9r dx,

peut s'exprimer, quand m et n sont de grands nombres, par :

m"» »?»* I /Stt m . n p**** q^"" . y-

-, ; — : — 1 — TT K ; — ou — -T-^ y ^Tci-pq,

la probabilité cherchée P est donc finalement égale à l'intégrale

— ^ \e-t dt

prise entre les limites

oeil [y z—.

l-pq